Analyse complexe

Analyse complexe

I Questions de cours

1 Que peut-on dire d’une fonction holomorphe ne prenant que des valeurs r´eelles?

2 Soit f une fonction holomorphe. Exprimer ∆|f|² `a l’aide de f⁰.

3Soit p∈N^∗ D´eterminer le d´eveloppement en s´erie enti`ere de la fonctionz 7→ _(z−1)¹ p

dans le disque unit´e D.

4 Montrer que la formule Γ(z) =R∞

0 t^z−1e^−tdt d´efinit une fonction holomorphe dans un domaine `a pr´eciser.

5 Montrer que la formule ζ(s) = P∞ 1

1

n^s d´efinit une fonction holomorphe dans un domaine `a pr´eciser.

6 Soit Ω = {z =x+iy ∈C; |xy| <1}, et soit f : Ω→ C une fonction holomorphe ne s’annulant pas. Montrer qu’il existe une fonction g ∈ H(Ω) telle que g² =f.

7 D´eterminer le d´eveloppement de Laurent de la fonctionz 7→ ^e_z−1^1/z dans la couronne {|z|>1}.

8 Soit f :C^∗ → C une fonction holomorphe born´ee au voisinage de 0. Montrer que f se prolonge en une fonction holomorphe sur C.

9Montrer que sif est une fonction holomorphe injective, alorsf⁰ ne s’annule jamais.

10 Calculer l’int´egrale R∞ 0

dt 1+t⁴.

11 D´eterminer la transform´ee de Fourier de la fonction t7→ _1+t¹2.

12 Montrer que l’application z 7→ ^z+i_z−i est une bijection holomorphe du disque unit´e D sur un ouvert `a pr´eciser.

II Exercices

Exercice 1 Soient f₁, ... , f_n des fonctions holomorphes sur un ouvert connexe. On suppose que la fonction Pn

1 |f_i|² est constante. Montrer que toutes les f_i sont con- stantes.

Exercice 2 Soit k un entier sup´erieur ou ´egal `a 2. Montrer qu’il n’existe pas de d´etermination continue de z^1/k sur le cercle T.

1

Exercice 3 Montrer que pour tout a∈C, la fonction t7→e^−(t+a)2 est int´egrable sur R, et qu’on a

Z ∞

−∞

e^−(t+a)2dt= Z +∞

−∞

e^−t2dt . En d´eduire la transform´ee de Fourier de la fonction t7→e^−t2.

Exercice 4 En int´egrant e^−z2 sur le bord des secteurs {Re^iθ; 0 ≤ θ ≤ ^π₄}, R > 0, montrer que les int´egralesR∞

0 cos (t²)dtetR∞

0 sin (t²)dtsont convergentes et calculer ces int´egrales.

Exercice 5 En int´egrant ^e_z^iz sur le bord des demi-couronnes {Im(z)≥0, ε≤ |z| ≤ R}, 0< ε < R, calculer l’int´egrale

I = Z ∞

0

sinx x dx .

Exercice 6 Pourz ∈C\R, on d´efinit Φ_z :R→C par Φz(t) = 1

t−z .

1 Montrer que toutes les fonctions Φ_z appartiennent `a L²(R).

2 On note U le demi-plan sup´erieur {Im(z) > 0}. Soit f une fonction holomorphe au voisinage de U. On suppose que f(z) tend vers 0 quand |z| tend vers l’infini, Im(z)>0, et on suppose aussi que f^∗ :=f_|R appartient `a L²(R). Montrer que pour tout point z ∈U, on a la formule de reproduction

f(z) =hf^∗,Φ_zi, o`uh , i est le produit scalaire usuel sur L²(R).

Exercice 7 Soit ϕ une fonction holomorphe au voisinage d’un segment Γ = [ia;ib]

de l’axe imaginaire. Pourz ∈C\Γ, on pose Φ(z) = _2iπ¹ R

Γ ϕ(ζ)

ζ−z dζ. Montrer que pour tout point ζ ∈]ia;ib[, on a

ϕ(ζ) = lim

z→ζ Re(z)<0

Φ(z)− lim

z→ζ Re(z)>0

Φ(z).

Exercice 8 Soit f(z) = P∞

0 a_nzⁿ une fonction holomorphe dans le disque unit´eD. 1 Montrer qu’on d´efinit une fonction holomorphe dans le demi-plan {Re(z)< 1/2}

en posant

F(z) = 1 1−z f

z 1−z

.

2 Montrer que dans le disque D(0 ; 1/2), on a F(z) =

∞

X

n=0 n

X

k=0

C_n^ka_k

! zⁿ.

Exercice 9 (nombres de Fibonacci)

1 Montrer que la fonction f d´efinie par f(z) = _1−z−z¹ 2 est holomorphe au voisinage de 0, et d´eterminer ses coefficients de Taylor a_n en 0.

2 Montrer que la suite (a_n) v´erifie la relation de r´ecurrence lin´eaire a_n+2 =a_n+1+a_n.

En d´eduire que les an sont des entiers positifs. Les an sont appel´es les nombres de Fibonacci.

Exercice 10 Montrer que si f(z) =P∞

0 c_nzⁿ est une fonction holomorphe dans un disque D(0, R), alors on a

∞

X

n=0

|c_n|² r²ⁿ⁺² 2n+ 2 = 1

2π Z

D(0,r)

|f|²dm

pour tout r < R, o`u m est la mesure de Lebesgue sur C. En d´eduire que si f une fonction holomorphe dans un ouvert Ω ⊂ C, alors, pour tout point z ∈ Ω et pour tout entier n ≥0, on a

|f⁽ⁿ⁾(z)| ≤ n!(n+ 1)^1/2

√πr(z)ⁿ⁺¹ kfk_L²_(Ω) ,

o`ur(z) =d(z, ∂Ω).

Exercice 11 On note m la mesure de Lebesgue sur C. Montrer que si f ∈ H(D), f(z) = P∞

0 c_nzⁿ, alors Z

D

|f⁰(z)|² 1− |z|²

dm(z) =

∞

X

0

n

n+ 1 |c_n|² . En d´eduire qu’on a

∞

P

n=0

|c_n|² <∞si et seulement siR

D|f⁰(z)|²(1− |z|²)dm(z)<+∞, et qu’on a alors

1 2

∞

X

n=1

|c_n|² ≤ Z

D

|f⁰(z)|² 1− |z|²

dm(z)≤

∞

X

n=1

|c_n|².

Exercice 12 Soit f une fonction holomorphe injective dans le disque unit´e D. En notant m la mesure de Lebesgue sur C, montrer qu’on a

m(f(D)) = Z

D

|f⁰(z)|²dm(z).

En d´eduire une expression de m(f(D)) `a l’aide des coefficients de Taylor de f.

Exercice 13 Soit g :D→C une fonction continue sur D, holomorphe dans D et ne s’annulant pas sur D. Montrer qu’on a

Log|g(0)|= 1 2π

Z 2π 0

Log|g(e^iθ)|dθ .

Exercice 14 (formule de Jensen) A1Montrer que l’int´egraleI(t) =R2π

0 Log|t−e^iθ|dθest bien d´efinie pour toutt∈R⁺ et d´epend continˆument det.

A2 Calculer I(t) pour t >1, puis pour t≤1.

A3 Pour a∈C etr >0, calculer l’int´egrale R2π

0 Log|a−re^iθ|dθ.

B Soit f une fonction holomorphe au voisinage d’un disque ferm´eD=D(0, r), avec f(0)6= 0.

