(1)UNIVERSITE CADI AYYAD Faculté PolyDisciplinaire de Safi TD de calcul de Probabilités Variables aléatoires Département Mathématiques-Info

(1)

UNIVERSITE CADI AYYAD Facult´e PolyDisciplinaire de Safi

TD de calcul de Probabilit´es Variables al´eatoires

D´epartement Math´ematiques-Info.

Fili`ere SMA(S6) (A.U : 19-20)

Exercice 1. Soit (un)_n∈N une suite r´eelle born´ee. Pour toutn∈N, on pose A_n={um, m≥n}.

1. Pour toutn∈N, on poseV_n= inf(A_n) etW_n= sup(A_n). Montrer que la suite (V_n)_n∈_Nest croissante et la suite (W_n)_n∈_Nest d´ecroissante. En d´eduire qu’elles sont convergentes.

2. On note : lim

n→+∞V_n= lim inf

n→+∞u_n = sup

n≥0

m≥ninf u_met lim

n→+∞W_n= lim sup

n→+∞

u_n= inf

n≥0sup

m≥n

u_m. Calculer lim inf

n→+∞u_n et lim sup

n→+∞

u_n pour les suites (u_n)_n = ((−1)ⁿ)_n∈_N et (u_n)_n = (_n¹)_n∈_N^∗.

Exercice 2. Soientxun nombre r´eel et (u_n)_n la suite d´efinie par : ∀n∈N, u_n= h

10ⁿxi 10ⁿ , o`u [x]

représente la partie entière d’un réel x.

1. Montrer que la suite (un)n converge versx.

On posea0=u0= [x] et∀n∈N, an+1= 10ⁿ⁺¹(un+1−un).

2. Montrer que pour tout entiern∈Non a : 0≤an+1≤9 etun=

n

X

k=0

ak

10^k. 3. On pose pour tout entiern∈N,v_n=u_n+ 1

10ⁿ. Montrer que les deux suites (u_n)_n et (v_n)_n sont adjacentes qui convergent vers xavecun≤x≤vn pour toutn∈N.

unest appelée l’approximation décimale par défaut à10ⁿprès dexetvnl’approximation décimale par excès à 10ⁿ près.

Exercice 3. Soient (Ω,F) et (E,E) deux espaces probabilisables,Cune classe de parties deE et X une application de (Ω,F) `a valeurs dans (E,E).

1. Montrer que : σ(X⁻¹(C)) =X⁻¹(σ(C)).

2. On suppose que : σ(C) =E. Montrer que X est une variables al´eatoire si et seulement si X⁻¹(C)⊂ F.

3. On suppose que : (E,E) = (R,B_R). Déduire queX est une variable aléatoire réelle ssi pour tout t∈R,{X ≥t} ∈ F.

4. On suppose que E un espace topologique et E la tribu engendr´ee par la classe des ouverts deE. Montrer que toute fonction continuef : (E,E)→(R,B_R) est mesurable.

Exercice 4. Soient (Xn)_n≥1 une suite de variables aléatoires indépendantes identiquement dis- tribuées et F la fonction de répartition deX1. Pour toutk∈N^∗, on noteZk la variable aléatoire définie par

Zk= max(Xi: 1≤i≤k) = max(X1, X2, ..., Xk).

1. Pour k∈N, exprimer la fonction de r´epartitionHk deZk en fonction deF et k.

2. SoitN une variable aléatoire à valeurs dansN^∗ indépendante des (Xn)_n≥1. On considère la variable aléatoireZ définie parZ = max(Xi : 1≤i≤N)

(a) Justifier l’´egalit´e, pourx∈R,

{Z≤x}= [

k≥1

{Zk ≤x}\

{N =k}

.

(b) En déduire que la fonction de répartitionH deZ est donnée par

∀x∈R, H(x) =X

k≥1

(F(x))^k P(N =k).

(2)

(c) DéterminerHdans le cas oùX1suit la loi uniforme sur [0,1] etNsuit la loi géométrique de paramètrep∈]0,1[,i.e. P(N=k) =p(1−p)^k−1.

Exercice 5. 1. Soient X une variable aléatoire positive et a > 0. Démontrer l’inégalité de Markov

P(X ≥a)≤EX a .

2. Soient (X_n)_n≥1, une suite de variables aléatoires indépendantes identiquement distribuées suivant la loi exponentielleE(1) de paramètre 1, etr >0. On poseSn =

n

X

k=1

Xk

(a) Montrer, en utilisant l’in´egalit´e de Markov, que pour tout 0< λ <1, P

hSn

n ≥1 +ri

≤P h

e^λSⁿ ≥e^nλ(1+r)i

≤

Ee^λX¹ e^λ(1+r)

ⁿ .

