En ´evaluant (Ax, x) =xTAx, montrer que A est d´efinie positive

Universit´e de Pau et des Pays de l’Adour 2016-2017

D´epartement de Math´ematiques Licence L3 – ANSL

Feuille d’exercices n^◦3

Exercice 1. Soit A une matrice r´eelle carr´ee d’ordre n. Dans cet exercice, on dit que A admet une d´ecompositionLDL^T si il existe une matrice carr´ee d’ordre ntriangulaire inf´erieureLtelle que Lii = 1 pouri= 1,· · ·, n, et une matrice diagonaleD telle queDii =di>0 pouri= 1,· · ·, n, avecA=LDL^T.

1) SoitAune matrice admettant une d´ecompositionLDL^T. V´erifier que la matriceAest sym´etrique.

En ´evaluant (Ax, x) =x^TAx, montrer que A est d´efinie positive.

2) SoitAune matrice sym´etrique d´efinie positive d’ordren. Elle admet une d´ecomposition de Cholesky A=BB^T avecBune matrice triangulaire inf´erieure. On note ∆ la matrice diagonale d´efinie par ∆ii =Bii

pouri= 1,· · ·, n.

a) Montrer que ∆ est inversible. Calculer les ´el´ements diagonaux deB∆⁻¹. b) Montrer queA admet une d´ecompositionLDL^T.

c) Montrer que la d´ecomposition LDL^T est unique.

3-a) En posant le probl`eme sous la forme :

A=







1 1 −1 1

1 3 −1 5

−1 −1 2 −2

1 5 −2 13





=







1 0 0 0

α 1 0 0

β β⁰ 1 0 γ γ⁰ γ⁰⁰ 1













δ1 0 0 0

0 δ2 0 0 0 0 δ₃ 0

0 0 0 δ₄













1 α β γ

0 1 β⁰ γ⁰ 0 0 1 γ⁰⁰

0 0 0 1







d´eterminer la d´ecompositionLDL^T deA.

b) Utiliser cette d´ecomposition pour r´esoudre le syst`eme :

Ax=b avec b= (−2,−6,5,−16)^T.

Exercice 2. On consid`ere la matriceA∈R^d×d,d≥3, d´efinie par

a₁₁= 1, a₂₂= 2, a_i,i= 3 pour i= 3, . . . , d a₁₂=a₂₁=−1, a_i,i+1=a_i+1,i= 0 pour i= 2, . . . , d−1

a_i,i+2=a_i+2,i=−1 pour i= 1, . . . , d−2

et ai,j = 0 pour toutes les autres valeurs de ietj.

1) Donner de mani`ere pr´ecise un algorithme de r´esolution du syst`eme lin´eaire Ax = b. Quel est le nombre d’op´erations n´ecessaires ? Montrer que la matrice Aest d´efinie positive.

Indication : on explicitera la factorisation de Cholesky de la matriceA.

2) En utilisant cet algorithme, montrer que si toutes les composantes deb sont positives, il en est de mˆeme de celles dex. En d´eduire que les coefficients deA⁻¹sont tous positifs.

3) Soitele vecteur deR^d tel quee^T = (1,1, . . . ,1), montrer que l’on a A⁻¹

∞= A⁻¹e

∞.

En d´eduire la valeur du nombre de condition C∞(A) =kAk_∞ A⁻¹

_∞, pour les valeurs d= 4 et d= 5.

1

Exercice 3. SoitA∈R^d×d une matrice sym´etrique d´efinie positive, on noteLL^T sa factorisation de Cholesky.

1) Montrer que le calcul des coefficients sous-diagonaux L_ik (k = 1, . . . , i−1, i = 2, . . . , d) peut s’effectuer comme la r´esolution d’un syst`eme lin´eaire triangulaire inf´erieur que l’on pr´ecisera.

2) En d´eduire qu’`a l’exception du produit scalaire, de l’addition et de l’extraction de racine carr´ee n´ecessaires au calcul des coefficients diagonauxLii,i= 1, . . . , d, la r´esolution du syst`eme lin´eaireAx=b par la m´ethode de Cholesky se ram`ene `a la r´esolution de d syst`emes triangulaires inf´erieurs de rangs 1, . . . , det d’un syst`eme triangulaire sup´erieur de rangd.

N.B. On peut faire une pr´esentation analogue de l’algorithme de factorisationLU.

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