1 Montrer que f n’a qu’un nombre fini de z´eros dans D.

2On notea₁, . . . , a_N les z´eros def, compt´es avec leur multiplicit´e. ´Etablir la formule 1

2π Z 2π

0

Log|f(re^iθ)|dθ = Log|f(0)|+

N

X

j=1

Log

r a_j

.

Exercice 15 (in´egalit´e de Borel-Carath´eodory)

1 Soit g une fonction holomorphe au voisinage d’un disque ferm´e D(0, R), et soit v = Re(g). En consid´erant d’abord les parties r´eelles, montrer que pour tout z ∈ D(0, R), on a

g(z)−g(0) = Z 2π

0

2z

Re^iθ−z v(Re^iθ)dθ 2π ·

2 Soit f une fonction holomorphe au voisinage d’un disque ferm´e D(0, R). Pour r ≤R, on pose M(r) = sup{|f(z)|; |z|=r} et A(r) = sup{Re(f(z)); |z| =r}. En appliquant 1 `a la fonction f−f(0), montrer que pour tout r < R, on a

M(r)≤ 2r

R−rA(R) + R+r

R−r |f(0)| ·

3 Que peut-on dire d’une fonction enti`ere dont la partie r´eelle est born´ee?

Exercice 16 (fonctions enti`eres de type exponentiel)

On dit qu’une fonction enti`ere estde type exponentiel s’il existe une constanteC telle que f(z) = O(e^C|z|) quand |z| tend vers l’infini. La borne inf´erieure des nombres C v´erifiant cette propri´et´e s’appelle le type de la fonction f.

1 Montrer que les fonctions z 7→e^z etz 7→sinz sont de type exponentiel 1.

2 Soit C >0, et soit f une fonction enti`ere de type exponentiel strictement inf´erieur

`

a C. On note c_n les coefficients de Taylor de f.

a Montrer qu’il existe R >0 et une constante A tels que |c_n|rⁿ ≤Ae^Cr pour tout r > R.

b En d´eduire qu’on a |cn|=O(^Ce_n)ⁿ quand n tend vers l’infini.

3 Soit f une fonction enti`ere de type exponentielC.

a Montrer que la s´erie enti`ere P

n!c_nzⁿ⁺¹ a un rayon de convergence au moins

´

egal `a 1/C.

b Pour |z|> C, on pose

g(z) =

∞

X

0

n!cn

zⁿ⁺¹ ·

Montrer que pour toute fonction enti`ere h et pour tout r > C, on a 1

2iπ Z

∂D(0,r)

g(z)h(z)dz =

∞

X

0

c_nh⁽ⁿ⁾(0) . c Montrer que pour|z|> C, on peut ´ecrire

g(z) = 1 z

Z ∞ 0

f t

z

e^−tdt . d D´eterminer la fonction g lorsque f(z) = sin(πz).

Exercice 17Montrer que la suite (tan(nz)) converge uniform´ement sur tout compact deC\R.

Exercice 18 Montrer que pour toutz ∈D, on a

∞

Y

0

(1 +z^2k) = 1 1−z .

Exercice 19Montrer que la fonctions 7→ζ(s)−_s−1¹ se prolonge holomorphiquement au demi-plan {Re(s)>0}. On pourra ´ecrire _s−1¹ comme une int´egrale.

Exercice 20 (prolongement m´eromorphe de Γ)

A Montrer que si z ∈Cv´erifie Re(z)>0, alors Γ(z) =

∞

X

n=0

(−1)ⁿ n!

1 z+n +

Z ∞ 1

t^z−1e^−tdt .

En d´eduire que la fonction Γ se prolonge en une fonction m´eromorphe surCdont les pˆoles sont les entiers n´egatifs.

B Red´emontrer le r´esultat de A en utilisant l’identit´e Γ(z+ 1) =zΓ(z).

Exercice 21Soit a >0 et soitϕ:R→Cune fonction de classe C^∞ `a support dans [−a;a]. Montrer que la formule

F(z) = Z +∞

−∞

e^−itzϕ(t)dt

d´efinit une fonction enti`ere, et que pour tout entiern ≥0, on a|F(z)|=O |z|⁻ⁿe^a|Im(z)|

quand |z| tend vers l’infini.

Exercice 22 Le but de l’exercice est de donner une preuve du th´eor`eme de Montel n’utilisant pas le th´eor`eme d’Ascoli. On fixe donc un ouvert Ω ⊂ C et une suite (f_n) ⊂ H(Ω) uniform´ement born´ee sur tout compact, et on cherche `a extraire de (fn) une sous-suite qui converge uniform´ement sur tout compact.

1 On suppose ici que Ω est un disque D(0, R). On note c_k(f) les coefficients de Taylor d’une fonction f ∈ H(Ω).

a Pourk ∈ N, on pose c_k = sup_n|c_k(f_n)|. Montrer que c_k est fini pour tout k, et que le rayon de convergence de la s´erie P

c_kz^k est au moins ´egal `aR.

bMontrer que (f_n) admet une sous-suite (g_n) telle que toutes les suites (c_k(g_n))n≥0

sont convergentes. On pose ck = limn→∞ck(gn).

c Montrer que la formule g(z) = P∞

0 ckz^k d´efinit une fonction holomorphe dans Ω et que la suite (gn) converge vers g uniform´ement sur tout compact de Ω.

2 Traiter le cas d’un ouvert Ω quelconque.

Exercice 23 Soit Ω un ouvert deC. La topologie de H(Ω) peut-elle ˆetre d´efinie par une norme?

Exercice 24 Soit Ω un ouvert de C, et soitp∈N^∗. On pose H(Ω)^p ={f ∈ H(Ω); ∃g ∈ H(Ω) : g^p =f}. Montrer que H(Ω)^p est ferm´e dansH(Ω)

Exercice 25 Soit (f_n) une suite de fonctions holomorphes dans un ouvert Ω ⊂ C. On suppose que (f_n) converge simplement vers une fonction f.

1 En utilisant le th´eor`eme de Baire, montrer qu’il existe un ouvert dense Ω⁰ ⊂Ω tel que la suite (f_n) est uniform´ement born´ee au voisinage de chaque point de Ω⁰. 2 Montrer que f est holomorphe sur Ω⁰.

3 Essayer de trouver un exemple o`u Ω⁰ 6= Ω.

Exercice 26 Pour λ∈C, on note e_λ la fonction z 7→e^λz.

1 Montrer que si L est une forme lin´eaire continue sur H(C), alors la fonction F d´efinie par

F(λ) =L(e_λ)

est une fonction enti`ere, et exprimer les d´eriv´ees de F en 0.

2 Soit V un ouvert non vide de C. En utilisant 1 et le th´eor`eme de Hahn-Banach, montrer que l’espace vectoriel engendr´e par la famille (e_λ)λ∈V est dense dansH(C).

Exercice 27 Soitα∈]0 ;π[; on note Sα le secteur{|Arg(z)|< α}. Montrer que sif est une fonction continue sur S_α∩D, holomorphe dansS_α∩D, et ne prend que des valeurs r´eelles sur S_α∩∂D, alors f se prolonge en une fonction holomorphe sur S_α. Exercice 28 Soitf une fonction holomorphe dans D⁺ =D∩ {Im(z)>0}, continue surD⁺, et nulle sur ]−1; 1 [. Montrer que f est identiquement nulle.

Exercice 29 Soit f une fonction holomorphe born´ee dans la bande {|Im(z)| <1}.

On suppose qu’on a limx→+∞f(x) = 0. Montrer qu’on a limx→+∞f(x+iy) = 0 pour tout y∈]−1; 1[.

