Second Contrˆ ole continu

Universit´e Paris-Dauphine Analyse 3

J. F´ejoz D´ecembre 2019

Second Contrˆ ole continu

Dur´ee : 1h30 — Sans document ni appareil ´electronique.

Les r´eponses doivent ˆetre justifi´ees mais concises.

Mentionner les erreurs d’´enonc´e ´eventuelles.

Chaque question est environ sur 3 points.

1. Soientpu_nqetpv_nqdeux suites ´equivalentes, `a termes positifs. Montrer queř u_n converge si et seulement si ř

vn converge.

Solution. Commeu_n„v_n, il existe un rang N `a partir duquel v_n

2 ďu_nď2v_n.

En sommant, si l’on note Un “ u0` ¨ ¨ ¨ `un et Vn “ v0` ¨ ¨ ¨ `vN, pour tout něN on a donc

(1) 1

2pVn´V_Nq ďUn´U_N ď2pVn´V_Nq, doncpU_nq etpV_nqconvergent ou divergent simultan´ement.

2. Montrer que si une suite de fonctions continues sur un intervalleI deRconverge uniform´ement, sa limite est continue.

Solution. Soit pf_nq une suite de fonctions continues de I dans R qui converge uniform´ement vers une fonction f :I ÑRsur I. FixonsxPI et montrons quef est continue enx. Soitεą0. Comme la suitepfnqconverge uniform´ement versf, il existe n₁ě0 tel que, pour toutněn₁,

@y PI, |f_npyq ´fpyq| ď ε 4 .

De plus, la fonction fn1 ´etant continue en x, il existe ηą0 tel que

@yPI, y P rx´η, x`ηs ñ |fn1pyq ´fn1pxq| ď ε 2 . Par cons´equent, pour touty PI, avec yP rx´η, x`ηs, on a

|fpyq´fpxq| ď |fpyq´f_n1pyq|`|f<sub>n1</sub>pyq´f<sub>n1</sub>pxq|`|f_n1pxq´fpxq| ď ε 4`ε

2`ε 4 “ε , ce qui montre f continue enx, et ce, pour tout xPI.

3. ´Enoncer des hypoth`eses g´en´erales sur une suitepfnqde fonctions r´eelles de classe C¹ sur un intervalleI deR pour que

(2) plimf_nq¹“limf_n¹.

Donner un exemple de suitepfnq de fonctions r´eelles de classe C¹ sur Rtelle que pf_n¹q converge uniform´ement, mais telle que l’´egalit´e (2) n’est pas v´erifi´ee.

2

Solution. Th´eor`eme : On suppose que fn :I Ñ R est une suite de fonctions de classe C¹ sur I. Si (1) il existe un point a P I tel que la suite r´eelle pf_npaqq converge vers un r´eel b, et (2) la suite de d´eriv´ees pf_n¹q converge uniform´ement vers une fonction g:I ÑRsurI,pf_nq converge simplement surI vers la fonction f d´efinie par

(3) fpxq “b`

ż_x

a

gpsqds @xPI;

en particulier, f¹“g, i.e.plimf_nq¹ “limf_n¹.

Contre-exemple : fn “ p´1qⁿ. La premi`ere hypoth`ese du th´eor`eme est viol´ee, et la conclusion n’est pas v´erifi´ee puisque pf_nq n’a pas de limite.

4. Montrer que, si pf_nq est une suite de fonctions convergeant uniform´ement vers une fonctionf surR, la suitepsinf_nq converge elle aussi uniform´ement surR. Solution. D’apr`es le th´eor`eme des accroissements finis,

|sinpf_npxqq ´sinpfpxqq| ď |f_npxq ´fpxq| ď }f_n´f} Ñ0.

5. Les int´egrales suivantes sont-elles convergentes : ż_`8

0

cosx dx, ż_`8

1

lnx px´1q^α dx,

ż_`8

2

at²´t ln ˆ

cos1 t

˙ ˆ sin 1

lnt

˙2

dt? (pour la deuxi`eme int´egrale, on raisonnera en fonction de αPR).

Solution.

(1) La fonction cos est continue sur R, donc la question de la convergence de son int´egrale ne se pose qu’en l’infini. La fonction f : X ÞÑ ş_X

0 cosx dx est 2π-p´eriodique (parce que ş_pk`1q2π

k2π cosx dx“0 pour tout kPZ) et non constante. Doncf n’a pas de limite en`8, et la premi`ere int´egrale diverge.

(2) Il s’agit de d´eterminer l’int´egrabilit´e en 1 et en`8.

