Informatique & Mathématiques Appliquées Systèmes Cyper-Physiques Partie Système commandé Chapitre 1 : Introduction, définition

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Informatique & Math´ ematiques Appliqu´ ees

Syst` emes Cyper-Physiques Partie Syst` eme command´ e Chapitre 1 : Introduction, d´ efinition

J. Gergaud

24 mars 2015

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Clepsydre (Ct´ esibios d’Alexandrie en -270)

Figure:Clepsydre (Ct´esibios d’Alexandrie en -270).

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Ann´ ees 800 – 1200 : ing´ enieurs Arabes (Al-Jazari, ...)

I Régulateur à flotteur pour des horloges à eau ;

I La pompe aspirante `a double effet automatique ;

I ...

I Livre de la connaissance des procédés mécaniques vers 1205.

Des copies se trouvent

I `a Topkapi `a Istanbul

I au Mus´ee des Beaux-Arts `a Boston

I au mus´ee du Louvre `a Paris

I `a la Biblioth`eque d’Oxford Figure:Manuscrit d’Al-Jazari, vers 1205.

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Ann´ ees 1600 – 1800 : pr´ e-r´ evolution industrielle

I R´egulation de la temp´erature ;

I Moulin `a vent ;

I Soupape de s´ecurit´e de Papin ;

I Régulateur à boules de James Watt pour réguler la vitesse de rotation d’une machine à vapeur.

Figure:Boulton & Watt engine of 1788.

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Steam engine in action.gif

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1800 – 1960 : formalisme math´ ematique et d´ ebut de l’informatique

I ´equations diff´erentielles ordinaires

I stabilit´e

I contre r´eaction (feedback)

I Servom´ecanismes dans le domaine fr´equentiel.

I Analyse stochastique (Kolmogorov, Wiener, ...), th´eorie des processus stochastiques.

I Th´eorie de l’information de Shannon.

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1960 – → : p´ eriode moderne, d´ eveloppement de l’industrie a´ eronautique et spatiale, d´ eveloppement des

math´ ematiques et de l’informatique

I Th´eorie de la commande non lin´eaire.

I Th´eorie de la commande optimale ( Bellman, Kalman, Pontyagin, ...).

I Contrôlabilié, observabilité.

I Syst`emes embarqu´ees

I Commande robustre

I ...

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Pendule simple contrˆ ol´ e, version 1

Si ¨α(t) désigne la dérivée seconde de l’angleα par rapport au tempst, l’évolution du mouvement est

ml²α(t) +¨ mlgsin(α(t)) =u(t),

l y mg α

u

Figure:Pendule simple contrˆol´e.

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Pendule simple contrˆ ol´ e, version 1, ´ equation d’´ etat

On posex(t) = (α(t),α(t))˙











˙

x1(t) =x2(t)

˙

x2(t) =−^g_l sin(x1(t)) + ^u(t)_ml2

x₁(0) =x_0,1 =α₀ x₂(0) =x_0,2 = ˙α₀ Cette ´equation s’´ecrit

x(t) =˙ f(x(t),u(t)) x(0) =x₀,

avec

f :R²×R −→ R² (z,v) 7−→ f(z,v) =

z₂

−^g_l sin(z1) +_ml^v2

.

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Pendule simple contrˆ ol´ e, version 1, variables de sortie

On peut en pratique avoir accès à différentes variables de sortie (mesurées) :

I y(t) =α(t) =x₁(t) ;

I y(t) =x(t) = (α(t),α(t)) ;˙

I y(t) =lsin(α(t)) = la distance entre la masse et l’axe des ordonn´ees.

On ´ecrira ces variables de sortie sous la formey(t) =g(x(t),u(t)).

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Pendule simple contrˆ ol´ e, version 2

En pratique il y a des frottements. Une meilleurs mod´elisation su syst`eme est donc

ml²α(t) +¨ k

mα(t) +˙ mlgsin(α(t)) =u(t).

Le syst`eme s’´ecrit alors











˙

x₁(t) =x₂(t)

˙

x₂(t) =−_m^kx₂(t)−^g_l sin(x₁(t)) + ^u(t)_ml2

x1(0) =x0,1=α0

x2(0) =x0,2= ˙α0

L’applicationf s’´ecrit alors f :R²×R −→ R²

(x,u) 7−→ f(x,u) =

x2

−_m^kx₂−^g_l sin(x₁) +_ml^u2

.

