Int´egration et probabilit´es
ENS Paris, 2012-2013TD – Convergence de variables al´eatoires – Corrig´e
Exercice du TD 11 `a pr´eparer
E
xercice 0. Soit (Xn, n≥) une suite de v.a. i. i.d. de loi exponentielle de param`etre.. Montrer que lim supn→∞Xn/ln(n) =p.s.
. On poseZn= max(X, ..., Xn)/ln(n), montrer que lim infn→∞Zn≥p.s.
. Montrer que pour une suite (nk)k≥bien choisie, lim supk→∞Znk ≤p.s. En d´eduire que limn→∞Zn=
p.s.
Corrig´e :
. Soita≥, alors pour toutε >l’´ev`enement{lim supXn/ln(n)> a}eimbriqu´e entre deux limsup d’´ev`enements :
lim sup
n→∞
{Xn≥(a−ε) ln(n)} ⊂ {lim sup
n→∞
Xn/ln(n)> a} ⊂lim sup
n→∞
{Xn> aln(n)}.
P[Xn≥aln(n)] = na,
et les ´ev`enements sont ind´ependants, donc d’apr`es Borel-Cantelli en prenant desεapropri´es
P
"
lim sup
n→∞
Xn ln(n) > a
#
=
( sia <
sia > , donc lim supln(n)Xn =p.s.
. Soit∈(,) et posonsAn={Zn≤−}. Montrer queP
P(An) converge. On a P(An) = P(Xi≤(−) ln(n) pour≤i≤n) =P(X≤(−) ln(n))n=
−e−(−) ln(n)n
=
− n−
n
= exp
nln
− n−
≤exp
−n· n−
≤exp (−n). DoncP
P(An) converge. D’apr`es le lemme de Borel-Cantelli, p.s., pour toutnsuffisamment grand on aZn≥−, ce qui conclut.
. PosonsBn={Zn≥+}. Un calcul proche de celui de la queion pr´ec´edente donne :
P(Bn) =−
− n+
n
∼
n→∞
n.
Pour des queions, demande de pr´ecisions ou explications, n’h´esitez pas `a m’envoyer un mail `a [email protected] , ou bien `a venir me voir au bureau V.
La s´erie de terme g´en´eral/n ne converge pas, il faut donc ruser un peu. Fixonsη >et posons nk = (+η)k. Alors P
k P(Bnk) converge et d’apr`es le lemme de Borel-Cantelli, p.s., pour toutk suffisamment grand on aZnk ≤+. On encadre ensuiten≥: (+η)k≤n≤(+η)k+et on ´ecrit :
Zn=max(X, . . . , Xn)
ln(n) ≤ max(X, . . . , Xnk+)
ln(n) ≤ max(X, . . . , Xnk+) ln(nk+)
ln(nk+)
ln(nk) =Znk+·k+ k . Il s’ensuit que lim supn→∞Zn=p.s.
Compte tenu de la queion, il en d´ecoule que limn→∞Zn=p.s.
0 – Petites questions
Vrai ou faux ?
. Soient (Xn)n≥ une suite de variables al´eatoires r´eelles et X une variable al´eatoire r´eelle d´efinies sur (Ω,A,P). On suppose queXn→Xen loi. Montrer quef(Xn)→f(X) en loi pour toute fonion continuef :R→R.
. Soit (µn)n≥une suite de mesures de probabilit´e etµune mesure positive. Alors il y a convergence
´etroite desµnversµsi et seulement si, pour toute fonionf continue `a support compa, on a la convergence
Z
f dµn−→
Z f dµ.
. Si la suite de variables al´eatoires (Xn)n≥converge en loi versX, alorsE[Xn]−→E[X].
Corrig´e :
. Vrai : sig : R → R e continue born´ee, alors g◦f econtinue born´ee et donc E[g(f(Xn))]→ E[g(f(X))].
. L’implication evraie (elle implique queµ eune mesure de probabilit´e, et on conclut par une propri´et´e du cours), mais la r´eciproque efausse (prendreµn=δn).
