4 Pythagore
Théorème : Dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres cotés.
Dit autrement, dans un triangle ABC rectangle en C,
Méthode pour utiliser le théorème :
Le théorème de Pythagore sert à calculer une longueur. Il faut déjà dire que le triangle est rectangle et en quoi il est rectangle. Ensuite, il faut dire qu’on utilise le théorème de Pythagore et écrire la relation de Pythagore (avec les lettres).
Ensuite, il faut remplacer par les valeurs que l’on connaît, et calculer la longueur que l’on cherchait.
Utilisation de Pythagore pour calculer une longueur.
Exemple 1 (calcul de l’hypoténuse) : Soit ABC un triangle rectangle en C tel que AC=6cm et BC=4cm. Calculer AB.
Je sais que le triangle ABC est rectangle en C.
D’après le théorème de Pythagore, Donc
Exemple 2 (calcul d’un autre coté que l’hypoténuse) : Soit ABC un triangle rectangle en C tel que AC=5cm et AB=8cm. Calculer BC.
Je sais que le triangle ABC est rectangle en C.
D’après le théorème de Pythagore, Donc
Réciproque du théorème : Dans un triangle, si le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres cotés, alors le triangle est rectangle.
Dit autrement, si alors le triangle ABC est rectangle en C Méthode pour utiliser la réciproque du théorème :
La réciproque du théorème sert à montrer qu’un triangle est rectangle, lorsqu’on connaît les trois longueurs. Il faut déjà repérer quel est le grand côté : ce sera l’hypoténuse si le triangle est rectangle. On séparément les deux morceaux (membres) de l’égalité. Si on trouve la même chose, alors la relation est égale et donc le triangle est rectangle.
Utilisation de la réciproque de Pythagore
Exemple 3 : Soit ABC un triangle tel que AB=8, AC=10 et BC=6. Le triangle est-il rectangle ? On repère que le grand côté est AC.
D’une part D’autre part,
Donc et donc, d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle est rectangle en B
