Universit´e Paris-Dauphine UE 15 Outils math´ematiques D´epartement LSO
DEGEAD 1`ere ann´ee
Examen du 30 janvier 2014
1heure 30
Les calculatrices, les t´el´ephones portables et tous les documents sont interdits.
Vous marquerez votre num´ero de TD sur la copie dans l’espace pr´evu
`
a cet effet.
Il sera tenu compte de la pr´esentation, de la lisibilit´e et de la r´edaction. Tous les calculs doivent figurer sur la copie : un r´esultat exact, mais non justifi´e sera consid´er´e comme nul.
Exercice 1(60% de la note)
On consid`ere la fonctionf d´efinie sur le domaineIRpar :
∀x∈IR, f(x) =
x−xln(|x|) six6= 0
0 six= 0
1. Montrer quef est une fonction impaire surIRc’est-`a-dire
∀x∈IR, f(x) +f(−x) = 0.
2. Montrer quef est continue surIR.
3. Calculer la limite def quandxtend vers +∞. En d´eduire la limite def quandxtend vers−∞.
4. La fonction est-elle d´erivable en 0 ? 5. R´esoudre surIRl’´equation
f(x) = 0.
6. Montrer que la d´eriv´ee de f surIR∗ est
∀x∈IR∗, f0(x) =−ln|x|.
7. Donner le tableau de variations def.
8. On admet que f est C2 surIR∗. Sur quels intervalles de IR∗, la fonction f est-elle convexe, concave ?
9. Ecrire l’´equation de la tangente `a la courbe repr´esentative def au point x=e.
1
10. En d´eduire que
∀x >0, x−xln|x| ≤e−x.
11. Montrer quefest une bijection de [1,+∞[ surf([1,+∞[). On d´eterminera f([1,+∞[).
12. Calculer `a l’aide d’une int´egration par parties I=
Z e
1
f(t)dt.
13. Tracer le graphe de f en repr´esentant la tangente obtenue `a la question 9) et hachurez l’aire correspondante au calcul deI.
Exercice 2(40% de la note)
On consid`ere la fonctionf d´efinie sur le domaineIRpar :
∀x∈IR, f(x) =p
x2+ 1−x.
On admet quef est continue et d´erivable surIR.
1. Calculer la limite de f quand x tend vers +∞ ainsi que la limite de f quand x tend vers −∞. On pourra utiliser la quantit´e conjugu´ee pour une des limites.
2. Montrer que la d´eriv´ee de f surIRest
∀x∈IR, f0(x) = x−√ x2+ 1
√
x2+ 1 . En d´eduire les variations def surIR.
3. Montrer quef d´efinit une bijection de IRsurf(IR). On pr´ecisera f(IR).
4. D´eterminer f−1. 5. On pose
A= Z 1
0
px2+ 1dx, B= Z
√2−1
1
f−1(y)dy.
(a) Sans calculer B, `a l’aide du changement de variable y = f(x) que l’on justifiera, montrer que
B= Z 1
0
xf0(x)dx.
En d´eduire `a l’aide d’une int´egration par parties que
B =√ 2−1−
Z 1
0
f(x)dx.
(b) Calculer B et en d´eduire la valeur deA.
2
