Processus stochastiques - Master Actuariat Semestre automne 2017-2018

ISFA

Processus stochastiques - Master Actuariat Semestre automne 2017-2018

Vincent Lerouvillois [email protected]

Neuvième séance Révisions

1 D'autres exos

Exercice 1. Temps de sortie d'un intervalle centré Soit B _t un mouvement brownien. Pour tout a > 0 , on pose :

T a = inf{t ≥ 0, |B _t | = a}

1. Justier que T a est un temps d'arrêt. ♠ Pourquoi a-t-on que T a < +∞ presque sûrement ? 2. En utilisant une des martingales du mouvement Brownien et un théorème d'arrêt, montrer

que la transformée de Laplace de T a vaut : E [e ^−λT

] = 1

cosh(a √

2λ) , ∀λ > 0.

3. ♠ En déduire la valeur de E [T a ] .

Exercice 2. Encore une EDS

En posant Y t = (1 + t)X t , résoudre l'EDS :







dX t = − X t

1 + t dt + σ 1 + t dB t

X 0 = x 0 ,

où x 0 ∈ R et σ > 0 . Montrer que X t converge presque sûrement lorsque t tend vers +∞ vers une limite que l'on précisera.

2 Retour sur des anciens TDs

Exercice 3. [Martingale de Doob]

Soit X une variable aléatoire intégrable et soit (F _n ) n∈ N une ltration. On dénit le processus (Y n ) n∈ N par Y n = E [X|F _n ] . Montrez que (Y n ) n∈ N est une martingale par rapport à (F _n ) n∈ N . On l'appelle martingale de Doob de X .

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Exercice 4. [Martingale et processus prévisible] Soit (F _n ) n∈ N une ltration et soit (H _n ) n∈ N

un processus prévisible, ce qui signie que pour tout n ∈ N ^∗ , H n est mesurable par rapport à F _n−1 . Soit (M _n ) n∈ N une martingale par rapport à (F _n ) n∈ N . On suppose que pour tout n , H _n est borné et on dénit le processus (N n ) n∈ N de la manière suivante : N 0 = 0 et :

N n =

n

X

k=1

H k (M k − M k−1 ) si n ≥ 1 . Montrez que (N _n ) n∈ N est une martingale par rapport à (F _n ) n∈ N .

Exercice 5. [Principe de réexion] Le but de cet exercice est d'utiliser un principe dit de réexion pour prouver l'égalité suivante qui permet de connaître la loi jointe d'un mouvement Brownien et du processus supremum du mouvement Brownien : Soit B un mouvement Brownien.

Pour tou t ∈ R + , on note S _t = sup _s∈[0,t] B _s . On veut montrer que :

∀t ≥ 0, ∀a ≥ 0, ∀b ≤ a , P [S t ≥ a, B t ≤ b] = P [B t ≥ 2a − b] .

1. On note T _a le premier temps d'atteinte de a par le mouvement Brownien. On note B _s ^a = B s+T

− B T

. Que pouvez-vous dire de (B _s ^a ) _s∈R

?

2. Montrez que P [S _t ≥ a, B _t ≤ b] = P

T _a ≤ t, B _t−T ^a

a

≤ b − a . 3. En déduire que P [S t ≥ a, B t ≤ b] = P

T a ≤ t, B _t−T ^a

≥ a − b . 4. Conclure.

Exercice 6. [Le théorème de DambisDubinsSchwarz et la convergence des martin- gales] Soit (M _t ) t∈ R

une martingale locale par rapport à une ltration (F _t ) t∈ R

. On suppose que M est issue de 0 et qu'elle est presque sûrement continue. Le théorème de DambisDubinsSchwarz est le résultat suivant : il existe un mouvement Brownien B = (B _t ) t∈ R

(pas forcément adapé à (F _t ) _t∈R

!) tel que :

∀t ∈ R + , M _t = B _{<M >}

.

En déduire les propriétés suivantes : (1) M _t converge p.s. quand t tend vers +∞ si et seulement si < M > ∞ < +∞ p.s. ; (2) l'événement {< M > _∞ = +∞} est égal à l'événement {sup _{s∈ R}

M s =

− inf s∈ R

M _s = +∞} .

Exercice 7. [Le retour du théorème d'arrêt] On considère l'équation stochastique : X ₀ = 1, dX _t = 1

2 e ^−X

dt + e ^−X

^/2 dB _t .

Que dire de e ^−X

? Soit τ le temps d'atteinte par X t de {0, 2} . On admettra que τ < +∞ p.s..

Quelle est la probabilité que X _τ = 0 ? (Indication : On rappelle qu'une martingale locale bornée est une martingale et on appliquera le théorème d'arrêt.)

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