Correction de l’épreuve commune niveau troisième Octobre 2011
Partie numérique
Exercice 1
A = 12 5 − 3
5 × 7
9 B = ( 2 3 −3 ) ÷ 1 9 C = 1 + 1
3 − 1 2 2+ 3
4 + 1 3
D= 5 7 − 2
7 × ( 1− 3 4 )
¿
12
5 − 3 × 7
5 × 3 ×3 = ( 2 3 − 9 3 ) ÷ 1 9 =
6 6 + 2
6 − 3 6 24
12 + 9 12 + 4
12
= 5 7 − 2
7 × ( 4 4 − 3 4 )
¿
12 5 − 7
5 × 3 = ( − 3 7 ) ÷ 1 9 = 5 6 37 12
= 5 7 − 2
7 × 1 4
¿
12 ×3 5 × 3 − 7
5 ×3 = −7
3 × 9= 5 6 × 12
37 = 5
7 − 2 ×1 7 × 2 × 2
¿
36−7
15 = −7 × 3 × 3
3 = 5 × 6 ×2 6 × 37 = 5
7 − 1 14
¿
29
15 =−21= 10 37 = 10
14 − 1 14 = 9
14
Exercice 2
B = 0,4 × 10
3×1500 × 10
−724 ×10
15× ( 10
4)
−2=25 ×10
−4−7
¿
0,4× 1500
24 × 10
3× 10
−710
15× ( 10
4)
−2=25 ×10
−11
¿
4 ×6 × 25
4 × 6 × 10
3+(−7)10
15×10
4×(−2)=2,5 × 10
1× 10
−11¿
25 × 10
3−710
15×10
−8B=2,5 × 10
−10¿
25 × 10
−410
15+(−8)¿
25 × 10
−410
7C =0,0012 × 10
12¿1,2×10−3×1012
¿
1,2× 10
−3+12¿1,2×109
Exercice 3
Un nombre r est dit rationnel, si on peut le mettre sous la forme suivante :
r= p
q avec p :un nombre entier relatif et q : un nombre entier relatif
diff é rent de z é ro . Un nombre d est dit décimal, si on peut le mettre sous la forme suivante :
d= a
10
navec a :un entier relatif et n un entier naturel .
Puisque a est un entier relatif , et que
10
nest un entier différent de zéro
. On en déduit que tout nombre décimal est un nombre rationnel.Exemple :
2,1054 = 21054
10
4est un nombre décimal , il est aussi rationnel.
Un nombre rationnel peut ne pas être décimal.
Exemple :
2
3 n
'est pas un nombre décimal .
Sinon, il existe
a
entier relatif etn
entier naturel tels que :Le dernier reste non nul
2
3 = a
10
ndonc 2 × 10
n=3× a
On en déduit que
3
divise 2×10n absurde car la somme des chiffres du nombre 2×10n est égale à 2 n’est pas un multiple de 3.Conclusion :
2
3 n
'estpas unnombre décimal .
Exercice 4
Calcul du PGCD
(
1515;1789)
à l’aide de l’algorithme d’Euclide.Dividende diviseur Reste
1789 1515 274
1515 274 145
274 145 129
145 129 16
129 16 1
16 1 0
Dans l’algorithme d’Euclide le
PGCD
est le dernier reste non nul, donc PGCD(
1515;1789)
=1Les deux nombres
1515 et 1789
sont premiers entre eux.Partie géométrie
Exercice 1 Construction :
1- Calcul de BC :
Remarque :
Condition nécessaire :
On ne peut utiliser le théorème de Pythagore que si le triangle est rectangle.
ABC :
Est un triangle rectangle enA
. D’après le théorème de Pythagore.
« La longueur de l’hypoténuse au carré est égale à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés. »
BC2=AB2+AC2 Application numérique :
BC
2=65
2+156
2 BC2=4225+24336BC
2=28561 BC= √ 28561
BC =169 mm
BC =16,9cm
2- Calcul d’aire :
Soit :
A
(ABC) L’aire du triangle ABC .A
(ABC)= base×hauteur
2 A
(ABC)= AB × AC
2
Application numérique :
A
(ABC)= 65 × 156
2
A
(ABC)=5 070 mm
23- Calcul de
AH
:Expression de l’aire en fonction de AH .
