TD  — Convergence de variables al´eatoires

Int´egration et probabilit´es

ENS Paris, 2013-2014

TD  — Convergence de variables al´eatoires

0 – Petites questions

E

^{xercice 1.} Vrai ou faux ?

. Soient (X_n)_n≥une suite de variables al´eatoires r´eelles etX une variable al´eatoire r´eelle d´efinies sur (Ω,A,P). On suppose queX_n→Xen loi. Montrer quef(X_n)→f(X) en loi pour toute fonion continuef :R→R.

. Soit (µn)_n≥une suite de mesures de probabilit´e etµune mesure positive. Alors il y a convergence

´etroite desµ_nversµsi et seulement si, pour toute fonionf continue `a support compa, on a la convergence

Z

f dµ_n−→

Z f dµ.

. Si la suite de variables al´eatoires (X_n)_n≥converge en loi versX, alorsE[X_n]−→E[X].

E

^{xercice 2.} Quels sont les liens entre ces diff´erentes convergences : en loi, presque s ˆure, en probabilit´e, L^,L^ppourp >?

E

^{xercice 3. Soit (X}n)_n≥ une suite de variables al´eatoires r´eelles ind´ependantes. Montrer que presque s ˆurement la variable al´eatoire al´eatoire lim sup_n→∞X_neconante.

1 – Convergences en loi

E

^{xercice 4.} (Lemme de Slutsky) Soient (X_n)_n≥, (Y_n)_n≥ deux suites de variables al´eatoires r´eelles, et X, Y deux variables al´eatoires r´eelles d´efinies sur (Ω,A,P), telles queX_n→Xen loi etY_n→Y en loi.

. On suppose que les variablesX_n etY_n sont ind´ependantes pour toutn≥et que les variablesX etY sont ind´ependantes. Montrer que (X_n, Y_n)→(X, Y) en loi.

. E-il toujours vrai que (X_n, Y_n)→(X, Y) en loi ?

. Lemme de SlutskyOn suppose queY econante p.s. Montrer que (Xn, Y_n)→(X, Y) en loi.

E

^{xercice 5. Soit (X}n, n≥) une suite de variables al´eatoires r´eelles d´efinies sur (Ω,A,P) ind´ependantes et de mˆeme loiµ. On poseM_n= max(X_, . . . , X_n).

Pour des queions, demande de pr´ecisions ou explications, n’h´esitez pas `a m’envoyer un mail `a igor.kortchemski@ens.fr , ou bien `a venir me voir au bureau V.



. On suppose queµ ela loi uniforme sur [,]. Montrer que la suite (n(−M_n))_n≥converge en loi quandn→ ∞et expliciter la loi limite.

. On suppose queµela loi de Cauchyandard c’e-`a-dire queµ(dx) = (π(+x^))^−dx. Montrer que la suite (nM_n^−)_n≥converge en loi et expliciter la loi limite.Rappel :aran(x) = ^π_−^

x+o(^_x) quandx→+∞.

2 – Convergences en probabilit´e

E

^{xercice 6.}

. Montrer qu’une suite de variables al´eatoires r´eellesX_nconverge en probabilit´e vers une variable al´eatoireX si et seulement si de toute sous-suite de cette suite on peut extraire une sous-sous- suite qui converge ps versX.

. Montrer que si une suite de variables al´eatoires r´eellesX_n converge en probabilit´e vers une va- riable al´eatoireXet sif :R→Recontinue, alorsf(X_n) converge en probabilit´e versf(X).

. Soit (X_n)_n≥une suite de variables al´eatoires r´eelles qui converge en probabilit´e versX. On sup- pose qu’il exie une variable al´eatoire positiveY telle queE[Y]<∞et|X_n| ≤Y pour toutn≥.

Montrer queE[X_n]→E[Y] lorsquen→ ∞.

E

^{xercice 7.} (Probl`eme du colleionneur) Soit (Xk, k≥) une suite de variables al´eatoires ind´ependantes uniform´ement diribu´ees sur{,, . . . , n}. Soit

T_n= inf{m≥:{X_, . . . , X_m}={,, . . . , n}}

le premier temps o `u toutes les valeurs ont ´et´e observ´ees.

. Soitτ_kⁿ= inf{m≥:|{X_, . . . , X_m}|=k}. Montrer que les variables (τ_kⁿ−τ_kⁿ−)_≤k≤nsont ind´ependantes, et d´eterminer leurs lois respeives.

. En d´eduire queT_n/(nlogn)→en probabilit´e.

E

^{xercice 8. Soit (X}n)_n≥une suite de variables al´eatoires r´eelles etXune v.a. r´eelles d´efinies sur (Ω,A,P).

