Sup PCSI2 — Devoir 2001/06 ◮ Pour n > 1, on note v

Sup PCSI2 — Devoir 2001/06

◮Pourn>1, on notevn= 1 n

√n

n! etwn= nⁿ n!. Q1 Quelle relationsimple existe-t-il entrevn etwn? Q2 Donnez une expressionsimple de w_n+1

wn

, pourn>1.

Q3 Pourn>1, ´etablir³ 1 + 1

n

´ⁿ

>2.

Q4 En d´eduire wn >2ⁿ pourn>6.

Q5 Montrez que le plus petit rang `a partir duquel on aw_n>2ⁿ est exactement 6.

Q6 Donnez un majoranttr`es simple de la suite (vn)ⁿ>1.

Q7 D´eterminez la limite de la suite de terme g´en´eral x_n= ln(w_n+1)−ln(w_n).

Q8 Pourx>0, justifiez l’encadrement 06x−ln(1 +x)6 x² 2 . Q9 Prouvez l’encadrement 061 + ln(w_n)−ln(w_n+1)6 1

2n. Q10 Pour 06x <1, justifiez la majoration x6−ln(1−x).

Q11 En d´eduire X

16k6n

1

k 61 + lnn.

Q12 D´eterminez alors la limite de la suite de terme g´en´eral ln(wn) n . Q13 D´eterminez la limite de la suite (vn)ⁿ>1.

Q14 Peut-on retrouver ainsi la majoration dev_n´etablie `a la question 6 ?

[Devoir 2001/06] Compos´e le 11 juin 2008