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Pendule invers´ e contrˆ ol´ e, version 1

l mg

α

u

Figure:Pendule inversé contrôlé, version 1.

Les équations qui régissent le système sont alors











˙

x1(t) =x2(t)

˙

x2(t) = ^g_l sin(x1(t))−^u(t)_l₂ x₁(0) =x_0,1 =α₀

x2(0) =x0,2 = ˙α0

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Robot Lego segway

Nous décrivons ici le modèle du Robot Lego qui sera utilisé en TP.

Figure:Robot Lego segway.

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Exemples industriels

Voici d’autres exemples plus complexes :

I pilote automatique d’un avion ;

I contrˆole des gouvernes d’un avion ;

I contrˆole de freinage ABS ;

I contrˆole de vol d’un drone ;

I pompe `a insuline.

I ...

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Syst` eme command´ e

w(t)

Contrˆoleur u(t)

Syst`eme y(t)

Figure:Schéma fonctionnel simple d’un système en boucle fermée.

I Etat´ x(t)∈Rⁿ

I Commande ou contrˆole ou variable d’entr´eeu(t)∈R^m

I Variable de sortie ou mesur´eey(t)∈R^p

I Consigne w(t)∈R

I Equation d’´´ etat ˙x =f(t,x(t),u(t))

I Equation de sortie´ y(t) =g(t,x(t),u(t)).

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Cas autonome

Le syst`eme est autonome lorsque les fonctionsf etg ne d´ependent pas du tempst.

1.

f :Rⁿ×R^m −→ Rⁿ (x,u) 7−→ f(x,u).

2.

g :Rⁿ×R^m −→ R^p (x,u) 7−→ f(x,u).

3. On prendra alors l’instant initial t0= 0.

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Boucle ouverte

u(t) Syst`eme y(t)

Figure: Sch´ema fonctionnel simple d’un syst`eme en boucle ouverte.

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Sch´ ema fonctionnel g´ en´ eral

d(t) est une perturbation ext´erieure du syst`eme

w(t)

Contrˆoleur u(t)

Actionneur c(t)

Syst`eme d(t)

s(t)

Capteurs y(t)

Figure: Schéma fonctionnel complet d’un système en boucle fermée.

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Plan, objectifs

w(t)

Contrˆoleur u(t)

Actionneur c(t)

Syst`eme d(t)

s(t)

Capteurs y(t)

Figure: Schéma fonctionnel complet d’un système en boucle fermée.

I Etude math´´ ematique du système contrôlé

I Étude du système non contrôlé : point d’équilibre d’une edo (rappels pour certains) I Contrôlabilité, observabilité

I Calcul du contrˆole

I Simulation num´erique

I Matlab I Simulink→code C

I Capteurs

I Code embarqu´e sur le robot I Gestion du temps r´eel

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Questions math´ ematiques

D´efinition (Point d’´equilibre)

On appelle point d’´equilibre d’un syst`eme un point(x_e,u_e) tel que f(xe,ue) = 0.

Exemple

Pour le pendule simple on a pour u_e = 0deux points d’´equilibre : x₀ = (0,0)et x_e = (π,0).

Une fois le mod`ele bien d´efini, plusieurs questions se posent :

I Sur l’analyse et le comportement dynamique du syst`eme

I Commandabilité ou contrôlabilité du système. Existe-t-il un contrôleu(.) qui amène le système d’un état initial donné x(0) à un état finalxf en un tempst =tf fixé ?

I Observabilité. Connaissant la variable de sortiey(t) et le contrôleu(t) pour toutt∈[0, τu[, peut-on déterminer l’état x(t) pour toutt∈[0, τu[, ou de manière équivalentex(0).

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Questions math´ ematiques

I Sur la synth`ese des lois de contrˆole

I Planification de trajectoires. Si le système est contrôlable, comment trouver un contrôle qui amène l’état dex(0) à xf en un tempstf fixé ?

I Stabilisation. Comment construire un contrôle qui stabilise asympotiquement le système autour d’un point d’équilibrexe, c’est-à-dire tel que, pour toute condition initiale x(0), on ait

t→+∞lim x(t) =xe?

I Synthèse d’observateurs. En cas de réponse positive à la question de l’observabilité, comment déterminer l’état x(·) à partir de la connaissance de y(.) et de u(.) ?

I Contrôle optimal. Trouver le meilleur contrôle qui amène l’état dex(0) àxf en un temps tf fixé ou libre.