UCBL – L1 PCSI – UE Math 2 F onctio ns de plusieur s va riab les et champs de vecte urs
AlessandraFrabetti InstitutCamilleJordan, D´epartementdeMath´ematiques Universit´eClaudeBernardLyon1 http://math.univ-lyon1.fr/„frabetti/Math2/ Butducours: GraphedefonctionLignesdeniveau TaylorExtrema ChampsdevecteursLignesdechampProg ramme et plan des cours
PartieI:Fonctionsdeplusieuresvariables CM1–Coordonn´ees,ensemblescompacts CM2–Fonctions,graphes,op´erations CM3–D´eriv´eespartielles,gradient,diff´erentielle CM4–Jacobienne,r`egledelachaˆıne CM5–D´eriv´eessecondes,Hessienne,Laplacien,Taylor,extrema CM6–Int´egralessimplesetdoubles CM7–Int´egralestriples.Aire,volume,centredemasse PartieII:Champsdevecteurs CM8–Champsscalairesetchampsdevecteurs CM9–Champsconservatifs CM10–Champsincompressibles CM11–Courbesetcirculation CM12–SurfacesetfluxPr ´erequis
1.EspacesvectorielsetvecteursdeR2 etR3 (produitsscalaire,vectorieletmixte). 2.Applicationslin´eairesetmatrices (produit,d´et´erminant,matriceinverse). 3.G´eom´etriecartesienneduplanetdel’espace (droites,coniques,plans,quadriques). 4.D´eriv´eesetint´egralesdesfonctionsd’unevariable (graphes,d´eriv´ees,pointscritiques,extrema,Taylor, primitives). 5.´ Equations
diff´erentiellesdu1erordre.
Chapitr e 1 F onctio ns de plusieur es va riables
Danscechapitre: 1.1–Coordonn´eescartesiennes,polaires,cylindriquesetsph´eriques 1.2–Ensemblesouverts,ferm´es,born´esetcompacts 1.3–Fonctionsdedeuxoutroisvariables 1.4–Graphesetlignesdeniveau 1.5–Op´erations,compositionetchangementsdecoordonn´ees1.1 – Co ordonn ´ees p olair es, cylindr iques, sph ´eriques
Danscettesection: ‚Coordonn´eescartesiennesetpolairesduplan ‚Coordonn´eescartesiennes,cylindriquesetsph´eriquesde l’espaceCo ordonn ´ees ca rtesi ennes du plan
OnnotepO,�ı,�qunrep`ere �i�j ‚ Oduplan. D´efinition–SoitPunpointduplan. ‚Lecoordonn´eescartesiennesdePsontlecouplepx,yqPR2 telque�v“ÝÑ OP“x�ı`y�”ˆ x y˙ . Autrementdit, x“}ÝÝÑ OP1 }ety“}ÝÑ OP2 } sontleslongueursdesprojections orthogonalesde�vdanslesdirec- tions�ıet�.
‚ O
�v
‚P ‚ P1
‚P2 x
y
Co ordonn ´ees p olaire s
‚Lescoordonn´eespolairesdeP‰Osontlecouple pρ,ϕqPR` ˆr0,2πrtelque" x“ρcosϕ y“ρsinϕ ‚ Oρ‚P ‚ P1
‚P2 x
yϕ Onadonc
$ ’ & ’ %
ρ“}ÝÑ OP}“a x2 `y2 ϕt.q.tanϕ“y xsix‰0oucotϕ“x ysiy‰0 ` parex.ϕ“arctany xsix,yą0˘
Exerci ce: co ord. p olair es ÝÑ ca rtesien nes
´ Enonc
´e–Pourlespointssuivantsduplan,dontonconnaitles coordonn´espolaires,trouverlescoordonn´eescartesiennes: A" ρ“3 ϕ“5π{4B" ρ“? 2 ϕ“3π{4C" ρ“0 ϕ“3π{2 R´eponse–Ondessinechaquepointsurunplan,ensuiteon calculelescoordonn´eescart´esiennesaveclesformules: ‚A# x“3cosp5π{4q“´3? 2 2 y“3sinp5π{4q“´3? 2 2Ap´3? 2 2,´3? 2 2q ‚B# x“? 2cosp3π{4q“´? 22 2 y“? 2sinp3π{4q“? 22 2Bp´1,1q ‚C" x“0cosp3π{2q“0 y“0sinp3π{2q“0Cp0,0q
Exerci ce: co ord. ca rtesi ennes ÝÑ p olaire s
´ Enonc
´e–Pourlespointssuivantsduplanencoordonn´es cartesiennes,trouverlescoordonn´eespolaires: Ap2,3qBp2,0qCp0,3q R´eponse–Ondessinechaquepointsurunplan,ensuiteon calculelescoordonn´eescartesiennesaveclesformules: ‚A
$ & %
ρ“? 4`9“? 13 cosϕ“2{? 13 sinϕ“3{? 13
" ρ“? 13 ϕ“arctan` 3 2˘ ‚B
$ & %
ρ“? 4`0“2 cosϕ“2{2“1 sinϕ“0{2“0
" ρ“2 ϕ“arctan0“0 ‚C
$ & %
ρ“? 0`9“3 cosϕ“0 3“0 sinϕ“3 3“1
" ρ“3 ϕ“π{2
Co ordonn ´ees ca rtesi ennes de l’espa ce
OnnotepO,�ı,�,� kqunrep`ere �i�j� k del’espace. D´efinition–SoitPunpointdel’espace. ‚Lescoordonn´eescartesiennesdePsontletripletpx,y,zqPR3 telque
ÝÑ � �v��“OP“xı`y`zk”
¨ ˝x y z
˛ ‚ . Autrementdit, x“}ÝÝÑ OP1 },y“}ÝÑ OP2 }etz“}ÝÑ OP3 } sontleslongueursdesprojectionsorthogonalesde�vdansles directions�ı,�et� k.
