ISFA- M1 Semestre Automne 2017/2018

(1)

ISFA- M1 Semestre Automne 2017/2018

Statistique inférentielle lerouvillois@math.univ-lyon1.fr

Corrigé

Exercice 4, feuille 4 bis. (Intervalles de conance pour la loi normale)

On s'interroge sur la comparaison des tailles moyennes des garçons et des lles de 6 ans dans une popu- lation, pour cela on a pris comme échantillon, jugé représentatif de cette tranche d'âge, une classe d'école primaire (niveau CP en France), et on a observé :

16 garçons : moyenne 126.5 cm, écart-type estimé 12.9 cm 15 lles : moyenne 136.9 cm, écart-type estimé 11.9 cm.

On admet que la distribution des tailles dans chacune des sous-populations (garçons, lles) suit une loi gaussienne.

1. Donner des intervalles de conance à 95% pour les tailles moyennes des garçons et des lles.

2. Donner un intervalle de conance à 95% pour l'écart-type de la taille des garçons. Même question pour les lles.

3) Donner un intervalle de conance à 95% pour le rapport des deux écart-types. Peut-on conclure que les variances des deux populations sont diérentes ? (On donne, pour la loi de Fisher-Snedecor à (15,14) degrés de libertés, les quantiles f 0.975 = 2.95 et f 0.025 = _f ¹

0.975

= 0.339 ).

Corrigé : Soit X = (X ₁ , ..., X _m ) un m -échantillon de loi normale N (µ, σ ² ) représentant la taille des garçons mesurés et X ⁰ = (X ₁ ⁰ , ..., X _n ⁰ ) m -échantillon de loi normale N (µ ⁰ , σ ⁰² ) représentant la tailles des lles mesurées avec X et X ⁰ indépendants. (Ici, m = 16 et n = 15 ).

Soit X ¯ m =

P

m i=1

X

i

m et X ¯ _n ⁰ =

P

n i=1

X

_i⁰

n , les moyennes empiriques associées.

Soit S _m ² =

P

m

i=1

(X

i

− X ¯

m

)

²

m−1 et S ⁰ _n ² =

P

n

i=1

(X

_i⁰

− X ¯

_n⁰

)

²

n−1 , les variances estimées associés.

1. Comme σ est inconnu, pour déterminer un intervalle de conance pour µ, on va utiliser une statistique de Student. (Si σ était connu, on utiliserait directement la loi normale).

Propriété du cours sur les lois normales : Les statistiques ^√ ^{m( ¯} ^X _σ

^m

^−µ) et ^(m−1)S _σ

2 ^m²

sont indépendantes et de lois respectives N (0, 1) et χ ² (m − 1) .

On en déduit que l'estimateur :

T _m =

√ m( ¯ X

m

−µ) σ

q (m−1)S

_m²

σ

²

/(m − 1)

=

√ m( ¯ X m − µ)

S _m ∼ T (m − 1)

1

(2)

suit une loi de student de paramètre (m − 1) .

Remarque : Lorsque σ est connue, on utilise ^√ ^{m( ¯} ^X _σ

^m

^−µ) ∼ N (0, 1). Si σ est inconnu, "`on remplace"' σ par son écart-type estimé S m pour obtenir la statistique T m ∼ T (m − 1) .

On a donc P (|T _m | ≤ t ^m−1 _1−α/2 ) = 1 − α . D'où l'intervalle de conance de niveau 1 − α pour µ :

X ¯ _m − t ^m−1 _1−α/2 S m

√ m ≤ µ ≤ X ¯ _m + t ^m−1 _1−α/2 S m

√ m .

De même, on obtient l'intervalle de conance pour µ ⁰ : X ¯ _n ⁰ − t ⁿ⁻¹ _1−α/2 S _n ⁰

√ n ≤ µ ⁰ ≤ X ¯ _n ⁰ + t ⁿ⁻¹ _1−α/2 S _n ⁰

√ n .

Application Numérique : On lit sur la table de statistique pour α = 0.05 : t ¹⁵ _0.975 = 2.1314 et t ¹⁴ _0.975 = 2.1448 d'où les intervalles de conance de niveau 95% :

µ ∈ [119.63, 133.37], µ ⁰ ∈ [130.31, 143.49].

2. Pour déterminer un intervalle de conance pour σ, on utilise l'estimateur S _m ² et une loi du χ ² . On sait que ^(m−1)S _σ

2 ^m²

∼ χ ² (m − 1) d'où :

P

k ^m−1 _α/2 ≤ (m − 1)S ² _m

σ ² ≤ k ^m−1 _1−α/2

= 1 − α.

En isolant σ , on obtient l'intervalle de conance de niveau 1 − α :

S m

s m − 1

k _1−α/2 ^m−1 ≤ σ ≤ S m

s m − 1

k ^m−1 _α/2 , et de même, on obtint l'intervalle de conance pour σ ⁰ :

S _n ⁰

s n − 1

k _1−α/2 ⁿ⁻¹ ≤ σ ⁰ ≤ S _n ⁰

s n − 1 k _α/2 ⁿ⁻¹ .