. Faux : on prend (Ω,F,P) = ([,],B(R), dx) etXn(t) la fonion tente telle queXn() =, Xn(/n) = n, Xn(/n) =. AlorsXnconverge p.s. versmaisE[Xn] =,E[].
Un autre exemple davantage probabilie : soit (Xn)n≥une suite de variables al´eatoires ind´ependantes de mˆeme loi telles que P(X = ) = P(X = −) = /. On note Zn = X+X+· · ·+Xn et soit T = infn≥;Zn=. On pose finalement :
Wn=Zmin(n,T).
Ainsi, (Wn) ela marche al´eatoire issue dequi fait des sauts±qui ree en une fois qu’elle l’a atteint. Il epossible de v´erifier queT <∞p.s. de sorte que (Wn) converge presque s ˆurement vers. Or il efacile de v´erifier que pour toutn≥,E[Wn] =, de sorte queE[Wn] ne converge pas vers E[]. Avec le langage du second semere, cela fournit l’exemple d’une martingale qui converge p.s. mais pas dansL.
Quels sont les liens entre ces diff´erentes convergences : en loi, presque s ˆure, en probabilit´e,L,Lppour p >?
Corrig´e :
- Convergencep.s.implique convergence en probabilit´e qui implique convergence en loi.
- ConvergenceLppourp≥implique convergence en probabilit´e.
- ConvergenceLqimplique convergenceLppourq > p.
Il etr`es fortement recommand´e de trouver des contre-exemples pour les r´eciproques qui ne sont pas vraies en g´en´eral. On a cependant les r´eciproques “partielles” suivantes :
- Convergence en probabilit´e implique la possibilit´e d’extraire une sous-suite qui converge p.s.
- En red´efinissant les variables sur un mˆeme espace de probabilit´e, il e possible de transformer convergence en loi vers converge p.s., c’e le th´eor`eme de repr´esentation de Skorokhod vu en cours pour les variables r´eelles (Attention :c’eun r´esultat tr`es subtil).
- Convergence p.s. avec ´equiint´egrabilit´e implique convergenceL(voir Exercice).
1 – Convergences en loi
E
xercice 1. (Lemme de Slutsky) Soient (Xn)n≥, (Yn)n≥ deux suites de variables al´eatoires r´eelles, et X, Y deux variables al´eatoires r´eelles d´efinies sur (Ω,A,P), telles queXn→Xen loi etYn→Y en loi.. On suppose que les variablesXnetYnsont ind´ependantes pour toutn≥et que les variablesXet Y sont ind´ependantes. Montrer que (Xn, Yn)→(X, Y) en loi.
. E-il toujours vrai que (Xn, Yn)→(X, Y) en loi ?
. Lemme de SlutskyOn suppose queY econante p.s. Montrer que (Xn, Yn)→(X, Y) en loi.
Corrig´e :
. D’apr`es le th´eor`eme de L´evy, il suffit de montrer queΦ(Xn,Yn)(t, t0)→Φ(X,Y)(t, t0) pour tout (t, t0)∈ R. Et l’on a par ind´ependance,
Φ(Xn,Yn)(t, t0) =ΦXn(t)ΦYn(t0)→ΦX(t)ΦY(t0) =Φ(X,Y)(t, t0).
. Il n’epas vrai en g´en´eral que (Xn, Yn)→(X, Y) en loi. En effet, consid´erons les variables al´eatoires Xn = Z = Yn pour tout n ≥ , avec Z gaussienne centr´ee. La variable Z ´etant sym´etrique, on a Xn→ −Zen loi. Si (Xn, Yn)→(−Z, Z) en loi, alorsXn+Yn→ −Z+Zen loi (car la fonion (x, y)7→x+y econtinue), c’e`a direZ=en loi, ce qui n’epas.
. Il suffit de montrer queE(F(Xn, Yn))→E(F(X, Y)) pour une fonionFcontinue `a support compa. Soita∈Rtel queY =ap.s. On a alorsYn→aen probabilit´e (r´esultat important `a savoir prouver).