Co ordonn ´ees cylind riques
‚Lescoordonn´eescylindriquesdeP‰Osontletriplet pρ,ϕ,zqPR` ˆr0,2πrˆRtelque$ & %
x“ρcosϕ y“ρsinϕ z“z Sipx,y,zq‰p0,0,0qonadonc
$ ’ ’ ’ ’ & ’ ’ ’ ’ %
ρ“}ÝÑ OQ}“a x2 `y2 ϕtelque# cosϕ“x ρ sinϕ“y ρ z“z
Co ordonn ´ees sph ´eriques
‚Lescoordonn´eessph´eriquesdeP‰Osontletriplet pr,ϕ,θqPR` ˆr0,2πrˆs0,πrtelque$ & %
x“rcosϕsinθ y“rsinϕsinθ z“rcosθ Sipx,y,zq‰p0,0,0qonadonc
$ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ & ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ %
r“}ÝÑ OP}“a x2 `y2 `z2 ϕtelque
$ & %
cosϕ“x ? x2`y2 sinϕ“y ? x2`y2 θ“arccosz a x2 `y2 `z2
Co ordonn ´ees de l’espa ce
Exerci ce: co ord. cylindr iques ÝÑ ca rtesienn es
´ Enonc
´e–Pourlespointssuivants,dontonconnaitlescoordonn´es cylindriques,trouverlescoordonn´eescartesiennes: A$ & %
ρ“3 ϕ“π{3 z“2B
$ & %
ρ“? 2 ϕ“π{4 z“´3 R´eponse–Ondessinechaquepointsurunplan,ensuiteoncalculeles coordonn´eescartesiennesaveclesformules: ‚A
$ & %
x“3cospπ{3q“3 2 y“3sinpπ{3q“3? 3 2 z“2Ap3 2,3? 2 2,2q ‚B
$ ’ & ’ %
x“? 2cospπ{4q“? 22 2“1 y“? 2sinpπ{4q“? 22 2“1 z“´3Bp1,1,´3q
Exerci ce: co ord. sph ´eriques ÝÑ ca rtesi ennes
´ Enonc
´e–Pourlespointssuivants,dontonconnaitlescoordonn´ees sph´eriques,trouverlescoordonn´eescartesiennes: C$ & %
r“? 2 ϕ“π{2 θ“3π{4D
$ & %
r“1 ϕ“π{3 θ“π{6 R´eponse–Ondessinechaquepointsurunplan,ensuiteonappliqueles formules: ‚C
$ & %
x“? 2cospπ{2qsinp3π{4q“0 y“? 2sinpπ{2qsinp3π{4q“1 z“? 2cosp3π{4q“´1Cp0,1,´1q ‚D
$ ’ & ’ %
x“cospπ{3qsinpπ{6q“1 4 y“sinpπ{3qsinpπ{6q“? 3 4 z“cospπ{6q“? 3 2
Dp1 4,? 3 4,? 3 2q
Exo: ca rtesienn es Ñ cylindr iques et sph ´eriques
´ Enonc
´e–Pourlespointssuivantsencoordonn´eescartesiennes,trouver lescoordonn´eescylindriquesetsph´eriques: A“p´1,1,1qBp3,0,0qCp0,1,1q R´eponse– ‚A
$ ’ ’ & ’ ’ %
ρ“? 1`1“? 2 tanϕ“´1 r“? 1`1`1“? 3 cosθ“1 ? 3“? 3 3
$ & %
ρ“? 2 ϕ“3π{4 z“1
$ & %
r“? 3 ϕ“3π{4 θ“arccos? 3 3 ‚B
$ ’ ’ & ’ ’ %
ρ“? 9`0“3 tanϕ“0 3“0 r“? 9`0`0“3 cosθ“0 3“0
$ & %
ρ“3 ϕ“0 z“0
$ & %
r“3 ϕ“0 θ“π{2 ‚C
$ ’ ’ ’ ’ & ’ ’ ’ ’ %
ρ“? 0`1“1 cosϕ“0 sinϕ“1 r“? 0`1`1“? 2 cosθ“1? 2“? 2 2
$ & %
ρ“1 ϕ“π{2 z“1
$ & %
r“? 2 ϕ“π{2 θ“π{4
Notat ions des p oints
Conclusion– ‚Unpointg´eom´etriqueduplanoudel’espaceestnot´eP. ‚Unpointencoordonn´eesdansR2 ouR3 estnot´e�x. Celasignifiedoncpx,yq,pρ,ϕq,px,y,zq,pρ,ϕ,zqoupr,ϕ,θq selonlecontexte. DanslasuiteRn estl’undestroisespacesR,R2 ouR3 .1.2 – Ensembles ouver ts, ferm ´es, b orn ´es, compact s