Exercice 30Que peut-on dire d’une fonctionϕ:R→Ccontinue `a support compact dont la transform´ee de Fourier est ´egalement `a support compact?

Exercice 31 Montrer que la formule F(z) =

Z +∞

−∞

e^itze^−t2dt

d´efinit une fonction enti`ere. Calculer ensuite F(ix) pour x ∈ R, et en d´eduire la valeur de F(z) pour tout z ∈C.

Exercice 32 (Fonctions de Bessel)

Pour z ∈C, on note F_z la fonction holomorphe d´efinie sur C^∗ par F_z(w) = exp

z 2

w− 1

w

·

1 On noteJn(z) len-i`eme coefficient de Laurent deFz en 0. Montrer que la fonction J<sub>n</sub> ainsi d´efinie est une fonction enti`ere, et exprimer ses coefficients de Taylor en 0.

La fonctionJ_n s’appelle la fonction de Bessel d’indicen.

2 Pourn ∈N, v´erifier les relations suivantes : J−n(z) = (−1)ⁿJ_n(z) ; d

dz

J_n(z) zⁿ

=−J_n+1(z) zⁿ ; d

dz(zⁿJ_n(z)) =zⁿJn−1(z). 3En utilisant le d´eveloppement en s´erie de Fourier de la fonctionθ 7→e^izsinθ, montrer que pour tout n ∈Zet pour tout z ∈C, on a

J_n(z) = 1 π

Z π

0

cos (zsinθ−nθ)dθ .

4 Montrer que Jn est solution d’une ´equation diff´erentielle du second ordre que l’on explicitera.

Exercice 33 Soitf une fonction enti`ere non constante. Montrer que f(C) est dense dans C.

Exercice 34 D´eterminer toutes les fonctions enti`eres f v´erifiant lim|z|→∞|f(z)| = +∞.

Exercice 35 (d´ecomposition en ´el´ements simples)

Soit f une fonction rationnelle v´erifiant lim|z|→∞f(z) = 0. On note S l’ensemble des pˆoles de f, et R_a la partie principale de f en un point a ∈ S. En utilisant convenablement le th´eor`eme de Liouville, ´etablir la formule de d´ecomposition en

´

el´ements simples :

f(z) = X

a∈S

R_a(z).

Exercice 36 Soient f, g deux fonctions enti`eres v´erifiant |f(z)| ≤ |g(z)| pour tout z ∈C. Montrer quef etg sont proportionnelles.

Exercice 37 Soit f une fonction enti`ere. Pour α∈R⁺, on posef_α(z) =f(αz).

1 On suppose que les fonctions fα, α∈R⁺ ne sont pas lin´eairement ind´ependantes.

Montrer qu’on peut trouver trois constantes C, α, β telles que 0≤α < β et

∀t ≥0 : M(βt)≤C M(αt) , o`u on a pos´e M(r) = sup{|f(z)|; |z|=r}.

2 Montrer que si f n’est pas polynomiale, alors les fonctions f_α sont lin´eairement ind´ependantes.

3D´emontrer “`a la main” le r´esultat de2dans le cas o`u tous les coefficients de Taylor def en 0 sont tous non nuls.

Exercice 38 (injectivit´e de la transformation de Fourier)

Soit f :R→Cune fonction int´egrable dont la transform´ee de Fourier est identique- ment nulle. Le but de l’exercice est de montrer que f est nulle (presque partout) sans utiliser la formule d’inversion de Fourier.

1 Soit a∈R fix´e. On note U le demi-plan {Im(z)>0}, et pourz ∈U, on pose F(z) =

Z a

−∞

f(t)e^−iz(t−a)dt .

a Montrer que F est continue born´ee sur U et holomorphe surU. b D´eterminer limy→+∞F(iy).

c Observer qu’on a F(x) = −R+∞

a f(t)e^−ix(t−a)dt pour tout x ∈R, et en d´eduire que F se prolonge en une fonction enti`ere born´ee.

2 D´eduire de 1 qu’on a Ra

−∞f(t)dt = 0 pour tout a∈R, et conclure.

Exercice 39 (une caract´erisation de la fonction Γ)

A1 Montrer que la fonction Γ est born´ee dans la bande {1≤Re(z)<2}.

A2 Soit f une fonction holomorphe dans le demi-plan{Re(z)>0}. On suppose que f v´erifie les propri´et´es suivantes :

(i) f(1) = 1;

(ii) f(z+ 1) =zf(z) pour tout z;

(iii) f est born´ee dans la bande {1≤Re(z)<2}.

On pose ϕ=f −Γ.

a Montrer que ϕ v´erifie (ii), et en d´eduire que ϕ se prolonge en une fonction m´eromorphe sur C, dont les pˆoles ´eventuels sont entiers n´egatifs. Montrer enfin que ϕse prolonge en une fonction enti`ere, not´ee Φ.

b Montrer que Φ v´erifie (ii) surCtout entier, puis montrer que Φ est born´ee dans la bande {0≤Re(z)≤1}.

c D´eduire deb que la fonctionz 7→Φ(z)Φ(1−z) est constante, puis montrer que Φ est identiquement nulle.

A3 Conclure que la fonction Γ est la seule fonction holomorphe sur {Re(z) > 0}

v´erifiant les propri´et´es (i), (ii) et (iii).

B Montrer que pour tout entier k ≥2, on a

k−1

Y

i=0

Γ

z+ i k

≡(2π)^12(k−1) k^12−kzΓ(kz).

Exercice 40 Soit n ∈ N^∗; on note Γn ⊂ T l’ensemble des racines (n+ 1)-i`emes de l’unit´e.

1 Pourk ∈N, calculer P

ζ∈Γnζ^k.

2 Montrer que pour tout polynˆome P ∈C[X] de degr´e inf´erieur ou ´egal `a n, on a

|P(0)| ≤sup{|P(ζ)|; ζ ∈Γ_n} .

Exercice 41 (principe du maximum pour un ouvert non born´e)

A On note U le demi-plan {Re(z)>0}. Trouver une fonction f : U →C continue surU, holomorphe dans U, born´ee sur ∂U, mais non born´ee sur U.

B Soit Ω un ouvert de C non born´e. Soit f : Ω → C continue sur Ω, holomorphe dans Ω et born´ee sur Ω.

1 On suppose qu’on a lim|z|→∞f(z) = 0. Montrer que f est born´ee et qu’on a sup_Ω|f|= sup_∂Ω|f|.

2 On suppose que Ω ne rencontre pas le disque unit´e D. En appliquant 2 aux fonctions z 7→f(z)ⁿ/z, montrer qu’on a sup_Ω|f|= sup_∂Ω|f|.

3 Montrer que si Ω n’est pas dense dansC, alors sup_Ω|f|= sup_∂Ω|f|.

4 Que peut-on dire si Ω est dense dansC?

Exercice 42 (th´eor`eme des 3 droites; th´eor`eme des 3 cercles)

1 Soit Ω ={z ∈C; 0<Re(z)<1} et soitg : Ω→C continue, born´ee, holomorphe dans Ω. Pour x ∈ [0 ; 1], on pose M_x = sup_t∈R|g(x+it)|. En utilisant l’exercice pr´ec´edent, montrer que pour tout x∈[0 ; 1], on a

M_x ≤M₀^1−xM₁^x.

2 Soient 0 ≤r₁ < r₂. On pose V ={z ∈C; r₁ <|z|< r₂}. Soit f :V →Ccontinue surV et holomorphe dansV. Pourr ∈[r₁;r₂], on poseM(r) = sup{|f(z)|; |z|=r}.