Et
|E(F(Xn, Yn))−E(F(X, a))|
≤ |E(F(Xn, Yn))−E(F(Xn, a))|+|E(F(Xn, a))−E(F(X, a))|.
La fonion x∈R7→F(x, a) econtinue et born´ee donc |E(F(Xn, a))−E(F(X, a))| →. De plus, la fonionF euniform´ement continue. Pourε >, on peut trouverδ tel que|F(x, y)−F(x0, y0)| ≤ε pour|x−x0|+|y−y0| ≤δ. Alors, en notantM un majorant deF, on a
|E(F(Xn, Yn))−E(F(Xn, a))|
≤ E(|F(Xn, Yn)−F(Xn, a)|)
≤ E(|F(Xn, Yn)−F(Xn, a)|1{|Yn−a|≥δ}) +E(|F(Xn, Yn)−F(Xn, a)|1{|Yn−a|<δ})
≤ MP(|Yn−a| ≥δ) +ε.
Ainsi, lim sup|E(F(Xn, Yn))−E(F(Xn, a))| ≤εet ceci ´etant vrai pour toutε, on en d´eduit que|E(F(Xn, Yn))−
E(F(Xn, a))| →, puis le r´esultat.
E
xercice 2. Soit (Xn, n≥) une suite de variables al´eatoires r´eelles d´efinies sur (Ω,A,P) ind´ependantes et de mˆeme loiµ. On poseMn= max(X, . . . , Xn).. On suppose queµela loi uniforme sur [,]. Montrer que la suite (n(−Mn))n≥converge en loi quandn→ ∞et expliciter la loi limite.
. On suppose queµ ela loi de Cauchyandard c’e-`a-dire queµ(dx) = (π(+x))−dx. Montrer que la suite (nMn−)n≥ converge en loi et expliciter la loi limite.Rappel :aran(x) = π−
x +o(x) quandx→+∞.
Corrig´e :
. Pour toutn≥, la variable al´eatoiren(−Mn) e `a valeurs dans [, n]. On a donc, pour toutt <, P(n(−Mn)≤t) =. Soitt≥fix´e. Pour toutn≥t, on a
P(n(−Mn)≤t) =P
Mn≥− t n
=−P
Mn<− t n
=− − t
n n
.
DoncP(n(−Mn)≤t)→(−e−t)1{t≥}, et la foniont7→(−e−t)1{t≥}ela fonion de r´epartition de la loi exponentielle de param`etre. Ainsi, la suite (n(−Mn))n≥converge en loi vers une variable al´eatoire exponentielle de param`etre.
. Soitt≤. On a
P n Mn ≤t
!
≤P n Mn ≤
!
=P(Mn≤) =
n, doncP(nMn−≤t)→quandn→ ∞. Soit maintenantt >. On a
P(nMn−≤t) =P(nMn−≤t, Mn>) +P(nMn−≤t, Mn≤).
D’apr`es ce qui a ´et´e fait pr´ec´edemment,P(nMn−≤t, Mn≤)→. Et
P n
Mn ≤t, Mn>
!
= P
Mn≥ n t
= −
Z t
n
−∞
dx π(+x)
n
= − πn
π
+ aran n
t n
−→
n→∞ −exp
−t π
, car aran(x) =π−
x+o(x) quandx→ ∞. Ainsi, la suite (nMn−)n≥converge en loi vers une variable
al´eatoire exponentielle de param`etre π.
2 – Convergences en probabilit´e
E
xercice 3. (Probl`eme du colleionneur) Soit (Xk, k≥) une suite de variables al´eatoires ind´ependantes uniform´ement diribu´ees sur{,, . . . , n}. SoitTn= inf{m≥:{X, . . . , Xm}={,, . . . , n}}
le premier temps o `u toutes les valeurs ont ´et´e observ´ees.
. Soitτkn= inf{m≥:|{X, . . . , Xm}|=k}. Montrer que les variables (τkn−τkn−)≤k≤nsont ind´ependantes, et d´eterminer leurs lois respeives.
. En d´eduire queTn/(nlogn)→en probabilit´e.
