Université Cadi Ayyad Correction TD n
◦2 Année Universitaire Faculté Polydisciplinaire Safi Module Algèbre 2 2019-2020 Département de Math et Info Filière SMPC S2 Pr : BOUALLALA
Exercice: 1.
Soient n ∈ N
∗et A ∈ M
n∈ ( R )
a) ∀ λ ∈ R, det ( λA ) = λdet ( A ) . Faux.
On prend A =
0 2 1 1
, on a det ( A ) = − 2.
On a 3A =
0 6 3 3
et det ( 3A ) = − 18.
Mais 3det ( A ) = 3 × (− 2 ) = − 6 6= − 18 = det ( 3A ) . b) ∃ λ ∈ R, det ( λA ) = λdet ( A ) . Vrai.
Il suffit de prendre λ = 1.
c) ∀ λ ∈ R, det ( λA ) = λ
ndet ( A ) . Vrai.
Démonstration (Voir le cours)
d) ∀ λ ∈ R, det ( λA ) = nλdet ( A ) . Faux.
On prend B =
5 2 1 1 1
, on a det ( A ) = 5
2 − 1 = 3 2 .
Soit λ = 2
3 , λA = 2 3 A =
5 3
2 3 2 3
2 3
, alors det ( λA ) = 10 9 − 4
9 = 6 9 = 2
3 . On a det ( λA ) = 2
3 et nλdet ( A ) = n × 2 3 × 3
2 = n.
Si la propriété est vrai, on trouve n = 2
3 , absurde.
e) ∀ λ ∈ R, det ( λA ) = λ
n det ( A ) . Faux.
On prend le même exemple que d ) , on trouve n 3
2 ce qui est absurde.
Exercice: 2.
1) En développant le determinant selon la première colonne, on trouve : det ( X, Y, Z ) =
0 4 11
1 5 7
− 1 − 2 3
= 0
5 7
− 2 3
−
4 11
− 2 3
−
4 11 5 7
= − 7 6= 0.
Donc le système ( X, Y, Z ) est libre.
2) En développant le determinant selon la première colonne, on trouve : det ( X, Y, Z ) =
3 4 10
0 1 9
− 7 − 4 − 6
= 3
1 9
− 4 − 6 0
4 10
− 4 − 6
− 7
4 10 1 9
= − 92 6= 0.
Donc le système ( X, Y, Z ) est libre.
1
Exercice: 3.
1) Calculons le déterminant
1 2 − 1 2 3 2 6 8 4
.
En développant le determinant selon la première colonne, on trouve :
1 2 − 1 2 3 2 6 8 4
=
3 2 8 4
− 2
2 − 1 8 4
+ 6
2 − 1 3 2
= 6.
2) On a det ( A ) = 6 6= 0, donc la matrice A est inversible.
3) On sait que A
−1= 1 det ( 1 )
t
