X – MAP
PC – Lundi mai – Convergences de variables al´eatoires
Igor Kortchemski –igor.kortchemski@cmap.polytechnique.fr
Corrig´e des exercices non trait´es surhttp:// www.normalesup.org/ ˜ kortchem/ MAPun peu apr`es la PC.
E xercice 1. (Petites queions)
() Soitf :R→Rune fonion continue. Soit (Xn)n≥une suite de variables al´eatoires r´eelles qui converge presque s ˆurement versX. Montrer quef(Xn) converge presque s ˆurement versf(X).
() Soit (Xn)n≥une suite de variables al´eatoires r´eelles qui converge presque s ˆurement vers Xet (Yn)n≥une suite de variables al´eatoires r´eelles qui converge presque s ˆurement vers Y (toutes d´efinies sur le mˆeme espace de probabilit´e). Montrer que (Xn, Yn) converge presque s ˆurement vers (X, Y).
() Soit (Xn)n≥une suite de variables al´eatoires r´eelles int´egrables qui converge en moyenne vers une variable al´eatoire r´eelle int´egrableX. Montrer queE[Xn]→E[X].
Indication.On pourra utiliser le fait que−|Xn−X| ≤Xn−X≤ |Xn−X|.
Convergence presque s ˆure
E xercice 2. On suppose la chaleur d´egag´ee par une r´eaion chimique e multipli´ee chaque seconde par une variable al´eatoireX≥(ind´ependamment `a chaque seconde). `A quelle condi- tion ´evite-t-on l’explosion ?
E xercice 3. On suppose que le temps d’attenteZn duRER Ble n-i`eme jour suit une loi expo- nentielle de param`etre /n et que les variables al´eatoires (Zn, n≥) sont ind´ependentes.Que dire deZnlorsquen→ ∞?
E xercice 4. On mod´elise l’´evolution discr´etis´ee d’une particule de pollen entre deux plaques absorbantes comme suit. Soit (Xn)n≥ une suite de variables al´eatoires ind´ependantes et de mˆeme loi donn´ee parP(X=) =P(X=−) = . Soitk≥un entier. On poseS =k et pour toutn≥
Sn=k+X+· · ·+Xn.
SoitT = inf{i ≥:Si =ouSi =k}(avec la convention inf∅=∞).
() Montrer queT <∞presque s ˆurement.
() On pose Zn = Smin(n,T). Montrer que Zn converge presque s ˆurement vers une variable al´eatoire dont on identifiera la loi. E-ce queZnconverge en probabilit´e ? En moyenne ?
Pour des queions, demande d’explications etc., n’h´esitez pas `a m’envoyer un mail.
Convergence en probabilit´e
E xercice 5. On suppose que le temps d’attente du RER B suit une loi exponentielle de pa- ram`etre λ >. Si on prend le RER Bn fois, comment se comporte le temps maximal d’attente lorsque n → ∞? Pour mod´eliser cela, on consid`ere une suite (Xn)n≥ de variables al´eatoires ind´ependantes de loi exponentielle de param`etreλ >, et on s’int´eresse `a la quantit´e max≤k≤nXk.
Montrer que la convergence
ln(n) max
≤k≤nXk −→
n→∞
λ a lieu en probabilit´e.
Convergence dans L
(en moyenne)
E xercice 6. Soitα >, et soit (Zn, n≥) une suite de variables al´eatoires ind´ependantes de loi donn´ee par
P(Zn=) =
nα et P(Zn=) =− nα.
Montrer queZn→dansL. E-ce que la suite (Zn)n≥ converge en probabilit´e ? E-ce que la suite (Zn) converge presque-s ˆurement ?
E xercice 7. SoitXune variable al´eatoire r´eelle int´egrable. Montrer queE
hX1|X|>n
i→lorsque n→ ∞.
A chercher pour la prochaine fois (lundi ` mai)
E xercice 8. Soit (Xn)n≥ une suite de variables al´eatoires ind´ependantes de mˆeme loi normale N(m, σ). Trouver la limite presque s ˆure de
ln
n
Xn k=
eXk
et
Pn
k=Xk
Pn
k=Xk lorsquen→ ∞.
Plus appliqu´e (hors PC)
E xercice 9. (Biais par la taille) On consid`ere une population comportant un grand nombre n de foyers. On mod´elise la taille de ces foyers par une suite de variables al´eatoires (Xi)≤i≤n
ind´ependantes de mˆeme loi surN∗, de moyennem=E[X] =P
k≥kpk<∞avecpk =P(X=k).