(b) En d´eduire queP hSn

n ≥1 +ri

≤(1 +r)ⁿe^−nr.

Exercice 6. 1. Soit X une variables al´eatoire de loi exponentielle E(λ) de param`etre λ >0.

Déterminer la loiPZ de la variable aléatoireZ = [X] + 1 où [x] désigne la partie entière de x. Identifier la loi trouvée avec une loi usuelle.

2. SoitU une variable aléatoire de loi uniformeU([−1,1]). Déterminer la loi PV de la variable aléatoireV = arcsin(U).

3. Soit X une variables aléatoire de loi normale N(0,1). Déterminer la loi PR de la variable aléatoireR=|X|.

4. SoitX, Y deux variables al´eatoires ind´ependantes de loi normaleN(0,1).

(a) Déterminer la loiPZ de la variable aléatoitreZ= ^X_Y. Identifier la loi trouvée avec une loi usuelle.

(b) D´eterminer la loiP^H de la variable al´eatoitreH =_Z¹.

Exercice 7. SoientU une variable aléatoire de loi uniforme sur [−1,1] etX la variable aléatoire définie parX =1 +U

1−U.

1. Déterminer la densité de la variable aléatoireX.

2. Calculer la fonction de r´epartition deX.

3. Déterminer la loi de la variable aléatoireZ= [X] où [x] désigne la partie entière dex.

Exercice 8. SoitX une variable aléatoire à valeurs dansRde loi de densité x7→f(x) = 1

π(1 +x²). Montrer _X¹ est de mˆeme loi queX.

Solution 1.

Proposition 0.1. Soit X variable al´eatoire `a valeurs dans R^d. S’il existe g :R^d →R telle que

∀f :R^d →Rborélienne bornée telle que f(X) soit intégrable ou positive, E(f(X)) =

Z

R^d

f(x)g(x)dx ,

(3)

alorsg est la densit´e deX.

Soitg∈ B_b⁺(R)) l’ensemble des fonctions boréliennes bornées deRà valeurs dansR⁺(on peut prendre aussi l’ensemble des fonctions continues bornées deRà valeurs dansR⁺), la loi de la v.a.

1

X est uniquement d´etermin´ee par le calcul deE h

g

1 X

i

, le th´eor`eme de transfert nous donne E

h g1

X i

= Z

R

g1 x

dP^X

= Z

R

g1 x

f(x)dx

= Z

R

g1 x

1 π(1 +x²)dx

= Z

]−∞,0[

g1 x

1

π(1 +x²)dx+ Z

]0,+∞[

g1 x

1 π(1 +x²)dx

=

0

Z

−∞

g1 x

1

π(1 +x²)dx+

+∞

Z

0

g(1 x) 1

π(1 +x²)dx

=

0

Z

−∞

g(u) 1 π(1 +_u¹₂)

du u² +

+∞

Z

0

g(u) 1 π(1 +_u¹₂)

du

u² (u= 1

x, du=−dx x²)

= Z

R

g(x) 1 π(1 +x²)dx

c’est `a dire que la loi de la v.a. _X¹ est dP_X¹ = 1

π(1 +x²)dxet par suite la densit´e de probabilit´eh de la v.a. _X¹ esth(x) = 1

π(1 +x²) qui la densité de probabilité d’une loi de Cauchy de paramètre 1. Donc les v.a. X et _X¹ ont même loi.

Exercice 9. Soit X1, ..., Xn des variables aléatoires indépendantes de loi exponentielle E(λ) de paramètreλ >0.

1. Calculer la loi de la variable al´eatoireY = max

1≤i≤nX_i. 2. Calculer la loi de la variable al´eatoireZ= min

1≤i≤nXi.

Solution 2. 1. Calculons la fonction de r´epartitionFY deY : soitt∈R P(Y ≤t) = P( max

1≤i≤nXi≤t)

= P(X₁≤t,· · ·, X_n≤t)

= P

\ⁿ

i=1

{Xi≤t}

=

n

Y

i=1

P

X_i≤t

((X_i)ⁿ_i=1 sont ind´ependantes)

=

n

Y

i=1

P

X₁≤t

((X_i)ⁿ_i=1 sont de mˆeme loi)

=

P

X₁≤tn

=

FX₁(t)n

(FX₁ est la fonction de r´epartition deX1)

(4)

Calculons maintenant la fonction de r´epartition deFX₁ deX1, soit t∈R,

a. sit <0, alorsFX1(t) = 0, puisque la fonction de densit´e est nulle pour t≤0.

b. sit≥0

P(X1≤t) =

t

Z

−∞

λe^−λx1_[0,+∞[dx

=

t

Z

0

λe^−λxdx= (1−e^−λt)

doncFX₁ est donn´e par

F_X₁(t) =

0 si t <0

1−e^−λt si t≥0.

