PierrePansu19décembre2013 Cohomologie L etgéométrieconformeàgrandeéchelle p

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Géométrie conforme Empilements Plongements conformes à grande échelle

Cohomologie L

^p

et g´ eom´ etrie conforme ` a grande ´ echelle

Pierre Pansu

19 d´ecembre 2013

(2)

Notions classiques A grande ´echelle ?

Conforme: difféomorphisme entre variétés riemanniennes dont la différentielle envoie sphères (infinitésimales) sur sphères.

Exemples

L’espace euclidien est conforme à la sphère privée d’un point. L’espace hyperbolique est conforme à une boule de l’espace euclidien. Une boule de l’espace euclidien n’est pas conforme à l’espace euclidien.

Quasi-symétrique: homéomorphisme entre espaces métriques tel que

∀x,∀x⁰,∀x⁰⁰, d(f(x),f(x⁰))

d(f(x),f(x⁰⁰))≤η(d(x,x⁰) d(x,x⁰⁰)), o`uη∈Homeo(R⁺).

Exemples

L’espace euclidien est quasi-symétrique à la sphère privée d’un point. L’espace hyperbolique n’est pas quasi-symétrique à l’espace euclidien.

(3)

Exemples

L’espace euclidien est conforme à la sphère privée d’un point.

L’espace hyperbolique est conforme `a une boule de l’espace euclidien.

Une boule de l’espace euclidien n’est pas conforme `a l’espace euclidien.

∀x,∀x⁰,∀x⁰⁰, d(f(x),f(x⁰))

Exemples

(4)

Exemples

∀x,∀x⁰,∀x⁰⁰, d(f(x),f(x⁰))

Exemples

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Exemples

∀x,∀x⁰,∀x⁰⁰, d(f(x),f(x⁰))

Exemples

L’espace euclidien est quasi-symétrique à la sphère privée d’un point.

L’espace hyperbolique n’est pas quasi-sym´etrique `a l’espace euclidien.

(6)

Plongement uniforme. Application entre espaces m´etriques telle que

∀R,∃T,∀x,∀x⁰, d(x,x⁰)≤R⇒d(f(x),f(x⁰))≤T.

Quasi-isom´etrie. Paire de plongements uniformes entre espaces m´etriques telle que

∃S,∀x,∀y, d(x,g◦f(x))≤S, d(y,f ◦g(y))≤S.

Conforme à grande échelle ?On cherche une classe d’applications entre espaces métriques

1 qui a les mêmes propriétés qualitatives queconformeouquasi-symétrique,

2 stable par composition,

3 contient les quasi-isom´etries.

El´ement de r´eponse dans un article de Itai Benjamini et Oded Schramm.

(7)

∀R,∃T,∀x,∀x⁰, d(x,x⁰)≤R⇒d(f(x),f(x⁰))≤T.

(8)

∀R,∃T,∀x,∀x⁰, d(x,x⁰)≤R⇒d(f(x),f(x⁰))≤T.

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Le théorème de Koebe CohomologieLpdes graphes Parabolicité

Benjamini-Schramm

Empilement de boules: collections de boules d’int´erieurs disjoints.

Graphe d’incidence: un sommet par boule, une arˆete lorsque 2 boules se touchent.

D´efinition

Un graphe est empilable dansR^d si c’est le graphe d’incidence d’un empilement de boules deR^d.

Th´eor`eme (Koebe 1931)

Un graphe est empilable dansR²si et seulement si il est planaire (i.e. plongeable dans R²).

Interprétation : version mésoscopique du théorème de représentation conforme. D’ailleurs,

Il y a des algorithmes rapides de calcul de l’empilement de Koebe.

Lorsqu’on applique le théorème au graphe d’incidence de l’empilement de disques de même rayon contenu dans un domaine plan, ¸ca converge vers la représentation conforme de ce domaine quand le rayon tend vers 0.

C’est un bon procédé algorithmique pour calculer une approximation de la représentation conforme.

(10)

Benjamini-Schramm

D´efinition

Interprétation : version mésoscopique du théorème de représentation conforme.

D’ailleurs,

(11)

Benjamini-Schramm

D´efinition

Interprétation : version mésoscopique du théorème de représentation conforme.