On suppose queX_n→Xen probabilit´e sousP. Montrer que siQeune mesure de probabilit´e sur (Ω,A) absolument continue par rapport `aP, alorsX_n→Xen probabilit´e sousQ.

3 – Convergences L

^p

E

^{xercice 9.} (Uniforme int´egrabilit´e) Soit (X_n)_n≥une suite de variables al´eatoires r´eelles sur (Ω,A,P).

On dit que la suite (X_n) euniform´ement int´egrable (ou equiint´egraable ou u.i.) si

Mlim→∞sup

n≥

E[|X_n|1^{|X_n|>M}] =.

. Montrer que si (Xn)_n≥edomin´ee par une v.a.Y int´egrable, alors (X_n)_n≥eu.i.

. Montrer que si (X_n)_n≥eu.i. alors

sup

n≥

E[|X_n|]<∞, mais que la r´eciproque efausse.



. On suppose que (X_n)_n≥eu.i. Montrer que

∀ε >, ∃δ >, ∀A∈ A, P(A)< δ⇒sup

n≥

E[|X_n|1A]< ε.

Montrer que la r´eciproque evraie `a condition de supposer supE[|X_n|]<∞.

. Soitp >, montrer que si (X_n)_n≥eborn´ee dansL^p(iesupE[|X_n|^p]<∞), alors (X_n)_n≥eu.i.

. On suppose queX_n→Xp.s.

(a) On suppose queX_n→XdansL^, montrer que (X_n)_n≥eu.i.

(b) R´eciproquement, on suppose que (X_n)_n≥eu.i.

i. Montrer queXeint´egrable.

ii. Montrer que la suite (X_n−X)_n≥eu.i.

iii. En d´eduire queX_n→XdansL^.

4 – Pour pr´eparer l’examen

R´eviser le cours et ce qui a ´et´e fait en TD. Chercher des exercices examens des ann´ees pr´ec´edents (les

´enonc´es sont disponibles sur le site d’enseignement du DMA –http://www.math.ens.fr/enseignement – partieArchives p´edagogiques, puisAnnales d’examens).

 – Compl´ements (hors TD)

E

xercice 10.

. Soitmune mesure de probabilit´e sur (R,B(R)). Pour toutn≥, on d´efinit une mesure de proba- bilit´em_nsur (R,B(R)) par :

m_n=X

k∈Z

m([k/n,(k+)/n[)δk/n.

Montrer que (m_n, n≥) converge ´etroitement versm.

. En d´eduire que si (Xn)_n≥eune suite de variables al´eatoires, chaqueX_n´etant de loi g´eom´etrique de param`etree<sup>−/n</sup>, alors la suite (X<sub>n</sub>/n)<sub>n</sub>≥converge en loi vers une variable al´eatoire exponen- tielle de param`etre.

E

xercice 11. Soient (X_n)_n≥ une suite de variables al´eatoires conantes, respeivement ´egales p.s. `a x_n∈R, etXune variable al´eatoire r´eelle. Montrer queX_n→Xen loi si et seulement si il exiex∈Rtel queXede loiδ_x etx_n→xquandn→ ∞.

E

xercice 12. ^{Soit (Ω},F,P) un espace probabilis´e. On suppose que Ω ed´enombrable et que la tribu F eP(Ω). Montrer que les convergences ”presque-s ˆur” et ”en probabilit´e” sont ´equivalentes sur cet espace (pour des variables al´eatoires `a valeur dans un espace m´etrique (E, d)).

E

xercice 13. ( ) Soit (Y_n)_n≥ une suite de variables al´eatoires r´eelles suivant respeivement une loi gaussienne N(m_n, σ_n^) avecm_n∈R etσ_n>. Montrer que cette suite converge en loi vers une variable r´eelleY si et seulement si les deux suites (m_n)_n≥et (σ_n)_n≥ convergent vers respeivementm etσ, et identifier la loi limite.



E

xercice 14. ( ) Soitλ > fix´e et soit (X_t)_t≥ une famille de variables al´eatoires telle que, pour tout t≥,X_t suit une loi g´eom´etrique de param`etre−e<sup>−t</sup>, c’e-`a-dire que

P[X_t=k] =e^−t(−e^−t)^k−, k≥.

Soit (U_n)_n≥une suite de variables al´eatoires telle que λU_n−ln(n) converge en probabilit´e vers−ln(E) lorsquen→ ∞, o `uEeune variable al´eatoire exponentielle de param`etre. On suppose de plus que les deux familles (X_t)_t≥et (U_n)_n≥sont ind´ependantes.

Montrer que, lorsquen→ ∞,X_Un/n^/λconverge en loi vers une variable al´eatoire exponentielle, dont le param`etre eal´eatoire et vautE^/λ.

Fin

