Université Cadi Ayyad Correction TD n
◦1 Année Universitaire
Faculté Polydisciplinaire Safi Module Algèbre 2 2019-2020
Département de Math et Info Filière SMPC S2 Pr : BOUALLALA
Exercice: 1.
1) Montrerons que F est un sous-espace vectoriel de K
n[ X ] .
F = { P ∈ K [ X ] ; ( 2X
2+ 1 ) P
0− 4XP = 0 } . i) P = 0 ∈ F ⇒ F 6∈ ∅ .
ii) Soient P, Q ∈ F et α ∈ K.
On montre que
( 2X
2+ 1 )( P + αQ )
0− 4X ( P + αQ ) = (( 2X
2+ 1 ) P
0− 4XP ) + α (( 2X
2+ 1 ) Q
0− 4XQ ) = 0 2) Montrerons que F est un sous-espace vectoriel de K
n[ X ] .
G = { P
0+ P” = 0 ; P ∈ K [ X ]} . i) Q = 0 ∈ G ⇒ G 6∈ ∅
ii) Soient P, Q ∈ F et α ∈ K.
On montre que ( α P + Q )
0+ ( αP + Q ) ” = α ( P
0+ P” ) + ( Q
0+ Q” ) = 0
Exercice: 2.
Soient X
1= ( x
1, y
1) et X
2= ( x
2, y
2) deux éléments de R
2. On a f ( X
1+ X
2) = λx
21+ 2λx
1x
2+ λx
22+ y
1+ y
2. aussi f ( X
1) + f ( X
2) = λx
21+ λx
22+ y
1+ y
2.
Si f est linéaire, alors 2λx
1x
2= 0 ⇒ λ = 0.
Soit α ∈ K, on a f ( α X ) = λα
2x
21+ αy
1et α f ( X ) = λαx
21+ αy
1. Si α 6∈ { 0, 1 } , on trouve λ = 0.
Conclusion f est linéaire si λ = 0.
Exercice: 3.
1) Si on prend v
1= ( 1, 1, 0 ) et v
2= (− 1, − 1, 0 ) , on a ( v
1+ v
2) = ( 0, 0, 0 ) . f ( v
1) = √
2 et f ( v
2) = √
2 mais f ( v
1+ v
2) = 0.
Donc f ( v
1) + f ( v
2) 6= f ( v
1+ v
2) ⇒ f non-linéaire.
2) Soient g
1, g
2∈ X et α ∈ R.
f ( αg
1+ g
2) = R
10
( αg
1+ g
2)( t ) dt = α R
10
g
1( t ) dt + R
10
