PC  – Lundi  mai  – Convergences de variables al´eatoires

X  – MAP 

PC  – Lundi  mai  – Convergences de variables al´eatoires

Igor Kortchemski –igor.kortchemski@cmap.polytechnique.fr

E ^{xercice 1.}

(Petites queions)

() Soitf :R→Rune fonion continue. Soit (Xn)_n≥une suite de variables al´eatoires r´eelles qui converge presque s ˆurement versX. Montrer quef(X_n) converge presque s ˆurement versf(X).

() Soit (Xn)_n≥une suite de variables al´eatoires r´eelles qui converge presque s ˆurement vers Xet (Y_n)_n≥une suite de variables al´eatoires r´eelles qui converge presque s ˆurement vers Y. Montrer que (X_n, Y_n) converge presque s ˆurement vers (X, Y).

() Soit (Xn)_n≥une suite de variables al´eatoires r´eelles int´egrables qui converge en moyenne vers une variable al´eatoire r´eelle int´egrableX. Montrer queE[X_n]→E[X].

Indication.On pourra utiliser le fait que−|Xn−X| ≤Xn−X≤ |Xn−X|.

 Convergence presque s ˆure

E ^{xercice 2.}

^{Soitλ >et soitX}une variable al´eatoire r´eelle telle queP(X≥a) =a^−λpour tout a≥ . Soit (Xn, n≥ ) une suite de variables al´eatoires ind´ependantes et de mˆeme loi que X, d´efinies sur le mˆeme espace de probabilit´e. On pose

T_n=









n

Y

i=

X_i









/n

.

Montrer queT_nconverge presque s ˆurement vers une variable al´eatoire qu’on d´eterminera.

E ^{xercice 3.}

^{Soit (Zn, n≥}) une suite de variables al´eatoires telle que pour tout entier n≥ , Z_n eune variable al´eatoire exponentielle de param`etre n. Montrer que Z_n converge presque s ˆurement verslorsquen→ ∞.

E ^{xercice 4.}

^{Soit (Xn)n≥}une suite de variables al´eatoires ind´ependantes et de mˆeme loi donn´ee parP(X_=) =P(X_=−) =^_. Soitk≥un entier. On poseS_=ket pour toutn≥

S_n=k+X_+· · ·+X_n.

SoitT = inf{i ≥:S_i =ouS_i =k}(avec la convention inf∅=∞).

Pour des queions, demande d’explications etc., n’h´esitez pas `a m’envoyer un mail.



() Montrer queT <∞presque s ˆurement.

() On pose Z_n = S_min(n,T). Montrer que Z_n converge presque s ˆurement vers une variable al´eatoire dont on identifiera la loi. E-ce queZ_nconverge en probabilit´e ? En moyenne ?

 Convergence en probabilit´e

E ^{xercice 5.}

^{Soit (Xn)n≥} une suite de variables al´eatoires ind´ependantes de loi exponentielle de param`etreλ >. Montrer que la convergence



ln(n) max

≤k≤nX_k −→

n→∞

 λ a lieu en probabilit´e.

 Convergence dans L

^

(en moyenne)

E ^{xercice 6.}

^{Soitα >}, et soit (Zn, n≥) une suite de variables al´eatoires ind´ependantes de loi donn´ee par

P(Z_n=) = 

n^α et P(Z_n=) =−  n^α.

Montrer queZ_n→dansL^. E-ce que la suite (Zn)_n≥converge en probabilit´e ? E-ce que la suite (Z_n) converge presque-s ˆurement ?

E ^{xercice 7.}

^SoitXune variable al´eatoire r´eelle int´egrable. Montrer queE

hX1^|X|>n

i→lorsque n→ ∞.

E ^{xercice 8.}

^{Soit f : R→ R} une fonion continue born´ee et α > . Calculer les limites sui- vantes :

nlim→∞

Z

[,]ⁿf

x_+· · ·+x_n n

dx_· · ·dx_n et lim

n→∞

X

k≥

e^−αn(αn)^k k! f k

n

! .

E ^{xercice 9.}

(Lemme de Scheff´e)Soient (X_n)_n≥des variables al´eatoirespositivesqui convergent presque s ˆurement versX. On suppose queE[X]<∞ et queE[X_n]→E[X] lorsquen→ ∞. Le but de cet exercice ede d´emontrer queXn→XdansL^.

On poseYn= min(X_n, X) etZn= max(X_n, X).

() D´emontrer queE[Y_n]→E[X] lorsquen→ ∞. () D´emontrer queE[Z_n]→E[X] lorsquen→ ∞.

Indication.On pourra ´ecrire queZ_n=X+X_n−Y_n. () Conclure queE[|X_n−X|]→lorsquen→ ∞.

Indication.On pourra ´ecrire que|X_n−X|=Z_n−Y_n.



