Théorème de Pythagore

(1)

Théorème de Pythagore

Chapitre : 4

Fait par : Ahmed barahna

(2)

Activité 1 :

ABC est un triangle rectangle en A tels que : AC = 4cm et AB = 3cm et BC = 5cm

1) Tracer la figure

2) Déterminer la nature du triangle ABC 3) comparer 𝐵𝐶² et 𝐴𝐵² + 𝐴𝐶²

25 5²

2



 BC 25

4 3² ²

2 2







 AB AC

𝑩𝑪^𝟐 = 𝑨𝑩^𝟐+ 𝑨𝑪^𝟐

Solution :

1)

2) ABC est un triangle rectangle en A

(3)

Théorème 1:

Si un triangle est rectangle alors le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.

Théorème de Pythagore

autrement dit:

Si ABC un triangle est rectangle en A alors : 𝑩𝑪^𝟐 = 𝑨𝑩^𝟐 + 𝑨𝑪^𝟐 Exemple 1

hypoténuse

(4)

On a : ABC est un triangle rectangle en A Donc selon le théorème de Pythagore :

𝐵𝐶² = 𝐴𝐵² + 𝐴𝐶² = 3 ² + 4 ²

= 9 + 16 𝐵𝐶² = 25

𝐵𝐶² = 5² D’où : 𝐵𝐶 = 5

Exemple 2

 Calculons la longueur BC :

Exemple 3

 Calculons AB :

(5)

𝐵𝐶² = 𝐴𝐵² + 𝐴𝐶² 𝐴𝐶² = 𝐵𝐶² − 𝐴𝐵² 𝐴𝐶² = 10 ² − 6 ²

= 100 − 36 𝐴𝐶² = 64 𝐴𝐶² = 8²

d’où : 𝐴𝐶 = 8

Exemple 4

 L’utilisation de calculatrice scientifique

 Calculons BC

(6)

𝐵𝐶² = 𝐴𝐵² + 𝐴𝐶² = 3 ² + 6 ²

= 9 + 36 𝐵𝐶² = 45 BC = 45

D’où : 𝐵𝐶 ≈ 6,7

𝑥 4 5 =

(7)

Remarque 1

Si ABC un triangle est rectangle en A alors : 𝑩𝑪^𝟐 = 𝑨𝑩^𝟐 + 𝑨𝑪^𝟐 𝑨𝑩^𝟐 = 𝑩𝑪^𝟐 − 𝑨𝑪^𝟐 𝑨𝑪^𝟐 = 𝑩𝑪^𝟐 − 𝑨𝑩^𝟐

calcul trigonométrique Le cosinus

Chapitre : 5

(8)

Activité 2:

 ABC est un triangle rectangle en A

 On prolonge le coté 𝐴𝐶 trois fois tel que ABC est un triangle rectangle en A

(regarde la figure ci-dessus )

(9)

1) Compléter le tableau suivant :

Cas 1 2 3

AC BC

𝐴𝐶 𝐵𝐶

Solution :

Cas 1 2 3

AC 4 12 24

BC 5 15 30

𝐴𝐶 𝐵𝐶

4 5

12 15 = 4

5

24 30 = 4

5

(10)

𝐴𝐶

𝐵𝐶 = 4

5 = 12

15 = 24 30

 Le rapport _𝐵𝐶^𝐴𝐶 est appelé le cosinus d’angle aigu 𝐴𝐶𝐵

Définition 1 :

Dans un triangle rectangle,

• le cosinus d'un angle aigu est le quotient de la longueur du côté adjacent à cet angle par la longueur de l'hypoténuse

la longueur de coté adjacent à l’angle α Cos α =

longueur de l’ hypoténuse

l’ hypoténuse

𝒍𝒆 𝒄𝒐𝒕é 𝒂𝒅𝒋𝒂𝒄𝒆𝒏𝒕 à 𝒍^′𝒂𝒏𝒈𝒍𝒆 𝑨𝑪𝑩

(11)

Exemple

ABC est un triangle rectangle en A

Calculons et

 

6 , 0 10

6 cos ˆ



 BC C AB

B A

 ^A ^B ^ˆ ^C 

cos ^cos  ^A ^C ^ˆ ^B 

 

8 , 0 10

8 cos ˆ



 BC B AC

C A

 On a : ABC est un triangle rectangle en A Donc :

(12)

• 𝑐𝑜𝑠 𝐴𝐵𝐶 = 0,6 𝐴𝐵𝐶 = 𝑐𝑜𝑠

⁻¹

0,6

≅ 53,13°

shift 𝑐𝑜𝑠⁻¹( 0 , 6) =

𝐴𝐵𝐶 =

𝐴𝐵𝐶 = 53,13°

 Calculons la valeur approchée d’angle 𝐴𝐵𝐶

(13)

Propriété 1 :

si α la mesure d’angle aigu dans un triangle rectangle alors :

Théorème de Pythagore