D1931. Trois jeux de perpendiculaires 1er jeu
La droite qui relie l’orthocentre H d’un triangle ABC au milieu M du côté BC, coupe le cercle circonscrit au triangle ABC en un point P.
Démontrer que les droites AP et PM sont perpendiculaires entre elles.
Démonstration : Soit P’ le symétrique de A par rapport à O, centre du cercle circonscrit à ABC. Si P’=B, alors ABC est rectangle en C, P=H=C.
B et C jouant un rôle symétrique, passons directement à P’ distinct de B et de C. On a alors ( ) ( ) ( ) ( ) donc BP’CH est un parallélogramme et donc M est le milieu de [ ]. Le triangle APP’ est donc rectangle en P (confondu avec A si ABC est isocèle en A).
2ème jeu
O est le centre du cercle circonscrit au triangle isocèle ABC de sommet A et de base BC. D est le milieu de AB et E est le centre de gravité du triangle ACD. Démontrer que les droites OE et CD sont perpendiculaires entre elles.
Démonstration : Soit F le milieu de [AC], G le centre de gravité de ABC et H le milieu de [AD]. On a ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (centres de gravités), donc ( ) ( ) et donc ( ) ( ) (médiatrice de (AB)).
Ainsi, (DO) est la hauteur issue de D dans le triangle GDE. ( ) ( ) ne posant aucun problème (droite des milieux par exemple) on a (GO) qui est elle aussi une hauteur de GDE. La messe est dite pour (EO) !
3ème jeu
Un cercle de centre P passant les sommets A et C d’un triangle ABC coupe le côté BA au point D et le côté BC au point E. Les cercles circonscrits aux triangles ABC et BDE se coupent en une deuxième point Q. Démontrer que les droites BQ (et non BP) et PQ sont perpendiculaires entre elles.
Démonstration : Soient O le centre du cercle circonscrit à ABC et B’ le symétrique de B par rapport à O. De même, soient O’ le centre du cercle circonscrit à BDE et B’’ le symétrique de B par rapport à O’. Nous avons alors quatre triangles rectangles intéressants : BAB’, BCB’, BDB’’ et BEB’’. Enfin, soient D’ le milieu de [AD], E’ le milieu de [CE] et P’ le milieu de [B’B’’]. Prouvons que P’=P. (D’P’) étant parallèle à (B’A) et (B’’D), toutes deux perpendiculaires à [AD], c’est en fait la médiatrice de [AD]. De même, (E’P’) est la médiatrice de [CE]. Or, P étant le centre du cercle circonscrit au quadrilatère ACED, c’est le point de concours des médiatrices de [AD] et [CE] (non parallèles car ABC n’est pas plat) mais aussi de [AC] et [DE], donc P’=P comme attendu. Maintenant, BQB’ étant rectangle en Q tout comme BQB’’, on a bien (BQ) perpendiculaire à (PQ).
Remarques :
En modifiant la fin, on prouverait que les cercles circonscrits aux triangles ABC et BDE se recoupent en un autre point (lorsque ABC n’est pas isocèle en B).
L’homothétie de centre B et de rapport ½ nous donne également beaucoup de choses.