En utilisant 1, montrer que si r ∈ [r₁;r₂] et si θ ∈ [0 ; 1] est tel que Log(r) = (1−θ) Log(r1) +θLog(r2), autrement dit θ= _{Log (r}^{Log (r/r1)}

2/r1), alors M(r)≤M(r₁)^θM(r₂)^1−θ.

3 Exprimer les r´esultats de 1 et2 en termes de fonctions convexes.

Exercice 43 (Phragm´en-Lindel¨of)

On note U le demi-plan {Re(z)>0}. Soitf :U →C continue sur U et holomorphe dans U. On suppose que f est born´ee sur ∂U, et on suppose de plus qu’il existe un nombre α∈[0 ; 1[ et une constante C tels que |f(z)| ≤Ce^|z|α pour tout z ∈U.

1 Soit β v´erifiant α < β <1. Pour ε >0, on d´efinit f_ε:U →Cpar f_ε(z) =e^−ε(z+1)βf(z).

a Justifier la d´efinition defε, et montrer qu’on a lim|z|→∞fε(z) = 0.

b Montrer qu’on a sup_U|f_ε|= sup_∂U|f|

2 Montrer que f est born´ee sur U, et qu’on a sup_U|f|= sup_∂U|f|.

Exercice 44 (in´egalit´e de Bernstein)

Pour tout polynˆome R∈C[X], on pose kRk∞= sup{|R(z)|; |z|= 1}.

1 Soit P ∈C[X] v´erifiant kPk∞ = 1; on noten le degr´e de P.

a En consid´erant le polynˆome P^∗ = XⁿP(1/X) et en appliquant le principe du maximum, montrer que si |z| ≥1, alors|P(z)| ≤ |z|ⁿ.

b En d´eduire que si|λ|>1, alorsQ=P−λXⁿ a toutes ses racines dans le disque unit´e D.

2 Montrer que siQ∈C[X], alors les racines de Q⁰ sont dans l’enveloppe convexe de celles deQ.

3 D´eduire de 1 et 2 que pour tout polynˆome P ∈C[X] de degr´e n, on a kP⁰k_∞≤nkPk_∞ .

4 L’in´egalit´e pr´ec´edente est-elle optimale?

Exercice 45 (H¨older)

1 Soit (X,A, µ) un espace mesur´e, et soient f, g deux fonctions mesurables stricte- ment positives sur X.

a On note V le rectangle {z = x+iy; 0 < x < 1, |y| < 1}, et pour z ∈ V, on pose

Φ(z) =

R f^1−zg^zdµ R f dµ1−z R

g dµz ·

Montrer que Φ est continue sur V, holomorphe sur V, et qu’on a |Φ(z)| ≤ |Φ(x)|

pour tout pointz =x+iy∈V.

b En appliquant le principe du maximum, montrer que pour tout x∈[0 ; 1], on a Z

f^1−xg^xdµ≤ Z

f dµ xZ

g dµ ^1−x

. 2 D´emontrer l’in´egalit´e de H¨older.

Exercice 46 Soit f une fonction holomorphe dans le disque unit´e D. Pour r < 1, on pose

M(r) = sup{|f(z)|; |z|=r}, I₁(r) =

Z 2π 0

|f(re^iθ)|dθ 2π ,

I₂(r) = Z 2π

0

|f(re^iθ|² dθ 2π

^1/2 .

1 Montrer qu’on a I₁(r)≤I₂(r)≤M(r) pour toutr < 1, et que si r < s <1, alors M(r)≤ _s−r^s I₁(r).

2a Montrer que M(r) et I₂(r) sont des fonctions croissantes der.

2b Montrer que I₁(r) est ´egalement une fonction croissante de r. Etant donn´´ es r < s < 1, on pourra appliquer le principe du maximum `a la fonction z 7→

R ϕ(θ)f(ze^iθ)dθ pour une fonction ϕ: [0 ; 2π]→Cconvenablement choisie.

Exercice 47 (in´egalit´e de von Neumann)

SiE est unC-espace vectoriel, on dit qu’une applicationR :Cⁿ →Eestpolynomiale s’il existe e₁, ... , e_N ∈E et des polynˆomes R₁, ... , R_N ∈C[X₁, ... , X_n] tels que

R(z₁, ... , z_n)≡X

i

R_i(z₁, ... , z_n)e_i .

Lorsque E est de dimension finie, il revient au mˆeme de dire que les coordonn´ees de R(z₁, ... , z_n) dans une base quelconque de E sont des fonctions polynomiales de (z₁, ... , z_n).

1 Montrer que siR :Cⁿ→C est polynomiale alors

|R(λ₁, ... , λ_n)| ≤ sup

(∂D)ⁿ

|R(ζ₁, ... , ζ_n)|

pour tout (λ₁, ... , λ_n)∈Dⁿ. En d´eduire, `a l’aide du th´eor`eme de Hahn-Banach, que si (E,k.k) est un espace vectoriel norm´e complexe et siR :Cⁿ→Eest polynomiale, alors

sup

Dn

kR(λ₁, ... , λ_n)k= sup

(∂D)n

kR(ζ₁, ... , ζ_n)k .

2 Soit M ∈ M_n(C); on note λ₁, ... , λ_n les valeurs propres de la matrice √

M^∗M, o`u M^∗ = ^tM. En utilisant la d´ecomposition polaire, montrer qu’il existe une application Q:Cⁿ→ M_n(C) v´erifiant les propri´et´es suivantes :







Qest polynomiale Q(λ₁, ... , λ_n) = M

Q(z₁, ... , z_n) est unitaire si |z₁|=...=|z_n|= 1

3 On note k . k la norme sur M_n(C) subordonn´ee `a la norme hermitienne usuelle sur Cⁿ. Montrer que si M ∈ M_n(C) v´erifie kMk ≤ 1, alors, pour tout polynˆome P ∈C[X], on a

kP(M)k ≤sup

|P(z)|; z ∈D . Exercice 48 (principe de subordination)

Soient f et F deux fonctions holomorphes dans le disque unit´e D. On suppose qu’on a f(0) = F(0) , f(D) ⊂ F(D), et que F est injective. En utilisant le lemme de Schwarz, montrer que pour tout r < 1, on a f(D(0, r)) ⊂ F(D(0, r)), et donc sup_|z|=r|f(z)| ≤sup_|z|=r|F(z)|.

Exercice 49 (automorphismes de D)

A Soit a∈D. Pour z 6= 1/a, on pose ϕa(z) = a−z 1−az .

1 Calculer |ϕ_a(ζ)| pourζ ∈∂D, et en d´eduire qu’on aϕ_a(D)⊂D.

2 Montrer que la restriction de ϕ_a `a D est une bijection holomorphe de D surD, et d´eterminer sa r´eciproque.

B Soit ϕ un automorphisme deD, i.e. une bijection holomorphe de D surD.

1 On suppose qu’on a ϕ(0) = 0. En appliquant le lemme de Schwarz `a ϕ et ϕ<sup>−1</sup>, montrer que ϕest une rotation : ϕ(z) =λz, o`u|λ|= 1.

2 Dans le cas g´en´eral, montrer que ϕ est de la forme ϕ(z) =λϕ_a(z), o`u |λ| = 1 et a∈D.

C(forme invariante du lemme de Schwarz)

1 En utilisant le lemme de Schwarz, montrer que si f est une fonction holomorphe surD v´erifiant f(D)⊂D, alors

f(b)−f(a) 1−f(b)f(a)

≤

b−a 1−ba

pour tous a, b∈D, et

|f⁰(z)|

1− |f(z)|² ≤ 1 1− |z|² pour tout z∈D.

