D1931 Trois jeux de perpendiculaires 1er jeu
La droite qui relie l’orthocentre H d’un triangle ABC au milieu M du côté BC, coupe le cercle circonscrit au triangle ABC en un point P. Démontrer que les droites AP et PM sont perpendiculaires entre elles.
2ème jeu
O est le centre du cercle circonscrit au triangle isocèle ABC de sommet A et de base BC. D est le milieu de AB et E est le centre de gravité du triangle ACD. Démontrer que les droites OE et CD sont perpendiculaires entre elles.
3ème jeu
Un cercle de centre P passant les sommets A et C d’un triangle ABC coupe le côté BA au point D et le côté BC au point E.Les cercles circonscrits aux triangles ABC et BDE se coupent en un deuxième point Q. Démontrer que les droites QP et QB sont perpendiculaires entre elles.
Q1)
La hauteur issue de A dans le triangle ABC recoupe le cercle circonscrit en H', l'orthocentre est le symétrique de H' par rapport au côté BC. Les droites HM et H'M sont symétriques par rapport au côté BC, mais aussi par rapport à la médiatrice du segment BC.
La droite HM coupe le cercle circonscrit en 2 points, dont l'un , P' est le symétrique de H' par rapport à la médiatrice de BC, l'autre est le point P dont il est question dans l'énoncé.
H'P' est parallèle à BC, H'P' est perpendiculaire à H'A, A et P' sont diamétralement opposés, l'angle inscrit APP' est droit. Les droites AP et PM sont perpendiculaires entre elles.
Q2) Dans un repère convenablement choisi, les coordonnées des sommets du triangle isocèle sont:
A(0,a), B(-b,0),C(b,0). Soit y l'ordonnée de O, on a : OA²=OB² d'où (a-y)² = y² + b² et y=(a²-b²)/(2a) y = a/2 – b²/(2a)
Les coordonnées du centre de gravité E du triangle ACD sont : b/6 et a/2.
Celles du vecteur OE sont donc b/6 et a/2 – y = a/2 – a/2 + b²/(2a) = b²/(2a). OE[b/6, b²/(2a)] . Celles du vecteur DC sont [3b/2, -a/2].
Le produit scalaire des vecteurs OE et DC est b²/4 – b²/4 = 0. OE et DC sont perpendiculaires entre elles.
Q3)
Cette figure comporte 3 cercles et 3 quadrilatères inscriptibles : [ACBQ],[ACED],[BQDE]. Les axes radicaux des cercles pris 2 à 2 sont les droites BQ,CA,ED qui concourent au centre radical F.
Les points F et B sont conjugués par rapport au cercle (P), donc le cercle de diamètre FB est orthogonal au cercle (P). Soit I l'inversion de centre F, de puissance FD.FE = FA.FC = FQ.FB .
Transformons par I, le cercle (P), la droite FB et le cercle de diamètre FB : le cercle (P) et la droite FB sont globalement invariants, le cercle de diamètre FB passe par le pôle d'inversion donc il devient une droite, il est orthogonal au cercle (P), donc il devient un diamètre de (P), il passe par B dont le transformé est Q, donc il devient le diamètre PQ, et il est orthogonal à la droite FB qui est invariante, donc PQ est perpendiculaire à la droite FB, c'est à dire PQ perpendiculaire à QB.