D’ailleurs,

(12)

Benjamini-Schramm

1-cocycle: fonctionκsur les couples de sommets telle que

κ(x,x⁰) +κ(x⁰,x⁰⁰) =κ(x,x⁰⁰). Exemple :κ=duo`uuest une fonction sur les sommets.

Norme L^p:||κ||_p= X

aretes xx⁰

|κ(x,x⁰)|^p

!1/p

.

D´efinition

La cohomologie L^pd’un graphe, c’est L^pH¹={1-cocyclesL^p}/d{fonctionsL^p}. La cohomologie L^p r´eduite, c’est L^pH¯¹={1-cocyclesL^p}/d{fonctionsL^p}.

Exemples

Grille deR^d. L^pH¹6= 0, L^pH¯¹= 0pour tout p>1.

Graphe de Cayley d’un r´eseau uniforme de l’espace hyperbolique H^d : L^pH¹= 0⇔L^pH¯¹= 0⇔p≤d−1.

Remarque

Invariant par quasi-isom´etrie.

(13)

Benjamini-Schramm

p-volume. Une m´etrique sur un graphe, c’est une fonction positivemsur les arˆetes.

Sonp-volume, c’estP

aretes em(e)^p.

p-module d’une famille de courbesΓ. C’est la borne inférieure desp-volumes du graphe sur toutes les métriques qui donnent un 1-volume≥1 à toutes les courbesγ∈Γ.

D´efinition

Un graphe est p-parabolique si le p-module de la famille des courbes non born´ees qui partent de l’origine est nul.

Remarque

Proposition (Troyanov)

Le graphe de Cayley d’un groupe de type fini est p-parabolique si et seulement si la croissance du volume est polynˆomiale de degr´e≤p.

Démonstration. D’après Coulhon et Saloff-Coste, croissance du volume>R^p ⇒ isopérimétrie meilleure que celle deR^p ⇒(Ahlfors) nonp-parabolique.

D’apr`es Gromov, parabolique implique que le groupe est virtuellement nilpotent. Rare.

(14)

Benjamini-Schramm

aretes em(e)^p.

D´efinition

Remarque

(15)

Benjamini-Schramm

aretes em(e)^p.

D´efinition

Remarque

(16)

Benjamini-Schramm

aretes em(e)^p.

D´efinition

Remarque

(17)

Benjamini-Schramm

Th´eor`eme (Benjamini-Schramm 2012) Soit G un graphe empilable dansR^d. Alors

1 ou bien G est d -parabolique,

2 ou bien L^dH¯¹(G)6= 0.

Exemples

La grille deR^d+1n’est pas empilable dansR^d.

L^pH¯¹est moins bien compris que la parabolicité, mais rare aussi. Par exemple, Théorème (Pansu)

Pour un groupe de Lie G , L^pH¯¹(G)6= 0⇔G est commensurable à R×_αN oùαest une dérivation à valeurs propresλ1≤ · · · ≤λnpositives, et p>λ1+· · ·+λn

λ1

.

Exemple (Yu, Bourdon-Pajot)

Pour tout groupe hyperbolique non ´el´ementaire, L^pH¯¹6= 0pour p assez grand.

(18)

Benjamini-Schramm

Exemples

λ1

.

(19)

Benjamini-Schramm

Exemples

λ1

.

(20)

Empilements

Energies et normes sur les espaces m´etriques Parabolicit´e et cohomologie

Exemples

(N, `,R,S)-empilement: dans un espace m´etrique, c’est une collection de boulesBj

de rayonsR≤rj≤Stelle que les`Bjforment un recouvrement de multiplicit´e<N.

D´efinition

Une application f entre espaces métriques (doublée d’une correspondance B7→B⁰ entre boules telle que f(B)⊂B⁰) est conforme à grande échelle si, pour tous R≤S, N≥1et`⁰>1, il existe N⁰≥1et`≥1tels que f envoie(N, `,R,S)-empilements sur(N⁰, `⁰,0,∞)-empilements.

Exemples

La composition d’un plongement uniforme et d’un homéomorphisme quasi-symétrique est conforme à grande échelle.

Le modèle de Poincaré de l’espace hyperbolique est (presque) une application conforme à grande échelle de H^d dans R^d.