2 Pour a, b∈D, on pose

δ(a, b) = |ϕ_b(a)|=

b−a 1−ba

. a Montrer que si a, b, c∈D, alors δ(ϕ_c(a), ϕ_c(b)) =δ(a, b).

b En utilisant l’identit´e 1−

b−a 1−ba

2

= 1− |b|²

1− |a|² 1−ba

2 ,

montrer que si a, b∈D, alors

δ(a, b)≤ |a|+|b|

1 +|a||b| ≤ |a|+|b|

c D´eduire dea et b queδ est une distance sur Det que les ϕc sont des isom´etries pourδ. On dit que δ est la distance pseudo-hyperbolique sur le disque D.

d Comment s’´enonce le r´esultat de 1 en termes de distance pseudo-hyperbolique?

Exercice 50 Soit f : D → C continue sur D et holomorphe dans D. On suppose qu’on a f(D)⊂D, et que f s’annule en a₁, ... , a_n ∈D avec multiplicit´esm₁, ... , m_n. Montrer qu’on a |f(0)| ≤ |a₁|^m1...|a_n|^mn.

Exercice 51Trouver le nombre de solutions de l’´equationz⁵+12z³+3z²+20z+3 = 0 dans la couronne {1<|z|<2}.

Exercice 52 Soit a∈R, a > e, et soit n∈N^∗. Montrer que f(z) = azⁿ−e^z admet n z´eros simples dans le disque unit´e D.

Exercice 53 Pour n ∈ N, on note P_n le n-i`eme polynˆome de Taylor de la fonction exponentielle,

P_n(z) =

n

X

0

z^k k! , et on note Z_n l’ensemble des z´eros deP_n.

1 Montrer que R_n = inf{|z|; z ∈Z_n}tend vers l’infini avec n.

2 En appliquant convenablement le th´eor`eme de Rouch´e, montrer que pour tout n∈N, on a

Z_n⊂D(0,2n). Exercice 54 (fonctions implicites)

A Soit f une fonction holomorphe au voisinage d’un disqueD(0, r) et ne s’annulant pas sur ∂D(0, r).

1 Soitϕune autre fonction holomorphe au voisinage deD(0, r). Exprimer l’int´egrale 1

2iπ Z

∂D(0,r)

f⁰(z)

f(z) ϕ(z)dz

`

a l’aide des z´eros def situ´es dans le disqueD(0, r).

2 On suppose que f admet un seul z´ero a dans le disque D(0, r), et que ce z´ero est simple. Exprimer a par une formule int´egrale.

B Soit r = 1/√

3, et soit V le disque D(0,2r/3).

1Montrer que si λ∈V, alors il existe un uniquez ∈Cv´erifiant|z|< retz³+z =λ.

On pose z =f(λ).

2 Montrer que pourλ∈V, on a f(λ) = 1

2iπ Z

∂D(0,r)

ζ(3ζ² + 1) ζ³+ζ−λ dζ .

En d´eduire que la fonction f est holomorphe dans V, et trouver son d´eveloppement en s´erie enti`ere.

CMontrer que siλest assez proche de 1, alors l’´equationz⁴−5z+λ= 0 admet une unique solution dans le disque unit´eD. Montrer que ϕest holomorphe au voisinage de 1, et trouver son d´eveloppement en s´erie enti`ere au voisinage de 1.

Exercice 55 (Hurwitz)

Soit Ω un ouvert connexe de C, et soit (f_n) une suite de fonctions holomorphes sur Ω. On suppose que (f_n) converge dans H(Ω) vers une fonctionf.

1 Montrer que si les f_n ne s’annulent jamais, alors ou bienf ne s’annule jamais, ou bien f est identiquement nulle.

2 Montrer que si les fn sont injectives, alors ou bien f est injective, ou bien f est constante.

Exercice 56 Calculer I₁ = Z ∞

0

dx

1 +x⁶ etI₂ = Z +∞

−∞

dx (x²+x+ 1)²·

Exercice 57 Soit n un entier strictement positif . D´eterminer la transform´ee de Fourier de la fonctiont 7→ 1

1 +t²ⁿ. Exercice 58 Calculer l’int´egrale

Z ∞ 0

sin²x x² dx.

Exercice 59 Soit n un entier au moins ´egal `a 2, et soit α v´erifiant 1−n < α < 1.

Calculer

I = Z ∞

0

dx x^α(1 +xⁿ) · Exercice 60 Pour α∈]−1 ; 1 [, calculer l’int´egrale

Iα = Z ∞

0

x^αLogx x²−1 dx apr`es avoir justifi´e son existence.

Exercice 61 (calculs de sommes)

A Soit F = P/Q une fonction rationnelle n’ayant aucun pˆole entier, avec de plus deg(Q)≥deg(P) + 2.

1 Pourn ∈N, on note R_n le carr´e de sommets (±(n+¹₂),±(n+¹₂)). Montrer qu’on a

n→∞lim Z

∂Rn

F(z)

tan(πz)dz = 0 = lim

n→∞

Z

∂Rn

F(z) sin(πz)dz . 2 On note P l’ensemble des pˆoles de F. Etablir les formules

+∞

X

−∞

F(n) = −X

p∈P

Res

F(z) tan(πz), p

,

+∞

X

−∞

(−1)ⁿF(n) = −X

p∈P

Res

F(z) sin(πz), p

.

B Calculer les sommes suivantes.

S₁ =

∞

X

1

1

n² ; S₂ =

∞

X

0

1

n²+a² , 0< a <1 ; S₃ =

+∞

X

−∞

(−1)ⁿ

n²+a² , 0< a <1 ; S₄ =

∞

X

0

1

n²−a² , a∈C\Z; S₅ =

∞

X

1

1

n^2k =ζ(2k) , k∈N^∗.

Exercice 62 (somme binˆomiale)

1a Montrer que pourk, n∈N, k≤n, on a C_n^k = 1

2iπ Z

∂D

(1 +z)ⁿ z^k+1 dz . 1b En d´eduire la majoration C_2nⁿ ≤4ⁿ.

2 Calculer l’int´egrale

I = Z

∂D

dz z²−3z+ 1 · 3 En utilisant1 et 2, ´etablir la formule

∞

X

0

5⁻ⁿC_2nⁿ =√ 5.

Exercice 63 (sommes de Gauss)

Dans tout l’exercice, n est un entier strictement positif.

1 Soient ε , R v´erifiant 0< ε <1/2 et ε < R. On note Qε,R le rectangle de sommets

±iR, ⁿ₂ ±iR, et on pose K_ε,R={z ∈Q_ε,R; |z| ≥ε , z− ⁿ₂

≥ε}. Dessiner K_ε,R, et montrer qu’on a

Z

∂Kε,R

e^2iπz2/n

e^2iπz−1dz = X

0<k<n/2

e^2iπk2/n.