 A chercher pour la prochaine fois (lundi `  juin)

E xercice 10.

Soit (X_n)_n≥une suite de variables al´eatoires ind´ependantes de mˆeme loi normale N(m, σ^). Trouver la limite presque s ˆure de

ln









 n

Xn k=

e^Xk









et

Pn k=X_k Pn

k=X_k^ lorsquen→ ∞.

 Plus appliqu´e (hors PC)

E xercice 11.

(Probl`eme du colleionneur) Soit (X_k, k ≥ ) une suite de variables al´eatoires ind´ependantes uniform´ement diribu´ees sur{,, . . . , n}. Soit

T_n= inf{m≥:{X_, . . . , X_m}={,, . . . , n}}

le premier temps o `u toutes les valeurs ont ´et´e observ´ees.

() Soit τ_kⁿ = inf{m ≥ :|{X_, . . . , X_m}| =k} pour tout k≥ . Montrer que les variables (τ_kⁿ− τ_kⁿ−)_≤k≤nsont ind´ependantes, et d´eterminer leurs lois respeives.

() En d´eduire que la convergence _nlogn^Tn →a lieu en probabilit´e.

Indication.On pourra utiliser l’in´egalit´e de Bienaym´e-Tch´ebychev.

E xercice 12.

(Biais par la taille) On consid`ere une population comportant un grand nombre n de foyers. On mod´elise la taille de ces foyers par une suite de variables al´eatoires (X_i)_≤i≤n

ind´ependantes de mˆeme loi surN^∗, de moyennem=E[X_] =P

k≥kp_k<∞avecp_k =P(X_=k).

SoitT la taille du foyer d’un individu pris au hasard dans la population. Montrer que pour tout entierk≥,P(T =k) converge vers _m^kp_k lorsquen→ ∞.

 Pour aller plus loin (hors PC)

E xercice 13.

(Extension du th´eor`eme de convergence domin´ee) Soit (X_n)_n≥ une suite de variables al´eatoires r´eelles telle queX_nconverge en probabilit´e versX. On suppose qu’il exie une variable al´eatoire positive et int´egrableZ, ind´ependante den, telle que |X_n| ≤Z pour tout n≥. Montrer queX_nconverge versX en moyenne.

Indication. On pourra utiliser que si Y_n converge en probabilit´e vers Y alors il exie une sous-suite deY_nqui converge presque s ˆurement versY.



E xercice 14.

Soit (X_n)_n≥ une suite de variables al´eatoires qui converge en probabilit´e versX et soit (Y_n)_n≥une suite de variables al´eatoires qui converge en probabilit´e versY. Montrer que (X_n, Y_n) converge en probabilit´e vers (X, Y).

E xercice 15.

SoientXetY deux variables al´eatoires r´eelles born´ees. On suppose queE[Xⁿ] = E[Yⁿ] pour toutn≥. Montrer queXetY ont la mˆeme loi.

Indication.Utiliser le th´eor`eme de Weierrass sur la densit´e des polynˆomes.

E xercice 16.

^{Soit (X}n)_n≥ une suite de variables al´eatoires r´eelles d´efinies sur le mˆeme espace de probabilit´e. Montrer qu’il exie une suite (cn)n≥telle queXn/cnconverge presque s ˆurement vers.

E xercice 17.

^{Soit (X}n, n≥) une suite de variables al´eatoires r´eelles positives, ind´ependantes et de mˆeme loi.

() Montrer que p.s.P^∞

n=X_n=∞, sauf dans un cas `a pr´eciser.

() Montrer queαP

n≥P(X≥αn)≤E[X]< αP

n≥P(X≥αn) +α.

Indication. On pourra montrer que X

n≥

αnP(αn≤X < α(n+))≤E[X]≤X

n≥

α(n+)P(αn≤X < α(n+)).

() Montrer que pour toutα >on a l’´equivalence suivante :

E[X]<∞ ⇐⇒ X

n≥

P(X≥αn)<∞.

() En d´eduire la dichotomie suivante : presque s ˆurement,

la plus grande valeur d’adh´erence de X_n n vaut











 siE[X_]<∞

∞ siE[X_] =∞ .

E xercice 18.

(Loi forte des grands nombres, cas non int´egrable) Soit (X_n)_n≥ une suite de variables al´eatoires r´eelles ind´ependantes et de mˆeme loi. On pose, pour tout n ≥ , S_n = X_+. . .+X_n. Montrer que siX_ n’epas int´egrable alors la suite (n^−S_n)_n≥ diverge p.s.

Indication.On pourra utiliser la queion () de l’exerciceet montrer que siS_n/nconverge alorsX_n/n→.

E xercice 19.

La convergence de l’exercicea-t-elle lieu presque s ˆurement ? DansL^?