Donc

FY(t) =

0 si t <0

(1−e^−λt)ⁿ si t≥0.

On applique la proposition suivante pour calculer la densit´e :

Proposition 0.2. SiX est une v.a.r. de fonction de répartitionF telle queF est dérivable, alors X a une densité f qui est égale à f(x) = F⁰(x). Si F est dérivable partout sauf en un nombre fini de point,X est encore continue et elle a pour densitéf =F⁰ (que l’on peut calculer partout sauf en un nombre fini de points, on met n’importe quelle valeur pourf aux points oùF n’est pas dérivable).

doncY a pour densité de probabilitéfY donnée par fY(t) =F_Y⁰(t) =

0 si t <0

nλe^−λt(1−e^−λt)ⁿ⁻¹ si t≥0.

2. Calculons la fonction de r´epartitionF_Z deZ : soitt∈R P(Z≤t) = 1−P( min

1≤i≤nXi ≥t)

= 1−P(X₁≥t,· · · , X_n≥t)

= 1−P \ⁿ

i=1

{Xi≥t}

= 1−

n

Y

i=1

P

X_i≥t

((X_i)ⁿ_i=1 sont ind´ependantes)

= 1−

n

Y

i=1

P

X₁≥t

((X_i)ⁿ_i=1 sont de mˆeme loi)

= 1− 1−P

X₁≤tn

= 1−

1−FX₁(t)n

(FX₁ est la fonction de r´epartition deX1).

Donc Donc

F_Z(t) =

0 si t <0

1−e^−nλt si t≥0.

Par cons´equent Z suit une loi exponentielle de param`etrenλ.

(5)

Exercice 10. 1. SoitXune variable aléatoire qui suit une loi binomialeB(n, p) de paramètres n∈N^∗ et p∈[0,1]. Calculer la fonction caractéristique ϕX deX.

2. Soit (Xn)_n∈N^∗ une suite de variables aléatoires réelles indépendantes et de même loi de Bernoulli de paramètrep∈]0,1[. On poseS0=T0= 0 et, pour toutn≥1,

Sn =

n

X

k=1

Xk, Tn=n−Sn. (a) Pourn≥1, pr´eciser la loi des variables al´eatoiresSn etTn.

(b) Pourn≥1, calculer P(Sn= 0, Tn= 0). Sn et Tn sont-elles ind´ependantes?

3. SoitN une variable aléatoire indépendante des variables aléatoires (Xn)_n≥1suivant la loi de Poisson de paramètreλ >0. On pose

∀ω∈Ω, U(ω) =S_N_(ω)(ω), V(ω) =T_N_(ω)(ω) =N(ω)−U(ω).

(a) Justifier l’´egalit´e, pour toutk∈N, P(U =k) =X

n≥k

P(Sn=k, N=n).

(b) En d´eduire queU suit la loi de Poisson de param`etreλp.

(c) D´eterminer la loi de 1−X1 puis, pr´eciser la loi deV .

(d) Montrer que, pour (k, l)∈N², P(U =k, V =l) =P(N =k+l)P(Sk+l=k).

(e) En déduire que les variables aléatoiresU etV sont indépendantes.

Solution 3. 1. Calculons la fonction caractéristiqueϕ_X de la variable aléatoireX qui suit la loi binomiale B(n, p) de paramètresn∈N^∗ et p∈[0,1], Comme PX =P

k≥0P(X =k)δ_k, par la formule de binˆome, on a

∀t∈R, ϕX(t) = E(e^itX) = Z

R

e^it.xdP^X(x)

=

+∞

X

n=0

e^itkP(X =k) =

+∞

X

k=0

e^itkC_n^kp^k(1−p)^n−k

=

+∞

X

k=0

e^itkP(X=k) =

+∞

X

k=0

C_n^k(e^itp)^k(1−p)^n−k

= (e^itp+ 1−p)ⁿ.

2. (a) (Xn)_n∈N^∗ est une suite de variables aléatoires réelles indépendantes et de même loi de Bernoulli de paramètrep∈]0,1[ alors la sommeSn suit la loi binomialeB(n, p),Tn est aussi la somme des variables aléatoires (1−Xk)k=1,..,n, 1−Xk est une v.a qui suit une loi de Bernoulli de paramètre 1−psuit la loi binomialeB(n,1−p).