Corrig´e :
. On aτn=. Soit (t, . . . , tn)∈(N∗)n−. On veut calculerP(τn−τn=t, . . . , τnn−τnn−=tn). En posant t=on a
P(τn−τn=t, . . . , τnn−τnn−=tn)
= X
σ∈Sn
P
n−
\
k=
Xt+...+tk =σ(k), Xt+...+tk+∈ {σ(), . . . , σ(k)}, . . . ,
Xt+...+tk+tk+−∈ {σ(), . . . , σ(k)}
∩ {Xt+...+tn=σ(n)}
= X
σ∈Sn
nn
Yn k=
k− n
!tk−
= n!
nn
n
Y
k=
k− n
!tk−
= Yn k=
n+−k n
! k− n
!tk−
Donc les variables al´eatoires (τkn−τkn−)≤k≤nsont ind´ependantes, et ont respeivement pour loi X
i≥
n+−k n
! k− n
!i−
δi.
Cette loi ela loi deGk+o `uGk suit la loi g´eom´etrique de param`etre (k−)/n.
. On aTn=τ+Pn
k=(τk−τk−) et donc
E(Tn) =+
n
X
k=
n
n+−k =+nHn−, o `uHnela s´erie harmonique et
Var(Tn) = Xn k=
Var(τk−τk−) = Xn k=
(k−)/n
((n+−k)/n) ≤Cn. Donc pour toutε >,
P(|Tn−E(Tn)| ≥εnlog(n))≤ Var(Tn)
εnlog(n) ≤ C εlog(n).
Donc (Tn−E(Tn))/(nlog(n))→en probabilit´e. OrE(Tn)∼nlog(n) quandn→ ∞. Donc pour tout ε > on a{|Tn−nlog(n)| ≥ εnlog(n)} ⊂ {|Tn−E(Tn)| ≥ εnlog(n)} pour nassez grand. On obtient
ainsi le r´esultat.
E
xercice 4.
. Montrer qu’une suite de variables al´eatoires r´eellesXn converge en probabilit´e vers une variable al´eatoireXsi et seulement si de toute sous-suite de cette suite on peut extraire une sous-sous-suite qui converge ps versX.
. Montrer que si une suite de variables al´eatoires r´eellesXnconverge en probabilit´e vers une variable al´eatoireXet sif :R→Recontinue, alorsf(Xn) converge en probabilit´e versf(X).
Corrig´e :
. L’implication eclaire, car d’apr`es un r´esultat du cours on peut extraire une sous-suite conver- geante p.s. versXpour toute suite de variables al´eatoires convergeant en probabilit´e versX.
Pour la r´eciproque, raisonnons par l’absurde en supposant qu’il exie >et une extrariceφ telle queP(|Xφ(n)−X|< )> pour toutn≥. Par hypoth`ese, il exie une extraiceψ telle que Xφ(ψ(n)) converge en probabilit´e versX quandn→ ∞. Ceci contredit le fait queP(|Xφ(ψ(n))−X|<
)> pour toutn≥.
. D’apr`es la premi`ere queion, il suffit de montrer que si φ e une extrarice, il exie une ex- trariceψtelle quef(Xφ(ψ(n))) converge p.s. versf(X). D’apr`es la premi`ere queion, il exie une extrariceψtelle queXφ(ψ(n))converge p.s. versX. La conclusion en d´ecoule par continuit´e def.
E
xercice 5.Soit (Xn)n≥ une suite de variables al´eatoires r´eelles etX une v.a. r´eelles d´efinies sur (Ω,A,P). On sup- pose que Xn → X en probabilit´e sous P. Montrer que si Qe une mesure de probabilit´e sur (Ω,A) absolument continue par rapport `aP, alorsXn→Xen probabilit´e sousQ.
