A449. Les trois chapeaux tonkinois
Sur l'axe des abscisses Ox, on trace trois points A, B et C d'abscisses a, b, c telles que 0 < a < b < c. On trace les points S, T et U d’ordonnées positives tels que les triangles SOA, TOB et UOC sont isocèles de sommets S, T et U.
Tous les côtés de ces trois triangles sont mesurés par des nombres entiers. Les cercles inscrits à ces trois triangles ont même rayon r de valeur entière et le cercle inscrit du triangle TOB est tangent aux deux autres cercles.
Trouver les dimensions de ces trois chapeaux tonkinois correspondant à la plus petite valeur possible de r.
Source: d'après un problème soumis par Dominique Roux.
Solution proposée par Claudio Baiocchi
La valeur optimale de r est 24, et correspond à a=144, b=240, c=336 ; les coordonnées de S, T, U sont (72,54), (120,50), (168,49) et on a OS=90, OT=130, OU=175.
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On remarque que les abscisses de S, T, U sont a/2, b/2 et c/2; en particulier posant k := (a/2)/r on a k>1; et b/2 = (k+2)r, c/2 = (k+4)r. En appliquant aux trois triangles la formule pour le côté oblique:
On a:
donc
on trouve:
Pour k entier on trouve une première famille de solutions: il suffit que r soit un multiple de k-1, k+1, k+3 et k+5; en particulier pour k=2 la valeur minimale correspond à r=105; mais k=3 fournit r=24, valeur optimale dans le cadre de k entier et qui donne a=144, b=240, c=336 et OS=90, OT=130, OU=175; on trouve valeurs entières aussi pour les ordonnées de S, T, U qui sont données par 90, 130, 175.
Naturellement la valeur de k pourrait a priori être rationnelle; mais posant k:=p/q avec p et q sans facteurs communs, et posant aussi et n:p-q, on aboutit à chercher r qui (sauf peut-être une puissance de 2) est multiple de qn(n+2q)(n+4q)(n+6q); ce qui naturellement, pour la recherche de r minimum, force q=1.