2 Comparer les deux sommes X

0<k<n/2

e^2iπk2/n et

n−1

X

k=0

e^2iπk2/n. 3 D´eduire de 1 et 2 le calcul de la n-i`eme somme de Gauss :

n−1

X

k=0

e^2iπk2/n =√

n 1 + (−i)ⁿ 1−i ·

Exercice 64 (formule des compl´ements)

A Soit α∈]0; 1[. En utilisant le th´eor`eme des r´esidus, ´etablir la formule Z ∞

0

dt

t^α(1 +t) = π sinπα·

BEn utilisant convenablement le th´eor`eme de changement de variables, montrer que pour tout α∈]0; 1[, on a

Γ(α)Γ(1−α) = Z ∞

0

dv v^1−α(1 +v)· CMontrer que pour z ∈C v´erifiant 0<Re(z)<1, on a

Γ(z)Γ(1−z) = π sinπα·

Exercice 65Le but de l’exercice est de montrer que si a est un nombre r´eel stricte- ment positif, alors, pour Re(z)>2, on a

1

Γ(z) = 1 2π

Z +∞

−∞

e^a+iu (a+iu)^z du . 1 Pour a >0 et λ∈R, on pose

I_a(λ) = Z +∞

−∞

e^λ(a+iu) (a+iu)² du . a Montrer que Ia(λ) est ind´ependant de a.

b En utilisant le th´eor`eme des r´esidus, calculer I_a(λ) lorsqueλ ≥0.

c Montrer que siλ <0, alors I_a(λ) = 0.

2 Soit a >0. Pour Re(z)>2, montrer qu’on peut ´ecrire Γ(z)×

Z +∞

−∞

e^a+iu

(a+iu)^z du= (z−1)(z−2) Z +∞

−∞

Z ∞ 0

t^z−3e^−(a+iu)t e^a+iu

(1 +iu)² dt du· 3 Conclure.

III Probl` emes

Probl`eme 1 (points singuliers d’une s´erie enti`ere) Dans tout le probl`eme, S =P

n≥0c_nzⁿ est une s´erie enti`ere de rayon de convergence R fini et non nul. On note f la somme de cette s´erie dans le disque D(0, R).

A (g´en´eralit´es)

On dit qu’un pointζ ∈∂D(0, R) est unpoint r´egulier pourS si la fonction f admet un prolongement holomorphe au voisinage deζ, autrement dit s’il existe un ouvert Ω contenantD(0, R)∪ {ζ}et une fonctionF ∈ H(Ω) telle queF ≡f dansD(0, R). Un point de∂D(0, R) non r´egulier pourS est dit singulier. On note Sing(S) l’ensemble des points singuliers pour S.

1D´eterminerSing(S) lorsqueS =P

n≥0zⁿet lorsqueS =P

n≥1 (−1)ⁿ

n zⁿ. Y-a-t-il un lien entre la r´egularit´e d’un point ζ ∈∂D(0, R) et la convergence de la s´erieP

c_nζⁿ? 2 Montrer que Sing(S) est un ferm´e de ∂D(0, R).

3 Montrer que Sing(S) est toujours non vide.

B Poura∈D(0, R), on note r(a) le rayon de convergence de la s´erie de TaylorS_a= Pf⁽ⁿ⁾(a)

n! (z−a)ⁿ, et on d´efinit les points r´eguliers et singuliers pour S_a exactement comme en A.

1a Montrer que pour touta∈D(0, R), on a r(a)≥R− |a|.

1bMontrer que sia6= 0 et sir(a) =R−|a|, alors tous les points du cercle∂D(a, r(a)) sauf peut-ˆetre ζ =R_|a|^a sont r´eguliers pour la s´erie S_a. En d´eduire que pour a 6= 0, on ar(a) =R− |a|si et seulement si ζ =R_|a|^a est un point singulier pour la s´erie S.

2 On suppose que tous les coefficientsc_n sont positifs.

a Montrer que pour tout a∈D(0, R), on a r(a)≥r(|a|).

b En consid´erant les points du cercle{|a|=R/2}, en d´eduire, `a l’aide de1b, que le pointζ =R est un point singulier pour S (th´eor`eme de Pringhsheim).

CDans cette partie, on suppose queR est ´egal `a 1. Pourn∈N, on poses_n =Pn 0 c_k. 1 Montrer que pour toutz ∈D, on a f(z) = (1−z)P∞

n=0snzⁿ.

2 En d´eduire que si les ck sont r´eels et si limn→∞sn = +∞, alors 1∈Sing(S).

3Le r´esultat de2est-il encore valable si on suppose seulement qu’on a lim_n→∞|s_n|= +∞?

D Dans cette partie, S est la s´erie enti`ere P z^n!.

1 Montrer que si ζ0 ∈ ∂D est de la forme e^2iπα, o`u α ∈ Q, alors limr→1⁻|f(rζ0)| = +∞.

2 Montrer que tous les points de ∂D sont singuliers pourS.

E Dans cette partie, on suppose que R = 1 et que S est de la forme S =P cnz^pn, o`u la suite (pn) estlacunaire, ce qui signifie qu’il existe une constantec > 1 telle que p<sub>n+1</sub>/p<sub>n</sub> ≥cpour tout n∈N. On veut montrer que tous les points du cercle T sont singuliers pour S (th´eor`eme des lacunes d’Hadamard).

1 Montrer qu’il existe un entierM ≥1 tel que M p_n+1 >(M+ 1)p_n pour toutn≥0.

2 Soit Q le polynˆome ¹₂(X^M +X^M+1).

a Montrer qu’on a |Q(z)|<1 pour tout z ∈D\{1}.

b On note F la fonction holomorphe d´efinie dans D par F(w) = f(Q(w)), et P∞

0 b_mw^m son d´eveloppement en s´erie enti`ere dans D. En utilisant 1, montrer que pour tout entier n∈N, on a l’´egalit´e de polynˆomes

n

X

0

c_kQ^pk =

(M+1)pn

X

0

b_mX^m.

3 On suppose que le pointζ = 1 est un point r´egulier pour S.

a En utilisant 2a, montrer que F se prolonge en une fonction holomorphe au voisinage de D.

b En utilisant2b, en d´eduire une contradiction avec l’hypoth`ese faite sur le rayon de convergence de S.

4 Conclure.

Probl`eme 2 (nombres et polynˆomes de Bernoulli)

A1 Montrer que la fonction z 7→ _ez^z−1 se prolonge en une fonction holomorphe au voisinage de 0. On ´ecrit son d´eveloppement de Taylor en 0 sous la forme

z e^z−1 =

∞

X

n=0

B_n n! zⁿ. Les nombresB_n sont appel´es les nombres de Bernoulli.

A2 Calculer B₀, B₁, et montrer que pour tout n ≥2, on a

n−1

X

k=0

C_n^kB_k= 0 . En d´eduire que les Bn sont rationnels.

A3 V´erifier l’identit´e _ez¹−1 = −¹₂ +₂ⁱ cotan^iz₂, puis montrer qu’on a B_2p+1 = 0 pour tout p≥1.

A4 Montrer que la fonction z 7→ zcotanz se prolonge en une fonction holomorphe au voisinage de 0, et ´ecrire son d´eveloppement de Taylor en 0 `a l’aide des nombres de Bernoulli.

B1 Montrer que pour tout point w ∈ C, la fonction z 7→ ^ze_ez−1^wz se prolonge en une fonction holomorphe au voisinage de 0. On ´ecrit son d´eveloppement de Taylor en 0 sous la forme

ze^wz e^z−1 =

∞

X

0

P_n(w) n! zⁿ.

B2 Montrer que lesP_nsont des fonctions polynomiales `a coefficients rationnels; plus pr´ecis´ement montrer qu’on a

Pn(w) =

n

X

0

C_n^kBkw^k

pour tout n ≥ 0, o`u les B_k sont les nombres de Bernoulli. Les polynˆomes P_n s’appellent les polynˆomes de Bernoulli .

