Montrer que tout espace compact m´etrisable est s´eparable

M2 2012-2013

Dynamiques et op´erateurs Feuille d’exercices n^o 1

Exercice 1. Montrer que tout espace compact m´etrisable est s´eparable.

Exercice 2. Montrer que dans un espace m´etrique s´eparable (X, d), il n’est pas possible de trouver une famille non-d´enombrable de points (f_i)_i∈I qui soitε-s´epar´ee pour un certainε >0, i.e.d(f_i, f_j)≥εpouri6=j. En d´eduire que les espaces`_∞(N) etL∞(0,1) ne sont pas s´eparables.

Exercice 3. Soit X un espace vectoriel topologique. Montrer que les propri´et´es suivantes sont ´equivalentes.

(i) X est s´eparable;

(ii) il existe une partieD ⊂ X d´enombrable et totale;

(iii) il existe une suite (E_N)N∈N de sous-espaces de dimension finie telle que S

N∈NE_N est dense dansX.

Exercice 4. Soit K un espace compact m´etrisable. On note C(K) l’espace des fonctions continues sur K, muni de la norme k · k∞.

(1) Soit d une distance compatible avec la topologie de K, et soit {x_n; n ∈ N} un ensemble d´enombrable dense dansK. On d´efinit des fonctionsf_n∈ C(K) par f_n(x) = d(x, x_n). Montrer que la suite (f_n) s´epare les points de K : si x, y ∈K etx6=y, on peut trouver un entier n tel que f_n(x)6=f_n(y).

(2) Montrer que l’espace de BanachC(K) est s´eparable.

Exercice 5. Soit Ω un espace m´etrisable s´eparable, et soit µune mesure bor´elienne positive sur Ω, suppos´eesigma-finie. Soit ´egalementp∈[1,∞[. Le but de l’exercice est de montrer que l’espace de Banach L_p(Ω, µ) est s´eparable.

(1) Dans cette question, on suppose que la mesureµ est finie.

1

2

(a) Soit (Vi)i∈Nune base d´enombrable d’ouverts pour Ω. On noteV la famille des ouverts V ⊂Ω qui sont r´eunion d’un nombre fini de V_i. Montrer que pour tout ouvert W ⊂X et pour toutα >0, on peut trouver V ∈ V tel que V ⊂W etµ(W \V)< α. Montrer ´egalement que pour un telV, on a k1_V −1_Wk_Lp < α^1/p.

(b) On admet que la mesure µ est r´eguli`ere, ce qui signifie que pour tout bor´elienA ⊂Ω et pour toutα >0, on peut trouver un ouvertW tel que A ⊂W et µ(W \A)< α. D´eduire de (a) que pour tout bor´elien A⊂Ω et pour tout ε >0, on peut trouver V ∈ V tel que k1_V −1_Ak_Lp < ε.

(c) En d´eduire la s´eparabilit´e de L_p(Ω, µ).

(2) D´emontrer le r´esultat souhait´e pour une mesure µ sigma-finie.

Exercice 6. (th´eor`eme de r´ecurrence de Birkhoff)

Dans tout l’exercice, K est un espace topologique compact et T : K → K est une application continue. Un point a ∈ K est dit r´ecurrent pour T si, pour tout voisinage V de a, il existe une infinit´e d’entiers n tels que Tⁿ(a) ∈ V. Le but de l’exercice est de montrer que T poss`ede au moins 1 point r´ecurrent.

(1) On noteIla famille de tous les compacts non videsL⊂Kv´erifiantT(L)⊂L.

Montrer que I poss`ede un ´el´ement minimal pour l’inclusion.

(2) Montrer que si L∈ I est minimal pour l’inclusion et si x∈ L, alors O(x, T) est dense dansL.

(3) Conclure.

Exercice 7. (th´eor`eme de Kronecker)

Soient θ₁, . . . θ_d ∈R tels que π, θ₁, . . . θ_d sont rationnellement ind´ependants, i.e.

lin´eairement ind´ependants sur Q. On pose g = (e^iθ1, . . . , e^iθd) ∈ T^d. Le but de l’exercice est de montrer que l’ensemble {gⁿ; n ≥ 1} est dense dans T^d, autrement dit que la “rotation”Rg :T^d→T^d est transitive.

(1) Pourγ = (γ₁, . . . , γ_d)∈Z^d, on note e_γ ∈ C(T^d) la fonction d´efinie par eγ(ξ1, . . . , ξd) =ξ₁^γ1· · ·ξ^γ_d^d

V´erifier que les e_γ sont des caract`eres de T<sup>d</sup>, c’est-`a-dire des homomor- phismes du groupe T^d dans T.

(2) Montrer que P = Vect{e_γ; γ ∈Z^d} est dense dans C(T^d).

(3) Montrer que si γ 6= (0, . . . ,0) alors e_γ(g) 6= 1, et en d´eduire la limite de

1 N

PN

n=1e_γ(gⁿ) quandN → ∞.

3

(4) On notem la mesure de Lebesgue normalis´ee sur T^d. CalculerR

T^deγdmpour tout γ ∈Z^d, puis montrer que pour toute fonctionu∈ C(T^d), on a

N→∞lim 1 N

N

X

n=1

u(gⁿ) = Z

T^d

u dm .

(5) Montrer que pour tout ouvertV ⊂T^d, on peut trouver une fonctionu∈ C(T^d) positive, non identiquement nulle, et nulle en dehors deV.

(6) Conclure.

Exercice 8. Soit T :T→T l’application d´efinie par T(ξ) =ξ². Montrer que T est topologiquement m´elangeante.

Exercice 9. Montrer que si B est le shift (vers la gauche) sur K^N, alors λB est topologiquement m´elangeant pour tout λ 6= 0. `A l’inverse, montrer qu’il n’est pas possible de trouver, sur un espace vectoriel norm´e X 6={0}, un op´erateur T tel que λT soit hypercyclique pour toutλ 6= 0.

Exercice 10. Dans cet l’exercice, on note c₀(R+) l’espace de toutes les fonctions f :R+ →Cborn´ees et tendant vers 0 `a l’infini. On munitc₀(R+) de la normek · k∞

(qui en fait un espace de Banach).

(1) Montrer que c₀(R+) n’est pas s´eparable.

(2) Soit B :c₀(R+)→c₀(R+) l’application lin´eaire d´efinie par Bf(t) =f(t+ 1).

PourquoiB est-elle continue?

(3) Soient u, v ∈c₀(R+), et soit ε > 0. On choisit un entierN tel que |u(t)| < ε pourt≥N. Soit enfin n≥N et soit f ∈c₀(R+) la fonction d´efinie par

f(t) =

u(t) 0≤t < n 2⁻ⁿv(t−n) t≥n Montrer qu’on a kf−uk∞ ≤ε+ 2⁻ⁿkvk∞.

(4) Montrer que l’op´erateurT = 2B est topologiquement m´elangeant.

(5) L’op´erateurT est-il hypercyclique?