Application Numérique : On lit sur la table de statistique k ¹⁵ _0.025 = 6.2621, k ¹⁵ _0.975 = 27.4884, k _0.025 ¹⁴ = 5.6287 et k _0.975 ¹⁴ = 26.1186 d'où les intervalles de conance de niveau 95% :

σ ∈ [9.53, 19.97], σ ⁰ ∈ [8.712, 18.77].

3. Pour déterminer un intervalle de conance de σ ⁰ /σ, on utilise l'estimateur S _n ⁰ /S m

et une loi de Fisher-Snedecor. On sait que ^(m−1)S _σ

2 ²^m

et ^(n−1)S _σ

02 ⁿ⁰²

sont indépendantes et de lois respectives χ ² (m − 1) et χ ² (n − 1) . On en déduit que la statistique :

F _m,n =

(m−1)S

²_m

σ

²

/(m − 1)

(n−1)S

⁰_n²

σ

⁰²

/(n − 1)

= σ ⁰² S _m ²

σ ² S _n ⁰ ² ∼ F(m − 1, n − 1),

2

(3)

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Statistique inférentielle lerouvillois@math.univ-lyon1.fr

Corrigé

Exercice 4, feuille 4 bis. (Intervalles de conance pour la loi normale)

On s'interroge sur la comparaison des tailles moyennes des garçons et des lles de 6 ans dans une popu- lation, pour cela on a pris comme échantillon, jugé représentatif de cette tranche d'âge, une classe d'école primaire (niveau CP en France), et on a observé :

16 garçons : moyenne 126.5 cm, écart-type estimé 12.9 cm 15 lles : moyenne 136.9 cm, écart-type estimé 11.9 cm.

On admet que la distribution des tailles dans chacune des sous-populations (garçons, lles) suit une loi gaussienne.

1. Donner des intervalles de conance à 95% pour les tailles moyennes des garçons et des lles.

2. Donner un intervalle de conance à 95% pour l'écart-type de la taille des garçons. Même question pour les lles.

3) Donner un intervalle de conance à 95% pour le rapport des deux écart-types. Peut-on conclure que les variances des deux populations sont diérentes ? (On donne, pour la loi de Fisher-Snedecor à (15,14) degrés de libertés, les quantiles f 0.975 = 2.95 et f 0.025 = f 1

= 0.339 ).

Soit X ¯ m =

P

X

m et X ¯ n 0 =

P

X

n , les moyennes empiriques associées.

Soit S m 2 =

P

(X

− X ¯

)

m−1 et S 0 n 2 =

P

(X

− X ¯

)

n−1 , les variances estimées associés.

1. Comme σ est inconnu, pour déterminer un intervalle de conance pour µ, on va utiliser une statistique de Student. (Si σ était connu, on utiliserait directement la loi normale).

Propriété du cours sur les lois normales : Les statistiques √ m( ¯ X σ

−µ) et (m−1)S σ

sont indépendantes et de lois respectives N (0, 1) et χ 2 (m − 1) .

On en déduit que l'estimateur :

T m =

√ m( ¯ X

−µ) σ

q (m−1)S

σ

/(m − 1)

=

√ m( ¯ X m − µ)

S m ∼ T (m − 1)

1

suit une loi de student de paramètre (m − 1) .

Remarque : Lorsque σ est connue, on utilise √ m( ¯ X σ

−µ) ∼ N (0, 1). Si σ est inconnu, "`on remplace"' σ par son écart-type estimé S m pour obtenir la statistique T m ∼ T (m − 1) .

On a donc P (|T m | ≤ t m−1 1−α/2 ) = 1 − α . D'où l'intervalle de conance de niveau 1 − α pour µ :

X ¯ m − t m−1 1−α/2 S m

√ m ≤ µ ≤ X ¯ m + t m−1 1−α/2 S m

√ m .

De même, on obtient l'intervalle de conance pour µ 0 : X ¯ n 0 − t n−1 1−α/2 S n 0

√ n ≤ µ 0 ≤ X ¯ n 0 + t n−1 1−α/2 S n 0

√ n .

Application Numérique : On lit sur la table de statistique pour α = 0.05 : t 15 0.975 = 2.1314 et t 14 0.975 = 2.1448 d'où les intervalles de conance de niveau 95% :

µ ∈ [119.63, 133.37], µ 0 ∈ [130.31, 143.49].

2. Pour déterminer un intervalle de conance pour σ, on utilise l'estimateur S m 2 et une loi du χ 2 . On sait que (m−1)S σ

∼ χ 2 (m − 1) d'où :

P

k m−1 α/2 ≤ (m − 1)S 2 m

σ 2 ≤ k m−1 1−α/2

= 1 − α.

En isolant σ , on obtient l'intervalle de conance de niveau 1 − α :

S m

s m − 1

k 1−α/2 m−1 ≤ σ ≤ S m

s m − 1

k m−1 α/2 , et de même, on obtint l'intervalle de conance pour σ 0 :

S n 0

s n − 1

k 1−α/2 n−1 ≤ σ 0 ≤ S n 0

s n − 1 k α/2 n−1 .