Dans cette question, on prend comme base le côté
: [ BC ]
et pour hauteur la droite(
AH)
.A
(ABC)= BC × AH
2 A
(ABC)= 169 × AH
2
On en déduit que :169 × AH
2 =5070
2 × 169 × AH
2 =2× 5070
169× AH=10140
169 × AH
169 = 10140 169
AH=60mm
Exercice 2
1- Le triangle
LSK
est rectangle en L, d’après le théorème de Pythagore, on a :SK
2=LK
2+ LS
2Application numérique : SK2=482+642
SK
2=6400 SK = √ 6400
SK =80 mm
Le triangle
KLM
est rectangle en L, d’après le théorème de Pythagore, on a :MK
2= LM
2+ LK
2Application numérique : 602=LM2+482
3600= LM
2+2304
3600−2304=LM2+2304−2304
1296= LM
2LM = √ 1296
LM =36 mm
2- Le triangle SKM est rectangle en K .
Pour utiliser la réciproque du théorème de Pythagore, on a besoin des longueurs des trois côtés de ce triangle.
La longueur de
[ KM ] . KM =60 mm .
La longueur de
[ SK ] .
D’après la question 1 :SK =80 mm
La longueur de
[ SM ] . L
∈[ SM ]
Donc SM=SL+LM SM=64+36
SM =100 mm
Le côté le plus long est
[ SM ]
. D’une part :SM2=1002
SM
2=10 000
D’autre part :
KS2+KM2=602+802 KS2+KM2=3 600+6 400 KS2+KM2=10 000 On constate que SM2=KM2+KS2 .
Le carré de la longueur du côté le plus long est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.
D’après la réciproque du théorème de Pythagore ce triangle est rectangle d’hypoténuse le côté le plus long.
Problème
I- Première partie :
1- Peut-on répondre favorablement aux souhaits des trois enfants.
3 7 + 2
5 + 1
7 = 3 ×5+ 2×7 +1× 5
35 = 15+ 14+5 35 = 34
35
Est la fraction du gâteau souhaitée par les trois enfants.34 35 < 35
35
Donc il est possible de répondre favorablement aux souhaits des trois enfants.
2- Le pourcentage du gâteau qui reste.
Après avoir servi les trois enfants la fraction du gâteau qui restera sera :
35
35 − 34 35 = 1
35
Quantité 35 1
Pourcentag
e 100 x
Il s’agit d’un tableau de proportionnalité.
100 35 = x
1
Donc 35× x=100×1
x= 100
35
x≅2,85 %3- La masse totale du gâteau :
On utilise une deuxième fois un tableau de proportionnalité.
Fraction du gâteau
3
7 1
Masse en grammes
315 x
3
7 × x=1 ×315 7
3 × 3
7 × x= 7
3 × 1 × 315 x= 7× 315
3 = 7× 3 × 105 3
x=735 g
Le dernier reste non nul II- Deuxième partie :
« Le reste de la division Euclidienne de 3003 par 143 est zéro » 1- Traduction de la phrase ci-dessus par une égalité mathématique.
3003=143× q
2- Deux phrases équivalentes :
3003 est un multiple de 143.
143est un diviseur de3003 III- Troisième partie :
1- Le plus grand nombre de bouquets identiques :
Le nombre de bouquets identiques est un diviseur des deux nombres.
Le plus grand nombre de bouquets identiques est donc le PGCD
(
3003;286)
.On utilise l’algorithme d’Euclide pour déterminer le
PGCD( 3003 ; 286)
Dividende diviseur Reste
3003 286 143
286 143 0
On peut donc former au maximum 143 bouquets « identiques ».
2- La composition de chaque bouquet : 3003÷143=21
286 ÷143=2
Chaque bouquet contiendra 21 brins de muguet et 2 roses.
