Universit´e Paris 7–Denis Diderot MT242
DEUG MIAS Ann´ee 1999-2000
Probl`eme num´ero 1
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a remettre la semaine du 28 f´evrier
EXERCICE 1
On consid`ere la fonction r´eelle Q d´efinie sur l’espace M2(R) des matrices r´eelles de taille 2×2 par
∀X ∈M2(R), Q(X) = det X− 1
4(tr X)2, o`u la notation tr X repr´esente la trace de la matrice X.
1. Montrer que Q est une forme quadratique sur M2(R).
2. D´eterminer le rang et la signature de Q.
3. Montrer (sans calcul sur les coefficients de X) que Q(X) = 1
4(tr X)2− 1
2 tr(X2).
4. D´eduire de la question 3 une expression de la forme polaire f de Q. D´eterminer le noyau de la forme bilin´eaire sym´etrique f.
EXERCICE 2
Soit Q la forme quadratique sur R4 d´efinie dans la base canonique par
Q(x1, x2, x3, x4) =a2x21+ (2 +a)x22−x24+ 2ax1x2−2ax1x3+ 2ax2x3+ 2(2 +a)x3x4
o`u a est un param`etre r´eel. D´eterminer suivant les valeurs de a le rang et la signature de Q.
EXERCICE 3
Soit E un R-espace vectoriel de dimension 2n et Q une forme quadratique sur E, non d´eg´en´er´ee.
On suppose qu’il existe un sous-espace vectoriel F de E, de dimension n, tel que la restriction de Q `a F soit nulle. Montrer que la signature de Q est (n, n).
