Devoir surveillé n

E1B 2015-2016

Devoir surveillé n

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Samedi 26 septembre

Durée : 4 heures

La calculatrice est interdite.

On attachera une grande importance à la qualité de la rédaction.

Calcul

(Pas plus de 15 minutes)

Déterminer parmi les propositions suivantes celles qui sont vraies et celles qui sont fausses. On ne demande pas de justifier la réponse.

(Chaque bonne réponse apporte +2, chaque réponse fausse -2 et chaque absence de réponse -1)

1. e^a×b=e^a×e^b 2. lna

b = lna−lnb 3. bexp(a) = exp(a^b) 4. (a−b)² =a²−b² 5. e^a

e^b =e^a−b

6. ln(x) existe si et seulement six>0 7. ln(a+b) = lna+ lnb

8. a b + c

d= ad+bc bd 9. a

b >0⇔a>0 10. a

b > c

d ⇔ ad−bc bd >0

11. x x+ 1+2

x = x+ 2 x(x+ 1) 12. e^a+e^b=e^a+b

13. 4 +√ 1 +x²

2x = 2 +√ 1 +x² x 14. √

52 = 2√ 13

15. a^bc

a^cb =a^bc−cb 16. (x^x)⁰ =x×x^x−1 17. x >0⇒x>0 18. a>b⇒ a

b >1

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Cours

1. Soitf :R→Rune fonction.

Exprimer à l’aide de quantificateurs la propriété «f est strictement croissante ».

2. Écrire la négation de la propriété précédente.

3. Rappeler la définition de la fonction élévation à la puissancen oùn∈N. 4. Tracer le graphe de la fonction exponentielle.

(On précisera la tangente au point d’abscisse 0 et on donnera une valeur approchée de l’image de1.)

Exercice 1

On notef la fonction qui àxassocie −5x+ 3 x+ 7 . 1. Quel est l’ensemble de définition def? 2. Calculerf

−1 3

,f 2 +√ 5

etf

1

x

. On présentera les résultats sous une forme simplifiée.

Exercice 2

1. Déterminer l’ensemble de définition de la fonctionf :x7→ 1

√x+ 1 −x+ 1.

2. Résoudre l’inéquation : 3x+ 2

x−5 >1− 1 x. 3. Résoudre l’équation :x⁸−13x⁴+ 36 = 0.

4. Résoudre l’inéquation :x²−x < π.

5. Factoriser complètement le polynôme :x³−3x−2.

6. Écrire sans valeur absolue l’expression| −x²+ 4x−1|+| −5x−10|+|3x−2|.

7. Faire l’étude complète de la fonctionf définie par f(x) =√

x−x².

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Exercice 3

Le but de cet exercice est de résoudre l’équation a^b=b^a

où aetbsont desentiers strictement positifs tels quea < b.

1. Montrer que l’équationa^b =b^a est équivalente àf(a) =f(b), oùf est la fonction définie surR^∗+

parf(x) = lnx x .

2. Faire l’étude de la fonction f et dresser son tableau de variations (on admettra que sa limite quandx tend vers0 vaut−∞ et que sa limite quandx tend vers +∞ vaut 0). Tracer la courbe def.

Montrer quef admet un maximum global en un point que l’on précisera.

3. Quelles sont les valeurs possibles dea? 4. Résoudre l’équation1^b =b¹.

5. Résoudre l’équation2^b =b².

6. Conclure en donnant l’ensemble de tous les couples(a, b) où aet bsont des entiers strictement positifs vérifianta^b =b^a eta < b.

Exercice 4

Soient f etg les fonctions définies sur[0,+∞[par

f(x) = ln(1 +x) et g(x) = 2x x+ 2 On noteh la fonction définie sur ce même intervalle parh(x) =f(x)−g(x).

1. Étudier les variations deh. En déduire que ∀x∈[0,+∞[, f(x)>g(x).

2. Montrer que les courbes représentatives def etg admettent une tangente commune enx= 0.

3. Tracer dans un même repère les deux courbes ainsi que la tangente en question.

4. On définit désormais, pour tout réelα strictement positif, la fonction f_α par fα(x) = ln(1 +x)−αx

Étudier les variations de la fonctionf1.

5. Montrer que siα>1, on a∀x∈[0,+∞[, f(x)6αx.

6. Existe-t-il desα ∈]0,1[ tels que∀x∈[0,+∞[, f(x)6αx?

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