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Université Cadi Ayyad TD n

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Université Cadi Ayyad TD n

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1 Année Universitaire

Faculté Polydisciplinaire Safi Module Algèbre 2 2019-2020

Département de Math et Info Filière SMPC S2 Pr : BOUALLALA

Exercice: 1.

Montrer que les ensembles suivants sont des sous-espaces vectoriel de K

n

[ X ] . 1) F = { P ∈ K [ X ] ; ( 2X

2

+ 1 ) P

0

− 4XP = 0 } .

2) G = { P

0

+ P” = 0 ; P ∈ K [ X ]} .

Exercice: 2.

Soient λ ∈ R un paramètre réel et f l’application définie par f : R

2

→ R

( x, y ) 7→ f ( x, y ) = λx

2

+ y.

Pour quelle valeur de λ, l’application f est linéaire ? (R

2

est considéré comme R-espace vectoriel).

Exercice: 3.

Les applications suivantes sont-elles linéaires ?

1) f : R

3

→ R, v = ( x, y, z ) , f ( v ) = k v k = ( x

2

+ y

2

+ z

2

)

12

. 2) f : X = C ([ 0, 1 ] , R ) → R, f ( g ) = R

1

0

g ( t ) dt 3) f : R

3

→ R, f ( x, y, z ) = x

2

− z.

Exercice: 4.

On note ( e

1

, e

2

, e

3

) la base canonique de R

3

. On définit l’endomorphisme f : R

3

→ R

3

par : f ( e

1

) = 3e

1

+ 4e

2

− 2e

3

, f ( e

2

) = − e

1

− e

2

+ e

3

et f ( e

3

) = e

1

+ 2e

2

. On pose g = f − id

R3

.

1) Déterminer f ( x, y, z ) et g ( x, y, z ) pour tout ( x, y, z ) ∈ R

3

. 2) Déterminer Ker ( f ) , Ker ( g ) , Im ( f ) et Im ( g ) .

1

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