Application Numérique : On lit sur la table de statistique k 15 0.025 = 6.2621, k 15 0.975 = 27.4884, k 0.025 14 = 5.6287 et k 0.975 14 = 26.1186 d'où les intervalles de conance de niveau 95% :

σ ∈ [9.53, 19.97], σ 0 ∈ [8.712, 18.77].

3. Pour déterminer un intervalle de conance de σ 0 /σ, on utilise l'estimateur S n 0 /S m

et une loi de Fisher-Snedecor. On sait que (m−1)S σ

et (n−1)S σ

sont indépendantes et de lois respectives χ 2 (m − 1) et χ 2 (n − 1) . On en déduit que la statistique :

F m,n =

3) Donner un intervalle de conance à 95% pour le rapport des deux écart-types. Peut-on conclure que les variances des deux populations sont diérentes ? (On donne, pour la loi de Fisher-Snedecor à (15,14) degrés de libertés, les quantiles f 0.975 = 2.95 et f 0.025 = _f ¹

m et X ¯ _n ⁰ =

Soit S _m ² =

m−1 et S ⁰ _n ² =

Propriété du cours sur les lois normales : Les statistiques ^√ ^{m( ¯} ^X _σ

^−µ) et ^(m−1)S _σ

sont indépendantes et de lois respectives N (0, 1) et χ ² (m − 1) .

T _m =

S _m ∼ T (m − 1)

Remarque : Lorsque σ est connue, on utilise ^√ ^{m( ¯} ^X _σ

^−µ) ∼ N (0, 1). Si σ est inconnu, "`on remplace"' σ par son écart-type estimé S m pour obtenir la statistique T m ∼ T (m − 1) .

On a donc P (|T _m | ≤ t ^m−1 _1−α/2 ) = 1 − α . D'où l'intervalle de conance de niveau 1 − α pour µ :

X ¯ _m − t ^m−1 _1−α/2 S m

√ m ≤ µ ≤ X ¯ _m + t ^m−1 _1−α/2 S m

De même, on obtient l'intervalle de conance pour µ ⁰ : X ¯ _n ⁰ − t ⁿ⁻¹ _1−α/2 S _n ⁰

√ n ≤ µ ⁰ ≤ X ¯ _n ⁰ + t ⁿ⁻¹ _1−α/2 S _n ⁰

Application Numérique : On lit sur la table de statistique pour α = 0.05 : t ¹⁵ _0.975 = 2.1314 et t ¹⁴ _0.975 = 2.1448 d'où les intervalles de conance de niveau 95% :

µ ∈ [119.63, 133.37], µ ⁰ ∈ [130.31, 143.49].

2. Pour déterminer un intervalle de conance pour σ, on utilise l'estimateur S _m ² et une loi du χ ² . On sait que ^(m−1)S _σ

∼ χ ² (m − 1) d'où :

k ^m−1 _α/2 ≤ (m − 1)S ² _m

σ ² ≤ k ^m−1 _1−α/2

k _1−α/2 ^m−1 ≤ σ ≤ S m

k ^m−1 _α/2 , et de même, on obtint l'intervalle de conance pour σ ⁰ :

S _n ⁰

k _1−α/2 ⁿ⁻¹ ≤ σ ⁰ ≤ S _n ⁰

s n − 1 k _α/2 ⁿ⁻¹ .

Application Numérique : On lit sur la table de statistique k ¹⁵ _0.025 = 6.2621, k ¹⁵ _0.975 = 27.4884, k _0.025 ¹⁴ = 5.6287 et k _0.975 ¹⁴ = 26.1186 d'où les intervalles de conance de niveau 95% :

σ ∈ [9.53, 19.97], σ ⁰ ∈ [8.712, 18.77].

3. Pour déterminer un intervalle de conance de σ ⁰ /σ, on utilise l'estimateur S _n ⁰ /S m

et une loi de Fisher-Snedecor. On sait que ^(m−1)S _σ

et ^(n−1)S _σ

sont indépendantes et de lois respectives χ ² (m − 1) et χ ² (n − 1) . On en déduit que la statistique :

F _m,n =

= σ ⁰² S _m ²

σ ² S _n ⁰ ² ∼ F(m − 1, n − 1),

Donc P (F m,n ∈ [f _α/2 ^m−1,n−1 , f _1−α/2 ^m−1,n−1 ]) = 1 − α .

D'où l'intervalle de conance pour σ ⁰ /σ de niveau 1 − α : S _n ⁰

f _α/2 ^m−1,n−1 ≤ σ ⁰ /σ ≤ S _n ⁰ S m

f _1−α/2 ^m−1,n−1 .

Application Numérique : On nous donne f _0.025 ^15,14 = 0.339 et f _0.975 ^15,14 = 2.95 d'où l'intervalle de conance de niveau 95% :

σ ⁰ /σ ∈ [0.537, 1.58].

Conclusion : la valeur σ ⁰ /σ = 1 appartient à l'intervalle de conance de niveau 95% ci-dessus donc on ne peut pas rejeter l'hypothèse σ ⁰ = σ .