Danscettesection: ‚Intervalles,disques,boules ‚Bordd’unensemble ‚Ensemblesouvertsetferm´es ‚Ensemblesborn´esetcompactsInterv alles
D´efinitions– ‚DansR,onappelle intervalleouvertIaprq“sa´r,a`rr intervalleferm´eIaprq“ra´r,a`rs borddel’intervalleBIaprq“� a´r,a`r( s|rra r ouvertr|sra r ferm´e|||‚‚a`raa´r bordDisques
‚DansR2 ,onappelle disqueouvert Dpa,bqprq“� px,yq|px´aq2 `py´bq2 ăr2( disqueferm´e Dpa,bqprq“� px,yq|px´aq2 `py´bq2 ďr2( borddudisque(=cercle) BDpa,bqprq“� px,yq|px´aq2 `py´bq2 “r2( ‚‚‚ pa,bqpa,bqpa,bqrrr ouvertferm´ebord
Boules
‚DansR3 ,onappelle bouleouverte Bpa,b,cqprq“� px,y,zq|px´aq2 `py´bq2 `pz´cq2 ăr2( bouleferm´ee Bpa,b,cqprq“� px,y,zq|px´aq2 `py´bq2 `pz´cq2 ďr2( borddelaboule(=sph`ere) BBpa,b,cqprq“� px,y,zq|px´aq2 `py´bq2 `pz´cq2 “r2( xy
z
Bo rd d’un ense mble
D´efinition–SoitDĂRn unsous-ensemble. ‚UnpointPestunpointint´erieur`aD,s’ilexisteuneboule ouverteBPcontenuedansD. ‚UnpointPestunpointext´erieur`aDilexisteuneboule ouverteBPquin’intersectepasD. ‚UnpointPPRn estunpointduborddeDsitouteboule ouverteBPcentr´eeenPcontient`alafoisdespointsdeDetde soncompl´ementaireRn zD. ‚LeborddeDestl’ensemble despointsdubord,not´eBD. Attention–UnpointdeBD peutˆetredansDounon!‚‚ ‚ bord
int´erieur ext´erieur
Ensembles ouve rts et ferm ´es
D´efinition–SoitDĂRn unsous-ensemble. ‚Destouverts’ilnecontientaucundesespointsdebord. ‚Destferm´es’ilcontienttoussespointsdebord. ouvertferm´e Propri´et´e–Lecompl´ementaired’unouvertestferm´e,le compl´ementaired’unferm´eestouvert. ‚Parconvention,l’ensemblevideHetRn sont`alafois ouvertsetferm´esdansRn . Attention–Ilexiste desensemblesquinesont niouvertsniferm´es! niouvertniferm´eEnsembles b orn ´es et compac ts
D´efinition–SoitDĂRn unsous-ensemble. ‚Destborn´es’ilexisteundisqueouvertBquilecontient. ‚Destcompacts’ilestferm´eetborn´e. born´ecompactExemples : non b orn ´es ferm ´es et ouver ts
Exemples– ‚Droites,demi-droites,plansetdemi-planssontnonborn´es. Lesdroitesetlesplanssontferm´es.Lesdemi-droitesetles demi-planssontferm´ess’ilscontiennentleurspointoudroite extreme. ‚ ‚LesquadrantsR`ˆR`etR˚ `ˆR˚ `sontnonborn´es. Lepremierestaussiferm´e.Ledeuxi`emeestouvertdansR2 mais nel’estpasdansR3 (cartoutlequadrantestsonpropreborddans R3 ). R`ˆR`R˚ `ˆR˚ `Exemples : b orn ´es ouver ts et ferm ´es
