Correction de l’épreuve commune niveau troisième Octobre 2011
Partie numérique
Exercice 1
Exercice 2
Exercice 3
Un nombre est dit rationnel, si on peut le mettre sous la forme suivante :
Un nombre est dit décimal, si on peut le mettre sous la forme suivante :
Puisque , et que . On en déduit que tout nombre décimal est un nombre rationnel.
Exemple :
Un nombre rationnel peut ne pas être décimal.
Exemple :
Sinon, il existe entier relatif et entier naturel tels que :
On en déduit que divise absurde car la somme des chiffres du nombre est égale à n’est pas un multiple de
Conclusion :
Exercice 4
Calcul du à l’aide de l’algorithme d’Euclide.
Dividende diviseur Reste
1789 1515 274
1515 274 145
274 145 129
145 129 16
129 16 1
16 1 0
Dans l’algorithme d’Euclide le est le dernier reste non nul, donc Les deux nombres sont premiers entre eux.
Partie géométrie
Exercice 1
Construction :
1- Calcul de BC :
Remarque :
Condition nécessaire :
On ne peut utiliser le théorème de Pythagore que si le triangle est rectangle.
Est un triangle rectangle en .
Le dernier reste non nul
D’après le théorème de Pythagore.
« La longueur de l’hypoténuse au carré est égale à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés. »
Application numérique :
2- Calcul d’aire :
Soit : L’aire du triangle .
Application numérique :
3- Calcul de :
Expression de l’aire en fonction de
Dans cette question, on prend comme base le côté et pour hauteur la droite
On en déduit que :
Exercice 2
1- Le triangle est rectangle en L, d’après le théorème de Pythagore, on a :
Application numérique :
Le triangle est rectangle en L, d’après le théorème de Pythagore, on a :
Application numérique :
2- Le triangle est rectangle en
Pour utiliser la réciproque du théorème de Pythagore, on a besoin des longueurs des trois côtés de ce triangle.
La longueur de
La longueur de D’après la question 1 :
La longueur de
Donc
Le côté le plus long est . D’une part :
D’autre part :
On constate que .
Le carré de la longueur du côté le plus long est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.
D’après la réciproque du théorème de Pythagore ce triangle est rectangle d’hypoténuse le côté le plus long.
Problème
I- Première partie :
1- Peut-on répondre favorablement aux souhaits des trois enfants.
Est la fraction du gâteau souhaitée par les trois enfants.
Donc il est possible de répondre favorablement aux souhaits des trois enfants.
2- Le pourcentage du gâteau qui reste.
Après avoir servi les trois enfants la fraction du gâteau qui restera sera :
Quantité
Pourcentage
Il s’agit d’un tableau de proportionnalité.
Donc
3- La masse totale du gâteau :
On utilise une deuxième fois un tableau de proportionnalité.
Fraction du gâteau
Masse en grammes
II- Deuxième partie :
« Le reste de la division Euclidienne de 3003 par 143 est zéro » 1- Traduction de la phrase ci-dessus par une égalité mathématique.
2- Deux phrases équivalentes :
III- Troisième partie :
1- Le plus grand nombre de bouquets identiques :
Le nombre de bouquets identiques est un diviseur des deux nombres.
Le plus grand nombre de bouquets identiques est donc le .
On utilise l’algorithme d’Euclide pour déterminer le
Dividende diviseur Reste
3003 286 143
286 143 0
On peut donc former au maximum 143 bouquets « identiques ».
2- La composition de chaque bouquet :
Chaque bouquet contiendra 21 brins de muguet et 2 roses.
Le dernier reste non nul