Corrig´e :
La fao¸n la plus rapide de faire cette exercice ed’utiliser ce qu’on connait d´ej`a : d’apr`es Radon-Nikodym on peut trouver une fonionf mesurable positive qui v´erifie
∀A∈ A, Q(A) = Z
f1AdP, et de plusR
f dP=<∞, doncf eint´egrable. Ensuite, par l’absolue continuit´e de l’int´egrale,
∀ε >, ∃δ >, ∀A∈ A, P(A)< δ⇒Q(A)< ε.
Et enfin, soitη >, pournassez grandP[|Xn−X|> η]< δ, donc pournassez grandQ[|Xn−X|> η]< ε.
3 – Convergences L
pE
xercice 6. (Uniforme int´egrabilit´e)Soit (Xn)n≥ une suite de variables al´eatoires r´eelles sur (Ω,A,P). On dit que la suite (Xn) e uni- form´ement int´egrable (ou equiint´egraable ou u.i.) si
Mlim→∞sup
n≥
E[|Xn|1{|Xn|>M}] =.
. Montrer que si (Xn)n≥edomin´ee par une v.a.Y int´egrable, alors (Xn)n≥eu.i.
. Montrer que si (Xn)n≥eu.i. alors
sup
n≥
E[|Xn|]<∞, mais que la r´eciproque efausse.
. On suppose que (Xn)n≥eu.i. Montrer que
∀ε >, ∃δ >, ∀A∈ A, P(A)< δ⇒sup
n≥
E[|Xn|1A]< ε.
Montrer que la r´eciproque evraie `a condition de supposer supE[|Xn|]<∞.
. Soitp >, montrer que si (Xn)n≥eborn´ee dansLp(iesupE[|Xn|p]<∞), alors (Xn)n≥eu.i.
. On suppose queXn→Xp.s.
(a) On suppose queXn→XdansL, montrer que (Xn)n≥eu.i.
(b) R´eciproquement, on suppose que (Xn)n≥eu.i.
i. Montrer queXeint´egrable.
ii. Montrer que la suite (Xn−X)n≥eu.i.
iii. En d´eduire queXn→XdansL. Corrig´e :
Ceci ebiens ˆur r´eminscent de l’exercicedu TD.
. Pour toutn,|Xn| ≤Y, donc pour toutn
E[|Xn|1{|Xn|>M}]≤E[|Y|1{|Y|>M}]→ par convergence domin´ee.
. Si (Xn)n≥ eu.i. alors limM→∞supn≥E[|Xn|1{|Xn|>M}] =, on peut ainsi trouverM tel qu’on ait supn≥E[|Xn|1{|Xn|>M}] =K<∞. On a alors
sup
n≥
E[|Xn|]≥K+M<∞.
Pour un contre-exemple `a la r´eciproque, il suffit de prendre des approximations de la mesure de dirac, ou en terme de v.a.P[Xn=n] =netP[Xn=] =−
n.
. Soitε >, comme (Xn) eu.i., on peut trouverMtel que supn≥E[|Xn|1{|Xn|>M}]< ε/. Ensuite, si A∈ A,
E[|Xn|1A] = E[|Xn|1A∩{|Xn|>M}] +E[|Xn|1A∩{|Xn|≤M}]
≤ ε
+MP(A).
Donc avecδ=Mε
on a le r´esultat souhait´e. Pour la r´eciproque, siM > supEδ[|Xn|], alors par l’in´egalit´e MarkovP[Xn> M]< δet par l’hypoth`ese
E[|Xn|1{|Xn|>M}]< ε ∀n≥∀M > supE[|Xn|]
δ .
. On suppose que supnkXnk
p <∞, et on va essayer d’appliquer le crit`ere pr´ec´edent. Par H¨older ou JensenE[|Xn|]≤ kXnkp, donc la premi`ere hypoth`ese ev´erifi´ee. Maintenant par H¨older :
E[|Xn|1A]≤ kXnkpP(A)/q, avecq <∞puisqu’on a prisp >, et avecδ=
ε supkXnkp
q
on a la relation voulue.
. On suppose queXn→Xp.s.