B3 Pour n∈N^∗, ´etablir les relations

P_n⁰ =nP_n−1,

P_n+1(w+ 1)−P_n(w) = nwⁿ⁻¹, P_n(1−w) = (−1)ⁿP_n(w). C(prolongement m´eromorphe de ζ `aC)

1a Quel est le rayon de convergence de la s´erie enti`ere P_Bn

n! zⁿ? 1b Montrer que la s´erie P _B2n

(2n)!

1

z+2n−1 converge normalement sur tout compact de C\{1;−1;−3;...}, et que pour z ∈Cv´erifiant Re(z)>2, on peut ´ecrire

Z 1 0

t^z−1

e^t−1 dt= 1

z−1 − 1 2z +

∞

X

1

B_2n (2n)!

1 z+ 2n−1 · 2 Montrer que pours >1, on a

ζ(s) Γ(s) = Z ∞

0

t^s−1 e^t−1 dt .

3 D´eduire de 1 et 2 que la fonction ζ se prolonge m´eromorphiquement `a C. D1Constater que pour n≥1, on a _(2n)!^B2n = Res

1

z²ⁿ(e^z−1),0 .

D2En int´egrant _z2n(e^dzz−1) sur le bord du rectangleR_N de sommets±1±i(2N+ 1)π pour tout N ∈N^∗, montrer que si n ∈N^∗, alors

ζ(2n) = (−1)ⁿ⁻¹ 2²ⁿ⁻¹B_2n (2n)! π²ⁿ.

Probl`eme 3 (th´eor`eme de McLane)

Le but de l’exercice est de montrer qu’il existe une fonction ϕ ∈ H(C) telle que la suite (ϕ⁽ⁿ⁾)n≥0 est dense dansH(C).

A Montrer que l’espace H(C) est s´eparable.

B On note T :H(C)→ H(C) l’op´erateur de d´erivation, d´efini par T f =f⁰. D’autre part, on d´efinit une application S : H(C) → H(C) de la fa¸con suivante : Sf est l’unique primitive de f valant 0 en 0.

1 Montrer que les propri´et´es suivantes sont v´erifi´ees :

(i)TⁿSⁿf =f pour toute f ∈ H(C) et pour tout entier n ≥0;

(ii) il existe une partie denseA ⊂ H(C) telle queTⁿf tend vers 0 dansH(C) pour toute f ∈ A;

(iii) il existe une partie denseB ⊂ H(C) telle queSⁿf tend vers 0 dansH(C) pour toute f ∈ B.

2 Montrer que si u∈ A et si v ∈ H(C), alors Tⁿ(Sⁿv+u) tend versv dans H(C).

3 D´eduire de 2 que si V est un ouvert non vide de H(C), alors l’ensemble {ϕ∈ H(C); ∃n≥0 Tⁿϕ∈ V}

est un ouvert dense de H(C).

CD´emontrer le r´esultat souhait´e.

Probl`eme 4 (fonctions elliptiques) A (g´en´eralit´es)

Soient a₁, a₂ deux nombres complexes non nuls lin´eairement ind´ependants sur R; on note A le “r´eseau” Za₁ ⊕Za₂. On dit qu’une fonction f m´eromorphe sur C est elliptique pour le r´eseauA si on af(z+a)≡f(z) pour touta∈A; autrement dit si f(z+a₁)≡f(z)≡f(z+a₂). D’autre part, on appelleparall´elogramme fondamental associ´e `a A tout parall´elogramme de sommets z<sub>0</sub>, z<sub>0</sub>+a<sub>1</sub>, z<sub>0</sub> +a<sub>1</sub> +a<sub>2</sub>, z<sub>0</sub>+a<sub>2</sub>, o`u z₀ ∈C.

1 Montrer qu’une fonction enti`ere elliptique pour le r´eseau A est n´ecessairement constante.

2 Montrer que si f est une fonction elliptique pour le r´eseau A et si P est un parall´elogramme fondamental tel que∂P ne contient aucun z´ero et aucun pˆole def, alors R

∂Pf(z)dz = 0.

3 Soit f une fonction non constante elliptique pour le r´eseau A. En utilisant 2, montrer que siP est un parall´elogramme fondamental tel que ∂P ne contient aucun z´ero et aucun pˆole de f, alors le nombre de z´eros de f dans P est ´egal au nombre de pˆoles def dans P.

4 Soit f une fonction non constante elliptique pour le r´eseau A, et soit P un par- all´elogramme fondamental d´efini par un pointz₀, dont le bord ne contient ni z´ero ni pˆole def.

a Montrer que I₁ = R

[z0;z0+a1] f⁰(z)

f(z) dz et I₂ = R

[z0;z0+a2] f⁰(z)

f(z) dz sont des multiples entiers de 2iπ.

b Exprimer l’int´egraleR

∂P zf⁰(z)

f(z) dz `a l’aide de a₁,a₂,I₁ et I₂.

c On note Z la somme des z´eros de f contenus dans P et P la somme des pˆoles def contenus dans P, z´eros et pˆoles ´etant compt´es selon leur multiplicit´e. Montrer que Z−P appartient au r´eseau A.

B (fonction ℘ de Weierstrass)

Soienta₁, a₂ deux nombres complexes non nuls lin´eairement ind´ependants surR. On note A le r´eseau Zω₁⊕Zω₂, et on pose A^∗ =A\{0}.

1 Montrer qu’on a P

a∈A^∗ 1

|a|³ <+∞.

2 Montrer que la formule

℘(z) = 1

z² + X

a∈A^∗

1

(z−a)² − 1 a²

d´efinit une fonction m´eromorphe dans C dont les pˆoles sont les points deA.

3a Montrer que la fonction ℘⁰ est elliptique pour le r´eseau A.

3bObserver que℘est une fonction paire, puis montrer que℘elle-mˆeme est elliptique pour le r´eseau A.

4 Soit P le parall´elogramme de sommets ±a1±a2. D´eterminer le nombre de z´eros de℘⁰ situ´es `a l’int´erieur du parall´elogramme P, puis trouver les z´eros en question.

5a Montrer qu’il existe deux constantes λ , µ∈C telles que

℘(z) = 1

z² +λz²+µz⁴+O(z⁶) au voisinage de 0.

5bMontrer que℘⁰(z)²−4℘(z)³+20λ℘(z) admet une limite en 0 que l’on d´eterminera.

5c Montrer que ℘ v´erifie l’´equation diff´erentielle

℘⁰²−4℘³+ 20λ℘+ 28µ= 0 . Probl`eme 5 (un th´eor`eme de Paley et Wiener)

A Soit a > 0 et soit ϕ : R → C une fonction de classe C^∞ `a support dans [−a;a].

Montrer que la formule

F(z) = Z +∞

−∞

e^−itzϕ(t)dt

d´efinit une fonction enti`ere, et que pour tout entier n ≥0, on a

|F(z)|=O |z|⁻ⁿe^a|Im(z)|

quand |z| tend vers l’infini.

BSoit F une fonction enti`ere. On suppose qu’il existe un nombrea >0 tel que pour tout entier n ≥ 0, on a |F(z)| = O |z|⁻ⁿe^a|Im(z)|

quand |z| tend vers l’infini. On veut montrer qu’il existe une fonction ϕ : R → C de classe C^∞ et `a support dans [−a;a], telle que

F(z)≡ Z +∞

−∞

e^−itzϕ(t)dt .

1 Quel est le seul candidat possible pour ϕ? Montrer que ce candidat est de classe C^∞.

2En utilisant convenablement le th´eor`eme de Cauchy, montrer que pour tout b∈R, on a

ϕ(t)≡ 1 2π

Z +∞

−∞

e^it(x+ib)F(x+ib)dx . 3 D´eduire de 2 qu’on a ϕ(t) = 0 si |t|> a.