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Empilements

Exemples

Espace métrique p-Ahlfors-régulier: s’il existe une mesure de probabilitéµtelle que µ(B(x,R))'R^p pourR<R0.

p-´energie: siuest une application vers un espace m´etrique,E_p,N,`,R,S(u) est le sup des sommesP

jdiam(u(Bj))^psur les (N, `,R,S)-empilements. Exemple : sur un espace métriqued-Ahlfors-régulier, les applications lipschitziennes ont uned-énergie finie.

p-moduled’une famille de courbes Γ : c’est l’inf desp-´energies des applicationsuvers des espaces m´etriques telles quelong(u◦γ)≥1 pour toute courbeγ∈Γ.

p-parabolicit´e: c’est lorsque lep-module de la famille des courbes non born´ees issues d’un compact vaut 0.

Norme L^pd’une cochaˆıne: c’est le sup des sommes (P

jsup|κ_|B_j|^p)^1/psur les (N, `,R,S)-empilements (on fixeN, `,R,S).

D´efinition

La cohomologie L^pd’un espace m´etrique, c’est

L^pH^k={k-cocyclesL^p}/d{(k−1)-cochaˆınesL^p}. La cohomologie L^p r´eduite, c’est L^pH¯^k={k-cocyclesL^p}/d{(k−1)-cochaˆınesL^p}.

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Empilements

Exemples

D´efinition

(23)

Empilements

Exemples

D´efinition

(24)

Empilements

Exemples

D´efinition

(25)

Empilements

Exemples

D´efinition

(26)

Empilements

Exemples

D´efinition

(27)

Empilements

Exemples

Th´eor`eme

Soit Y un espace métrique compact, d -Ahlfors-régulier. S’il existe une application continue, conforme à grande échelle, de X dans Y , alors

1 ou bien X est d -parabolique,

2 ou bien L^dH¯¹(X)6= 0.

D´emonstration.

1 Naturalité : la composition avec une applicationf conforme à grande échelle préserve les fonctions d’énergie finie. En particulier, siY estd-Ahlfors-régulier, Ed(f)<∞.

2 SiL^dH¹(X) = 0, toute application d’énergie finie vers un espace métrique complet possède une limite. Doncf possède une limitey.

3 SurY \ {y}, il existe une fonctionvy d’´energie finie qui tend vers +∞eny. Alorsvy◦f est d’´energie finie mais tend vers +∞, contradiction.

4 Une application d’énergie finie possède une limite le long de presque toute courbe. En particulier,f possède une limite le long de presque toute courbe.

5 SiL^dH¯¹(X) = 0, cette limite estp-presque toujours la mˆeme,y.

6 Alorsvy◦f est d’´energie finie mais tend vers +∞le long de presque toute courbe. Donc presque toute courbe = aucune courbe, c’est lap-parabolicit´e.

(28)

Empilements

Exemples

Th´eor`eme

D´emonstration.

(29)

Empilements

Exemples

Th´eor`eme

D´emonstration.

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Empilements

Exemples

Th´eor`eme

D´emonstration.

3 SurY\ {y}, il existe une fonctionvy d’´energie finie qui tend vers +∞eny.

Alorsvy◦f est d’´energie finie mais tend vers +∞, contradiction.

(31)

Empilements

Exemples

Th´eor`eme

D´emonstration.

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Empilements

Exemples

Th´eor`eme

D´emonstration.

(33)

Empilements

Exemples

Th´eor`eme

D´emonstration.

(34)

Empilements

Exemples

Exemple (Shchur, généralisation du modèle de Poincaré)

Si G est un groupe hyperbolique, alors G se plonge (presque) conform´ement `a grande

´echelle dansR×∂G .

Corollaire

Soient X=R×αN et Y =R×_α0N⁰ deux groupes de Lie hyperboliques. S’il existe une application continue, conforme `a grande ´echelle, de X vers Y , alors

λ1+· · ·+λn

λ1

≤max{λ⁰₁+· · ·+λ⁰_n0

λ⁰₁ ,n⁰+ 1}.

Remarquer que ^λ¹^+···+λ_λ ⁿ

1 est dimension conforme du bord `a l’infini deX. Exemple

Si N<N⁰est un sous-groupeα⁰-invariant etα=α⁰_|n, le plongement évident de X dans Y est uniforme et donc conforme à grande échelle.