En 1 : on voit que, siX est assez petit, ż_1`X

1

lnx

px´1q^α dx“ ż_X

0

lnp1`yq y<sup>α</sup> dy, o`u

lnp1`yq y^α „yÑ0

1 y^α´1,

donc l’int´egrale demand´ee converge en 1 si et seulement siαă2.

En `8 : par le mˆeme changement de variable, on se ram`ene `a tester l’int´egrabilit´e de

lnp1`yq

y^α „ lny y^α en`8. Or,

ż_X

2

lny y^α dy“

# 1

´α`1

“plnyq^´α`1‰X

2 si α‰1 rln lnys^X₂ si α“1,

donc l’int´egrale demand´ee converge en `8si et seulement siαą1.

Finalement, l’int´egrale converge (des deux cˆot´es) si et seulement si 1 ă αă2.

3

(3) La fonction `a int´egrer ´etant continue surr2,`8r, la question de la conver- gence ne se pose qu’en`8. Quand ttend vers`8,

a

t²´t lnpcosp1{tqq ˆ

sin 1 lnt

˙2

„ ´1 2t

1 plntq²,

donc, d’apr`es le calcul fait dans l’item pr´ec´edent, la troisi`eme int´egrale converge.

6. La suite des fonctions

f_n:xÞÑn sin

´x n

¯

converge-t-elle simplement surR?, uniform´ement surR?, uniform´ement surr0,1s? Solution.

(1) Pour tout xPR, quandnÑ 8, fnpxq “nsin

´x n

¯

“x`o ˆ1

n

˙ Ñx.

Doncf_nÑid simplement surR. (2) Pour tout ně1, la fonction dex

|fnpxq ´x| ě |x| ´ |fnpxq| ě |x| ´n

tend vers l’infini `a l’infini, doncpf<sub>n</sub>qne converge pas uniform´ement surR. (3) La fonction xÞÑnsin`_x

n

˘´x d´ecroˆıt sur r0,1s, donc, pour tout xP r0,1s, max

xPr0,1s|f_npxq ´x| “ |f_np1q ´1| “nsin1 n ´1.

Le calcul restant `a faire est le cas particulier en x “ 1 du d´eveloppement limit´e fait pour montrer la convergence simple, et l’on voit donc que

max

xPr0,1s|f_npxq ´x| “ 1

n´1Ñ0.

Doncpfnqconverge uniform´ement sur r0,1s(de mˆeme que sur toute partie born´ee de R).

7. Notonsf_npxq “ ^ne´x<sub>n`x</sub><sup>`x2</sup>. Calculer la limite si elle existe de u_n“

ż₁

0

f_npxqdx;

on pourra commencer par ´etudier la convergence de la suite de fonctions pf_nq.

Solution. pfnq converge simplement vers f : x ÞÑ e^´x. De plus, si x P r0,1s et ně1,

|f_npxq ´fpxq| “e^´x ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ

1`<sup>x2</sup><sub>n</sub><sup>ex</sup> 1` ^x_n ´1

ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ

“ 1 n ˇ ˇ ˇ ˇ

x²e^x´x 1`^x_n

ˇ ˇ ˇ

ˇď e`1 n Ñ0, doncpfnq converge vers f uniform´ement surr0,1s.

Comme les fonctionsfnsont continues surr0,1s, les int´egralesunsont bien d´efinies.

Comme de pluspf_nqconverge uniform´ement, on peut permuter limite et int´egrale : limu_n“

ż₁

0

e^´xdx“1´1 e.

4

8. (Bonus) Soitpunqune suite de fonctions r´eelles surN,un:NÑR,mÞÑunpmq.

On suppose que (a) pour tout nla suite r´eelle pu_npmqq_m converge et (b) il existe une suite r´eelle pαnq telle que |unpmq| ď αn (pour tous m, n) et ř

nαn ă 8.

Montrer que

limm

ÿ

ně0

u_npmq “ ÿ

ně0

limm u_npmq.

Solution. La seconde hypoth`ese implique que, pour tout m, ř

nunpmq converge absolument ; soitUpmq sa somme.

Notons un “ limmunpmq, qui existe d’apr`es la premi`ere hypoth`ese. La seconde hypoth`ese implique, en passant `a la limite m Ñ `8, que |u_n| ď α_n, donc que řun converge absolument ; notons U sa somme.

On veut montrer que Upmq a pour limite U. Quel que soitN,

|Upmq ´U| ď

N

ÿ

1

|unpmq ´un| `2

8

ÿ

N`1

αn.

On peut choisirN pour que le second terme du membre de droite soitď{2,ą0

´

etant donn´e aussi petit que voulu. Alors il existe M tel que si měM on ait

|u_n´u_npmq| ă 2N pour tout 1ďnďN, de sorte que

|Upmq ´U| ď.