SoitT la taille du foyer d’un individu pris au hasard dans la population. Montrer que pour tout entierk≥,P(T =k) converge vers mkpk lorsquen→ ∞.
E xercice 10. (Probl`eme du colleionneur) Soit (Xk, k ≥ ) une suite de variables al´eatoires ind´ependantes uniform´ement diribu´ees sur{,, . . . , n}. Soit
Tn= inf{m≥:{X, . . . , Xm}={,, . . . , n}}
le premier temps o `u toutes les valeurs ont ´et´e observ´ees.
() Soit τkn = inf{m ≥ :|{X, . . . , Xm}| =k} pour tout k≥ . Montrer que les variables (τkn− τkn−)≤k≤nsont ind´ependantes, et d´eterminer leurs lois respeives.
() En d´eduire que la convergence nlognTn →a lieu en probabilit´e.
Indication.On pourra utiliser l’in´egalit´e de Bienaym´e-Tch´ebychev.
Pour aller plus loin (hors PC)
E xercice 11. Soit (Zn, n≥) une suite de variables al´eatoires telle que pour tout entier n≥, Zn eune variable al´eatoire exponentielle de param`etre n. Montrer que Zn converge presque s ˆurement verslorsquen→ ∞.
E xercice 12. (Extension du th´eor`eme de convergence domin´ee) Soit (Xn)n≥ une suite de variables al´eatoires r´eelles telle queXnconverge en probabilit´e versX. On suppose qu’il exie une variable al´eatoire positive et int´egrableZ, ind´ependante den, telle que |Xn| ≤Z pour tout n≥. Montrer queXnconverge versX en moyenne.
Indication. On pourra utiliser que si Yn converge en probabilit´e vers Y alors il exie une sous-suite deYnqui converge presque s ˆurement versY.
E xercice 13. Soit (Xn)n≥ une suite de variables al´eatoires qui converge en probabilit´e versX et soit (Yn)n≥une suite de variables al´eatoires qui converge en probabilit´e versY. Montrer que (Xn, Yn) converge en probabilit´e vers (X, Y).
E xercice 14. (Lemme de Scheff´e)Soient (Xn)n≥des variables al´eatoirespositivesqui convergent presque s ˆurement versX. On suppose queE[X]<∞ et queE[Xn]→E[X] lorsquen→ ∞. Le but de cet exercice ede d´emontrer queXn→XdansL.
On poseYn= min(Xn, X) etZn= max(Xn, X).
() D´emontrer queE[Yn]→E[X] lorsquen→ ∞. () D´emontrer queE[Zn]→E[X] lorsquen→ ∞.
Indication.On pourra ´ecrire queZn=X+Xn−Yn. () Conclure queE[|Xn−X|]→lorsquen→ ∞.
Indication.On pourra ´ecrire que|Xn−X|=Zn−Yn.
E xercice 15. Soit (Xn)n≥ une suite de variables al´eatoires r´eelles d´efinies sur le mˆeme espace de probabilit´e. Montrer qu’il exie une suite (cn)n≥telle queXn/cnconverge presque s ˆurement vers.
E xercice 16. Soit (Xn, n≥) une suite de variables al´eatoires r´eelles positives, ind´ependantes et de mˆeme loi.
() Montrer que p.s.P∞
n=Xn=∞, sauf dans un cas `a pr´eciser.
() Montrer que pour toutα on aαP
n≥P(X≥αn)≤E[X]< αP
n≥P(X≥αn) +α.
Indication. On pourra montrer que X
n≥
αnP(αn≤X < α(n+))≤E[X]≤X
n≥
α(n+)P(αn≤X < α(n+)).
() Montrer que pour toutα >on a l’´equivalence suivante : E[X]<∞ ⇐⇒ X
n≥
P(X≥αn)<∞.
() En d´eduire la dichotomie suivante : presque s ˆurement, la plus grande valeur d’adh´erence de Xn
n vaut
siE[X]<∞
∞ siE[X] =∞ .
E xercice 17. (Loi forte des grands nombres, cas non int´egrable) Soit (Xn)n≥ une suite de variables al´eatoires r´eelles ind´ependantes et de mˆeme loi. On pose, pour tout n ≥ , Sn = X+. . .+Xn. Montrer que siX n’epas int´egrable alors la suite (n−Sn)n≥ diverge p.s.
Indication.On pourra utiliser la queion () de l’exerciceet montrer que siSn/nconverge alorsXn/n→.
E xercice 18. La convergence de l’exercicea-t-elle lieu presque s ˆurement ? DansL?