(b) On a

P(Sn = 0, Tn = 0) =P(Sn= 0, n−Sn = 0) =P(Sn= 0, Sn=n) = 0.

Or

P(Sn= 0)P(Tn= 0) = (1−p)ⁿpⁿ>0, alors

P(S_n= 0, T_n= 0)6=P(Sn= 0)P(T_n= 0).

D’o`u S_n etT_n ne sont pas ind´ependantes.

(6)

3. (a) PuisqueN est `a valeurs enti`eres, pour toutk∈N, P(U =k) = P

(U =k)∩Ω

= P

(U =k)∩h

∪^+∞_n=0(N =n)i

= P

∪^+∞_n=0h

(U =k)∩(N =n)i

=

+∞

X

n=0

P

(U =k)∩(N =n)

=

+∞

X

n=0

P

(Sn =k)∩(N =n)

=

k−1

X

n=0

P

(Sn =k)∩(N =n) +

+∞

X

n=k

P

(Sn=k)∩(N=n)

=

+∞

X

n=k

P

(S_n=k)∩(N =n) ,

où on a utilisé dans la dernière ligne le fait qque S_n est à valeurs dans {0,· · ·, n} ⇒ k∈ {0,· · · , n} et doncP(S_n=k, N =n) = 0 sin < k

(b) Puisque les v.a. N et (X_n)_n∈_N^∗ sont indépendantes, S_n et N le sont également. Par conséquent,

P(U =k) =

+∞

X

n=k

P

(Sn =k)∩(N =n)

=

+∞

X

n=k

P(S_n =k)×P(N=n)

=

+∞

X

n=k

C_n^kp^k(1−p)^n−ke^−λλⁿ n!

= e^−λp^k

+∞

X

n=k

n!

(n−k)!k!(1−p)^n−kλⁿ n!

= e^−λp^kλ^k k!

+∞

X

n=k

(1−p)^n−kλ^n−k (n−k)!

= e^−λp^kλ^k k!

+∞

X

q=0

(λ(1−p))^q q!

= e^−λp^kλ^k k! e^λ(1−p)

= (λp)^ke^−λp k!

alorsU suit la loi de PoissonP(λp) de param`etreλp.

(c) 1−X₁ suit la loi B(1−p) ; V se comporte commeU au changement de ppar 1−p.

Donc,V suit la loi de Poisson P(λ(1−p)).

(d) Montrons que, pour (k, l)∈N², P(U =k, V =l) =P(N =k+l)P(Sk+l =k).On a,

(7)

puisque Sn etN sont 2 variables al´eatoires ind´ependantes P(U =k, V =l) = P(SN =k, N−SN =l)

= P(SN =k, N=k+l)

= P(S_k+l=k, N=k+l)

= P(Sk+l=k)P(N=k+l) (e) Les variables al´eatoiresU et V sont ind´ependantes :

P(U =k, V =l) = P(SN =k, N−SN =l)

= P(SN =k, N =k+l)

= P(S_k+l=k, N =k+l)

= P(Sk+l=k)P(N =k+l)

= C_k+l^k p^k(1−p)^lλ^k+le^−λ (k+l)!

= (k+l)!

l!k! p^k(1−p)^lλ^k+le^−λ (k+l)!

= (λp)^ke^−λp k!

((1−p)λ)^le^−λ(1−p) l!

= P(U =k)P(V =l).

Les variables al´eatoiresU et V sont donc ind´ependantes

Exercice 11. Soit (Xn)n∈N^∗ une suite de variables aléatoires indépendantes et de même loi de PoissonP(λ),λ >0. On rappelle que,P[X =k] =e^−λλ^k

k!, pour toutk∈N. 1. Calculer la fonction caract´eristiqueϕX₁ deX1.

2. En d´eduire la loi de la sommeS=X1+X2+...+Xn.

Exercice 12. Soit (Xn)n≥1 une suite de variables aléatoires indépendantes identiquement dis- tribuées suivant la loi normaleN(0,1) etN une variable aléatoire à valeurs dansN^∗indépendante des variables aléatoires (X_n)_n≥1. On note, pourn≥1,

Y_n= 1

√n

n

X

k=1

X_k, Y = 1

√ N

N

X

k=1

X_k.

1. Calculer, pour toutn≥1, la fonction caract´eristique deYn et pr´eciser sa loi.

2. D´eterminer la fonction caract´eristique de Y ainsi que sa loi.