(1)UNIVERSITE CADI AYYAD Faculté PolyDisciplinaire de Safi TD d’Analyse 6 Calcul des résidus Département Maths–Info

(1)

UNIVERSITE CADI AYYAD Facult´e PolyDisciplinaire de Safi

TD d’Analyse 6 Calcul des r´esidus

D´epartement Maths–Info.

Fili`ere SMA(S4) (A.U : 19-20)

Exercice 1. Soitf la fonction complexe d´efinie parf(z) = 1 z²+ 1.

1. Vérifier quez0=i est un pôle simple et donner le résidu de f au pointz0.

2. On considèreγ⁺le contour formé par le segment [−R, R] et le demi-cercle supérieurC_R+ de centre 0 et de rayon R >1.

y

x

O R

−R

C_R+

i

Calculer l’int´egrale I=

+∞

Z

−∞

1

x²+ 1dxpar la m´ethode des r´esidus.

Exercice 2. Soitf la fonction complexe d´efinie parf(z) = z² (z²+ 1)².

1. En utilisant un déveleppement en série de Laurent, vérifier quez0=iest un pôle d’ordre 2 et donner le résidu def au pointz0.

2. Calculer l’int´egrale I=

+∞

Z

0

x²

(x²+ 1)²dxpar la m´ethode des r´esidus.

Exercice 3. SoitI=

+∞

Z

0

sin(x) x(x²+ 1)²dx.

1. Montrer queI est une int´egrale convergente.

Soitf la fonction complexe d´efinie par :

f(z) = e^iz z(1 +z²)².

On considèreγ⁺ le contour formé par le segment [−R,−r], le demi-cercle supérieurC_r− de centre 0 et de rayon r, le segment [r, R] et le demi-cercle supérieur C_R+ de centre 0 et de rayonR >1.

2. En utilisant un déveleppement en série de Laurent, vérifier quez₀=iest un pôle d’ordre 2 et donner le résidu def au pointz0.

3. Trouver une majoration de

Z

C_R+

f(z)dz

en fonction deR. En d´eduire lim

R→+∞

Z

C_R+

f(z)dz.

4. Donner lim

r→0

Z

C_r−

f(z)dz.

(2)

5. CalculerI.

Exercice 4. Soit la fonctionf :R−→Rd´efinie par : f(x) = e^λx

1 +e^x, 0< λ <1.

1. Montrer queI=

+∞

Z

−∞

f(x)dxest convergente.

Dans la suite, on Consid`ere la fonction complexe d´efinie parf(z) = e^λz

1 +e^z et γ=γ₁∪γ₂∪ γ3∪γ4 le contour ferm´e suivant :

γ2

γ3

γ4

γ1

−R R

2iπ

Re Im

2. Quels sont les pôles def. En utilisant un déveleppement dee^z au voisinage deiπ, donner le résidu def au pointz0=iπ.

3. Montrer que Z

γ2

f(z)dz

≤2π e^λR

e^R−1. En d´eduire lim

R→+∞

Z

γ2

f(z)dz.

4. Montrer que lim

R→+∞

Z

γ₄

f(z)dz= 0.

5. D´eduire queI= π sin(λπ).

Exercice 5. Soit la fonctionf :]0,+∞[−→Rd´efinie par : f(x) = ln(x)

√x(1 +x²)².

1. Etablir la convergence deI=

+∞

Z

0

f(x)dx.

On Consid`ere la fonction complexef(z) = ln(z)

√z(1 +z²)²,o`u ln(z) = ln|z|+i θ et √

z=|z|¹²e^{i arg(z)}² , avec 0≤arg(z) =θ <2π.

Soient R et r deux réels tels que 0< r < 1< R. On considère γ⁺ le contour formé par le segment [−R,−r], le demi-cercle supérieur C_r− de centre 0 et de rayon r, le segment [r, R]

et le demi-cercle sup´erieur C_R+ de centre 0 et de rayon R.

2. En utilisant un développement en série de Taylor, étudier la singularité def au pointz0=i et donner le résidu correspondant puis calculer

Z

γ⁺

f(z)dz.

3. Montrer que

Z

C_R+

f(z)dz

≤π√

R(ln(R) +π)

(R²−1)² . En d´eduire lim

R→+∞

Z

C_R+

f(z)dz.

(3)

4. Trouver une majoration de Z

C_r−

f(z)dz. En d´eduire lim

r→0

Z

C_r−

f(z)dz.

5. Calculer les valeurs deI etJ =

+∞

Z

0

√ dx

x(1 +x²)².

Exercice 6. 1. (a) A l’aide d’une int´egration par parties, d´emontrer que I =

+∞

Z

0

cos(x²)dx est convergente.

(b) Montrer que : ∀x∈[0,^π₂], sin(x)≥2x π.

2. Soitf la fonction complexe définie parf(z) =e^−z². On considèreγ⁺ le contour formé par le segmentOR, l’arc C_R+ de cercle de centre O et de rayonR et le segmentBO :

y

x

O R

B

π 4

C_R+

(a) Montrer que

Z

C_R₊

f(z)dz

≤ π(1−e^−R²)

4R .

(b) Exprimer l’int´egrale def sur le segmentBO, Z

BO

f(z)dz, en fonction de

R

Z

0

cos(x²)dxet

de

R

Z

0

sin(x²)dx.

(c) Calculer les int´egrales de Fresnel: Iet J =

+∞

Z

0

sin(x²)dx.

Exercice 7. 1. (a) Montrer que l’int´egrale I =

+∞

Z

0

e^−x

√xdx est convergente. en utilisant un changement de variable, calculerI.