‚Disques,boules,carr´esetcubespleinssontborn´es. Ilssontferm´es(etdonccompacts)s’ilscontiennentleurbord (cercle,sph`ereoucarr´eetcube). bouleouvertebouleferm´eecubeouvertcubeferm´e ‚Lescouronnescirculairessontborn´ees.Dansleplan,ellessont ferm´ees(donccompactes)ououvertesselonqu’ellescontiennent lescirclesounon. couronneouvertecouronneferm´eeniouverteniferm´eeExerci ce
´ Enonc
´e–Dessinerlessous-ensemblessuivantsdeR2 etdires’ils sontouverts,ferm´es,born´esoucompacts: A“! px,yqPR2 |0ăxă5) B“! px,yqPR2 |0ďxď5,0ďyďx2 `3) C“! px,yqPR2 |0ďxă5,0ďyăx2 `3) R´eponse– y 5x A ouvertnonborn´e
y 3 5x B compact
y 3 5x C born´e niouvertniferm´e
1.3 – F onctions de deux ou trois va riabl es
Danscettesection: ‚Fonctionsr´eellesetvectoriellesdeplusieursvariables ‚DomaineetimageF onctio ns r´eelles et vecto rielles
D´efinition–Unefonctiondeplusieursvariablesestuneloi f:Rn ÝÑRm ,�xÞÑfp
�xq quiassocie`aunpoint
nm �x�xPRauplusunevaleurfpqPR. ‚Pourcecours,n“2ou3etm“1,2ou3. n ‚Sim“1,lafonctionf:RÝÑRestditer´eelle. ‚Simą1,lafonctionfestditevectorielle.
Exemples de fonctio ns de plusieur es va riable s
‚Fonctionsr´eelles f:R2 ÝÑR,px,yqÞÑfpx,yq“x3 `sinpxyq`1 Pression“fpVolume,Temperatureq f:R3 ÝÑR,px,y,zqÞÑfpx,y,zq“x3 z`xyz`lnpz2 `1q ‚Fonctionsvectorielles f:R2 ÝÑR3 ,px,yqÞÑfpx,yq“px2 ,x`y,y3 q g:R3 ÝÑR2 ,px,y,zqÞÑgpx,y,zq“px2 `z,xz`yq h:R2 ÝÑR2 ,pρ,ϕqÞÑhpρ,ϕq“pρcosϕ,ρsinϕqA ttenti on aux foncti ons vecto rielles et lin ´eaires !
Attention–Unefonctionvectoriellen’estpaslin´eaireen g´en´eral! Unefonctionf:Rn ÝÑRm estlin´eairesietseulementsi,en coordonn´eecartesiennes,sescomposantessontdes polynˆomesdedegr´e1sanstermesconstants. Parexemple: ‚fpx,y,zq“` 2z´x,0,3y`5x´z˘ estlin´eaire ‚gpx,y,zq“` xz`5,3,sinpyq˘ n’estpaslin´eaire, carcontientunpolynˆomededegr´e2(xz), deuxtermesconstantsnonnuls(5et3) etunefonctionnon-polynomiale(sinpyq).Domaine et image
D´efinition–Soitf:Rn ÝÑRm unefonction. ‚Ledomaine(ded´efinition)defestl’ensembledespointsde Rn pourlesquelsfestbiend´efinie: Df“� �xPRn |ilexistefp�xqPRm( ‚L’imagedefestl’ensembledesvaleursdef: If“fpDfq“� �yPRm |ilexiste�xPRn telque�y“fp�xq(Exemples : domaine et image
‚f:R2 ÝÑR,px,yqÞÑfpx,yq“a x2 `y2 ´1 Df“� px,yqPR2 |x2 `y2 ě1( =compl´ementairedudisqueDOp1q (ferm´enonborn´e) If“r0,`8r“R`y x ‚f:R2 ÝÑR,px,yqÞÑfpx,yq“a 1´x2 ´y2 Df“� px,yqPR2 |x2 `y2 ď1( =disqueferm´eDOp1q(compact) If“r0,1s
y x carx2 `y2 ě0ðñ0ď1´x2 ´y2 ď1 ðñ0ďa 1´x2 ´y2 “fpx,yqď1