(a) On suppose queXn→XdansL, on va `a nouveau utiliser le crit`ere de la queion. Comme E[|Xn|]→E[|X|], la suite eborn´ee et on a la premi`ere hypoth`ese. Prenonsε >, et soitN > tq∀n > N,E[|Xn−X|]< ε/. On peut trouverδetδtels que
P(A)< δ ⇒ max
≤i≤N
E[|Xi|1A]< ε, P(A)< δ ⇒ E[|X|1A]< ε
. Ensuite sin > N, on a
E[|Xn|1A]≤E[|Xn−X|] +E[|X|1A]≤ε.
(b) R´eciproquement, on suppose que (Xn)n≥eu.i.
i. Par Fatou,
E[|X|]≤lim infE[|Xn|]≤supE[|Xn|]<∞
ii. On utilise `a nouveau le crit`ere de la queion ., mais je n’ai pas envie de le faire une troisi`eme fois.
iii. Soit ε > et M > tel que supn≥E[|Xn−X|1{|Xn−X|>M}] < ε. La suite de v.a. |Xn− X|1{|Xn−X|≤M}converge versp.s. et edomin´ee parM, donc par convergence domin´ee
E[|Xn−X|] =E[|Xn−X|1{|Xn−X|>M}] +E[|Xn−X|1{|Xn−X|≤M}]≤ε+o(),
ce qui ach`eve la d´emonration.
3 – ` A faire pendant les vacances
. Manger beaucoup de magret de canard.
. Pour pr´eparer l’examen, r´eviser le cours et ce qui a ´et´e fait en TD. Chercher des exercices exa- mens des ann´ees pr´ec´edents (les ´enonc´es sont disponibles sur le site d’enseignement du DMA – http://www.math.ens.fr/enseignement– partie Archives p´edagogiques, puis Annales d’exa- mens).
– Compl´ements (hors TD)
E
xercice 7.. Soitmune mesure de probabilit´e sur (R,B(R)). Pour toutn≥, on d´efinit une mesure de probabi- lit´emnsur (R,B(R)) par :
mn=X
k∈Z
m([k/n,(k+)/n[)δk/n. Montrer que (mn, n≥) converge ´etroitement versm.
. En d´eduire que si (Xn)n≥eune suite de variables al´eatoires, chaqueXn ´etant de loi g´eom´etrique de param`etree−/n, alors la suite (Xn/n)n≥converge en loi vers une variable al´eatoire exponentielle de param`etre.
Corrig´e :
. SoitXune variable al´eatoire r´eelle d´efinie sur un espace (Ω,A,P) de loim. Alors on voit que pour toutn≥, la variable al´eatoireYn=bnXc/n(bxc d´esigne la partie enti`ere dex) suit la loi mn. Et Yn→Xp.s. DoncYn→Xen loi, ce qui signifie quemn→m´etroitement.
. On posem(dx) = e−x1{x>} dx. Alors on v´erifie que pour tout n ≥ , mn ela loi de la variable al´eatoireXn/n. En effet,
P(Xn=k) =e−k/n−e−(k+)/n=
Z (k+)/n
k/n
e−xdx=mn({k/n}).
E
xercice 8. Soient (Xn)n≥une suite de variables al´eatoires conantes, respeivement ´egales p.s. `axn∈ R, etXune variable al´eatoire r´eelle. Montrer queXn→Xen loi si et seulement si il exiex∈Rtel que Xede loiδx etxn→xquandn→ ∞.Corrig´e :
Sixn→xet siXede loiδxalors pour toute fonion continueg:R→Ron aE(g(Xn)) =g(xn)→g(x) = E(g(X)), ce qui signifie queXn→Xen loi.
SiXn→Xen loi alorsFXn(t)→FX(t) pour toutt∈D o `uD el’ensemble des points de continuit´e de F (D edense car le compl´ementaire d’un ensemble d´enombrable). Pour toutt∈R, on aFXn(t)∈ {,} et doncFX(t)∈ {,}pour toutt∈D. CommeFX ecroissante, il exiex∈Rtel queXede loiδx. Soit Oun ouvert contenantx. Alors
lim inf
n→∞
P(Xn∈O)≥P(X∈O) =.