4 Conclure.

Probl`eme 6 (transformation de Laplace)

A Dans toute cette partie, f :R →C est une fonction localement int´egrable sur R et nulle sur ]− ∞; 0 [.

1a Soit s₀ ∈ C, et soit x₀ = Re(s₀). On suppose que l’int´egrale R∞

0 f(t)e^−ts0dt est absolument convergente. Montrer que si s ∈ C v´erifie Re(s) > x₀, alors l’int´egrale R∞

0 f(t)e^−tsdt est absolument convergente.

1b Montrer qu’il existe un unique nombre x_a(f) ∈ [−∞; +∞] tel que l’int´egrale R∞

0 f(t)e^−tsdt converge absolument pour Re(s)> x_a et ne converge pas absolument pour Re(s)< x_a. On dit que x_a est l’abscisse de convergence absolue de Laplace de la fonction f.

1c Donner un exemple o`u x_a= +∞.

2a Soit s₀ ∈ C. On suppose que l’int´egrale R∞

0 f(t)e^−ts0dt est convergente. En int´egrant judicieusement par parties, montrer que si s ∈ C v´erifie Re(s) > Re(s₀), alors l’int´egraleR∞

0 f(t)e^−tsdtest convergente, la convergence ´etant de plus uniforme par rapport `as dans tout secteur angulaire du typeS<sub>α</sub> ={s; |Arg(s−s<sub>0</sub>)| ≤α}, o`u α∈[0 ;π/2[ est fix´e.

2b Montrer qu’il existe un unique nombre x_c(f) ∈ [−∞; +∞] tel que l’int´egrale R∞

0 f(t)e^−tsdt converge pour Re(s)> x_c et diverge pour Re(s)< x_c. On dit que x_c est l’abscisse de convergence de Laplace de la fonction f.

2c Donner un exemple o`u x_c= +∞.

3 Montrer qu’on a toujours x_c≤x_a. Y a-t-il ´egalit´e en g´en´eral?

4 On suppose x_c<+∞. Montrer que la fonction Lf d´efinie par Lf(s) =

Z ∞ 0

f(t)e^−tsdt

est holomorphe dans le demi-plan {Re(s) > xc}. La fonction Lf s’appelle la trans- form´ee de Laplace de la fonctionf.

5a Soit x₀ ∈R. Montrer que si l’int´egrale R∞

0 f(t)e^−tx0dt converge, alors on a lim

x→x⁺₀

Lf(x) = Z ∞

0

f(t)e^−txdt .

5b En utilisant a, d´eterminer la valeur de l’int´egraleI =R∞ 0

sint t dt.

6 Dans cette question, on veut prouver l’injectivit´e de la transformation de Laplace, autrement dit montrer que si xc<+∞ et si Lf = 0, alors f = 0 presque partout.

a Etablir le r´´ esultat sous l’hypoth`ese x_a(f) <+∞. On pourra faire intervenir la transformation de Fourier.

b On suppose x_c(f) < +∞. Soit F la fonction d´efinie par F(x) = Rx

0 f(t)dt.

Montrer que si s ∈ C v´erifie Re(s) > Max(0, x_c(f)), alors e^−sxF(x) tend vers 0 quand x tend vers +∞.

cAvec les notations debmontrer qu’on axa(F)≤Max(0, xc(f)) et que si Re(s)>

Max(0, xc(f)), alors

LF(s) = 1

sLf(s) . d Conclure.

7 On suppose qu’on a x_a < +∞ et qu’il existe un nombre r´eel b > x_a tel que la fonction y7→ Lf(b+iy) est int´egrable sur R. Montrer que pour presque tout t∈R, on peut ´ecrire

f(t) = 1 2iπ

Z

b+iR

Lf(z)e^tzdz .

B Soit f : R → C localement int´egrable, nulle sur ]− ∞; 0 [. On suppose qu’on a xa(f)< +∞. Montrer que pour tout b > xa fix´e, Lf(s) tend vers 0 quand |s| tend vers +∞ et Re(s) ≥ b. On pourra commencer par le cas o`u f est de classe C<sup>1</sup> `a support compact.

C Soit x₀ ∈ R donn´e, et soit F une fonction holomorphe dans le demi-plan Π = {Re(s)> x₀}. On fait les hypoth`eses suivantes :

(1) pour toutb > x₀ fix´e,F(s) tend vers 0 quand|s|tend vers +∞et Re(s)≥b;

(2) pour toutb > x₀, la fonction y 7→F(b+iy) est int´egrable sur R.

On veut montrer qu’il existe une fonction f : R →C continue, nulle sur ]− ∞; 0 [, v´erifiant x_a(f)≤x₀, et telle que Lf ≡F dans le demi-plan Π.

1a Soit b > x₀. Montrer que la formule f_b(t) = 1

2iπ Z

b+iR

F(z)e^tzdz d´efinit une fonction continue surR.

1b En utilisant le th´eor`eme de Cauchy, montrer que la fonction fb ne d´epend en fait pas de b > x₀. Dans la suite, on ´ecrira donc f au lieu de f_b.

2aSoitb > x₀. PourR >0, on noteC_R,ble demi-cercle{b+Re^iθ; −π/2≤θ ≤π/2}.

Pour t < 0, d´eterminer la limite de l’int´egrale R

CR,bF(z)e^tzdz quand R tend vers +∞.

2b Montrer que la fonction f est nulle sur ]− ∞; 0 [.

3 Montrer qu’on a x_a(f)≤x₀ et que pourx > b > x₀, on peut ´ecrire Z ∞

0

f(t)e^−txdt=− 1 2iπ

Z

b+iR

F(z) z−xdz . 4 Conclure.

Probl`eme 7 (produits infinis et applications)

A Dans cette partie, on d´emontre le th´eor`eme “standard” concernant les produits infinis de fonctions.

1 On note Log la d´etermination principale du logarithme dans C\R⁻. Montrer que si h∈Cv´erifie |h|<1, alors |Log(1 +h)| ≤ _1−|h|^|h| .

2Soit (fn) une suite de fonctions `a valeurs complexes d´efinies sur un mˆeme ensemble X. On suppose que la s´erie P

(1−fn) est normalement convergente.

a Montrer qu’il existe un entierN tel que Log(f_n) est bien d´efinie pour n > N et la s´erie P

n>NLog(f_n) est normalement convergente.

bPourn∈N, on poseP_n =Qn

0 f_j. Montrer que la suiteP_nconverge uniform´ement surX vers la fonction P_Ne^S, o`u N est choisi comme en a etS =P

n>NLog(f_n).

3 Soit Ω ouvert de C, et soit (f_n) une suite de fonctions holomorphes sur Ω. On suppose que la s´erie P

(1−f_n) converge normalement sur tout compact.

a Montrer que la fonction f = Q∞

0 f_n est bien d´efinie, et qu’elle est holomorphe sur Ω.

b On note Z(g) l’ensemble des z´eros d’une fonction g ∈ H(Ω). Montrer qu’on a Z(f) =S

n≥0Z(f_n), la multiplicit´e d’un z´eroa ∈Z(f) ´etant ´egale `a la somme de ses multiplicit´es comme z´ero des f_n.

c Montrer que si les f_n ne s’annulent pas, alorsf ne s’annule pas et f⁰

f =

∞

X

0

f_n⁰ f_n ,

o`u la s´erie converge uniform´ement sur les compacts de Ω.

B Le but de cette partie est de montrer que pour tout z ∈C, on a sin(πz) =πz

∞

Y

1

1− z²

n²

.