(b) Montrer que : ∀x∈[0,^π₂], sin(x)≥2x π. 2. Soit la fonction complexe f(z) =e^−z

√z, o`u√

z=|z|¹²e^{i arg(z)}² , avec 0≤arg(z)<2π.

Soit 0< r < R. On consid`ereγ⁺ le contour form´e par le segment [rR], l’arc C_R+ de cercle de centreO et de rayonR, le segment [Rr] et l’arcC_r− de cercle de centreO et de rayonr:

(4)

y

x

O R

R

r

C_R+

C_r−

(a) Montrer que

Z

C_R₊

f(z)dz

≤ π(1−e^−R) 2√

R .

(b) Calculer lim

r→0

Z

C_r−

f(z)dz.

(c) Calculer les int´egrales : I=

+∞

Z

0

sin(x)

√x dxet J =

+∞

Z

0

cos(x)

√x dx.

(d) A l’aide d’un changement de variable, d´eduire la valeur de l’int´egrale: K=

+∞

Z

0

sin(x²)dx.

Exercice 8. Soit la fonctionf d´efinie par : f(x) =x¹³ x²−1 (x²+ 1)². 1. Etablir la convergence de l’int´egraleI=

+∞

Z

0

f(x)dx.

On Consid`ere la fonction complexe d´efinie par g(z) =z¹³ z²−1

(z²+ 1)², avec z¹³ =|z|¹³e^{i arg(z)}³ .

2. En utilisant un développement en série de Taylor, calculer le résidu deg au pointz0=i.

Soient R et r deux réels tels que 0< r < 1< R. On considère γ⁺ le contour formé par le segment [−R,−r], le demi-cercle supérieur C_r⁻ de centre 0 et de rayon r, le segment [r, R]

3. Montrer que

Z

C_R+

g(z)dz

≤πR⁴³ R²+ 1

(R²−1)². En d´eduire lim

R→+∞

Z

C_R+

g(z)dz.

4. Trouver lim

r→0

Z

C_r−

g(z)dz.

5. CalculerI.

Exercice 9. SoitI=

+∞

Z

−∞

sin(x) x(x²+ 1)dx.

(5)

1. Montrer queI est une int´egrale convergente.

Soitf la fonction complexe d´efinie par e^iz

z(z²+ 1). On considère γ⁺ le contour formé par le segment [−R,−r], le demi-cercle supérieur C_r− de centre 0 et de rayon r, le segment [r, R]

et le demi-cercle sup´erieur C_R+ de centre 0 et de rayon R >0.

2. Etudier les singularit´es de f et donner les r´esidus correspondants puis calculer Z

γ⁺

f(z)dz suivant les valeurs deR.

3. (a) Montrer que∀x∈[0,^π₂], sin(x)≥ 2x π et que

π

Z

0

e^−R^sin(θ)dθ≤ π R. (b) PourR >1, montrer que|

Z

C_R₊

f(z)dz| ≤ π R(R²−1).

4. Donner lim

r→0

Z

C_r−

f(z)dz.

5. En d´eduire la valeur deI.

Exercice 10. Soit la fonctionf :R−→Rd´efinie par : f(x) = e^λx

1 +e^x, 0< λ <1.

1. Montrer queI=

+∞

Z

−∞

f(x)dxest convergente.

Dans la suite, on Consid`ere la fonction complexe d´efinie parf(z) = e^λz

1 +e^z et γ=γ1∪γ2∪ γ₃∪γ₄ le contour ferm´e suivant :

γ2

γ₃

γ4

γ1

−R R

2iπ

Re Im

2. Quels sont les pôles def. En utilisant un déveleppement dee^z au voisinage deiπ, donner le résidu def au pointz0=iπ.

3. Montrer que Z

γ₂

f(z)dz

≤2π e^λR

e^R−1. En d´eduire lim

R→+∞

Z

γ2

f(z)dz.

4. Montrer que lim

R→+∞

Z

γ₄

f(z)dz= 0.

5. D´eduire queI= π sin(λπ).

(6)

Exercice 11. Soit la fonctionf :]0,+∞[−→Rd´efinie par : f(x) = ln(x)

√x(1 +x²)².

1. Etablir la convergence deI=

+∞

Z

0

f(x)dx.

On Consid`ere la fonction complexef(z) = ln(z)

√z(1 +z²)²,o`u ln(z) = ln|z|+i θ et √

z=|z|¹²e^{i arg(z)}² , avec 0≤arg(z) =θ <2π.

Soient R et r deux réels tels que 0< r < 1< R. On considère γ⁺ le contour formé par le segment [−R,−r], le demi-cercle supérieur C_r⁻ de centre 0 et de rayon r, le segment [r, R]

2. En utilisant un développement en série de Taylor, étudier la singularité def au pointz₀=i et donner le résidu correspondant puis calculer

Z

γ⁺

f(z)dz.

3. Montrer que

Z

C_R+

f(z)dz

≤π√

R(ln(R) +π)

(R²−1)² . En d´eduire lim

R→+∞

Z

C_R+

f(z)dz.

4. Trouver une majoration de Z

C_r−

f(z)dz. En d´eduire lim

r→0

Z

C_r−

f(z)dz.

5. Calculer les valeurs deI etJ =

+∞

Z

0

√ dx

x(1 +x²)². Exercice 12. Par la méthode des résidus calculer l’intégrale

I=

π

Z

−π

sin(7θ) 2 + sin(θ)dθ.