Ainsi lim infn→∞P(Xn ∈ O) = ce qui signifie que xn ∈O `a partir d’un certain rang. On a donc bien
xn→xquandn→ ∞.
E
xercice 9. Soit (Ω,F,P) un espace probabilis´e. On suppose queΩed´enombrable et que la tribuF e P(Ω). Montrer que les convergences ”presque-s ˆur” et ”en probabilit´e” sont ´equivalentes sur cet espace (pour des variables al´eatoires `a valeur dans un espace m´etrique (E, d)).Corrig´e :
On ´enum`ereΩ={ωi}
i≥. SoitXet (Xn) des variables al´eatoires d´efinies sur (Ω,F,P) telles que Xn−→(P) X.
Pour montrer queXnconverge p.s. versX, il suffit de montrer que pour toutk > P({ω,lim sup
n→∞
d(Xn(ω), X(ω))≥/k}) =.
Soitωi∈Ωtel queP({ωi})>. D’apr`es la convergence en probabilit´e deXnversX, on a P({ω, d(Xn(ω), X(ω))≥/k}) −→
n→∞ .
Ainsi, `a partir d’un certain rang,ωi <{ω, d(Xn(ω), X(ω))≥ε}. On en d´eduit que pour toutωi de proba- bilit´eriement positive, lim supd(Xn(ωi), X(ωi))≤/k. La d´enombrabilit´e deΩ permet de conclure.
E
xercice 10. ( ) Soit (Yn)n≥ une suite de variables al´eatoires r´eelles suivant respeivement une loi gaussienne N(mn, σn) avecmn∈R etσn>. Montrer que cette suite converge en loi vers une variable r´eelleY si et seulement si les deux suites (mn)n≥et (σn)n≥ convergent vers respeivementm etσ, et identifier la loi limite.Corrig´e :
On rappelle que la fonion cara´eriique d’une gaussienneN(m, σ) de moyennemet de variance σ eΦm,σ(t) = exp(imt−σt/). La r´eciproque d´ecoule ainsi imm´ediatement du th´eor`eme de L´evy (petite remarque : lorsqueσ =, la gaussienneN(m, σ) epar convention conante ´egale `am).
Pour l’implication, supposons queYnconverge en loi versY. Le th´eor`eme de L´evy garantit que exp(imnt− σnt/) converge pour tout r´eeltlorsquen→ ∞, et donc que exp(−σnt/) converge (en prenant le mo- dule). Il s’ensuit queσnconverge versσ∈R∪ {∞}. Or|E[exp(itYn)]|converge vers|E[exp(itY)]|qui e une fonion continue ent, ce qui exclut le casσ=∞(car alors|E[exp(itYn)]| →1t=).
Il s’ensuit que exp(imnt) converge pour tout r´eel t lorsque n → ∞. Montrons que cela entraˆıne la convergence de la suite (mn). Si on sait a priori que la suite (mn) eborn´ee, c’efacile : simetm0 sont deux valeurs d’adh´erence on a exp(imt) = exp(im0t) pour toutt∈R, ce qui entraˆınem=m0. Supposons la suite (mn) non born´ee et montrons qu’on arrive `a une contradiion. On extrait une sous-suite (mnk) qui converge vers +∞(on fait le mˆeme raisonnement pour−∞). Alors pour toutA >, d’apr`es le th´eor`eme de Portmanteau :
P(Y ≥A)≥lim sup
k→∞
P(Ynk ≥A)≥/
puisque pour k suffisamment grand on aP(Ynk ≥A) ≥P(Ynk ≥mnk) =/. La contradiion souhait´ee
arrive en faisant tendreA→ ∞.
E
xercice 11. ( ) D’o `u vient le nom “Th´eor`eme de portmanteau” ? Corrig´e :“Portmanteau” veut dire grosse valise en anglais. Le “Th´eor`eme de portmanteau” a ´et´e nomm´e ainsi en raison des nombreuses ´equivalences pr´esentes dans son ´enonc´e : ce n’epas un “mot-valise” mais un
“theor`eme-valise”.
Fin
