Puce dispose de la suite S des fractions rationnelles de la forme (4k-1)/(2k+1) pour toutes les valeurs entières de k ≥1.
Il peut à loisir effectuer tous les produits de ces fractions y compris leurs puissances entières d’ordre ≥ 2.
Démontrer que Puce est en mesure d’obtenir tous les entiers n impairs à partir du produit d’un nombre fini de fractions pas nécessairement distinctes appartenant à S.
Application numérique : Pour tout entier impair n, on désigne par f(n) le nombre minimal de fractions de S qu’il convient de multiplier pour obtenir n.
a) Calculer f(n) pour les huit nombres premiers n = 61, 67,…,97
b) Calculer f(n) pour les entiers impairs de 2011 à 2021 (bornes incluses)
(1) Nota : comme dans le jargon des croupiers, le dénominateur dépasse la moitié du numérateur…
Remarquons d’abord, en remplaçant k par 3k+1, que (12k+3)/(6k+3)=(4k+1)/(2k+1) appartient à la liste S : si l’on a réussi à obtenir tous les impairs jusqu’à 2k+1, on
obtiendra ensuite tous les impairs jusqu’à 4k+1 ; on amorce la récurrence par 1=(3/3), 3=(27/15)*(15/9), 5=3*(15/9), 7=5*(7/5), 9=5*(27/15) soit f(1)=1, f(3)=2, f(5)=3, f(7)=f(9)=4, etc... En sens inverse 4k-1 et 4k+1 seront obtenus à partir de 2k+1, donc f(4k+1)=f(4k-1)=f(2k+1)+1
a) f(61)=f(33)+1=f(17)+2=f(9)+3=f(5)+4=7 ; pour les autres, p=67, 71, 73, 79, 83, 89, et 97, f(p)=8, puisqu’on arrive à 7 en quatre étapes (ainsi 67, 35, 19, 11, 7 et 97, 49, 25, 13, 7)
b) pour tous les nombres impairs de 2011 à 2021, f(n)=12, puisqu’on arrive à 65 en cinq étapes (ainsi 2011, 1007, 505, 253, 127, 65 et 2021, 1011, 507, 255, 129, 65) et ensuite f(65)=f(33)+1=f(17)+2=f(9)+3=7 .
