Co héma tique es

(1)

E S

O O 1 2 3

Co

L

Exercice 1 Sur la figu

On sait qu On donne 1) Calcule 2) Calcule 3) Calcule

C

ontrô

Le soin et l

1

ure ci-cont

e AB = 25 : 24² =57 er AD er CD er le périm

COLLEG

Classes d

le com

L

la présentat

tre, [AD] e

5 cm ; AC 76, 25² =6

mètre du tr

GE FEN

de Quatrièm

mmu

Jeudi

La calcula

tion de la c

C

Géo

est la haut

C = 26 cm 625 et 26

riangle AB

NELON

me – Ann

n de M

i 6 décemb

atrice n’e

copie seron

CORRI

omét

teur issue

et BD = 7

2 =676

BC

N SAINT

ée scolair

Math

bre 2012

est pas aut

t pris en co

GE

trie

de A du tr

7 cm

TE-MAR

e 2012-20

héma

torisée.

ompte dans

riangle AB

RIE

013

tique

s la note fin

BC.

es

nale.

(2)

Collège Fénelon Sainte-Marie Année scolaire 2012-2013

1) Données

Comme [AD] est la hauteur issue du sommet A du triangle ABC, le triangle ABD est rectangle en D.

AB = 25 cm et BD = 7 cm

Propriété : théorème de Pythagore : dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.

Conclusion

2 2 2

AB =AD +BD soit 25² =AD²+7², d’où : AD² =25²−7² =625 49 576− = . Comme AD est une longueur, on a : AD= 576.

D’après l’énoncé, 24² =576 donc AD=24.

AD mesure 24 cm.

2) Données

Comme [AD] est la hauteur issue du sommet A du triangle ABC, le triangle ACD est rectangle en D.

AC = 26 cm et AD = 24 cm

Propriété : théorème de Pythagore.

Conclusion

2 2 2

AC =AD +CD soit 26²=24²+CD², d’où : CD²=26²−24² =676 576 100− = . Comme CD est une longueur, on a : CD= 100=10.

CD mesure 10 cm.

3) Le périmètre du triangle ABC est donné par : AB BC CA+ + . Comme D est un point du segment [BC], on a : BC=BD DC+ Le périmètre est donc donné par : AB BD DC CA+ + +

On a : AB = 25 cm, AC = 26 cm, BD = 7 cm et CD = 10 cm.

Donc : AB BD DC CA+ + + =25 7 10 26+ + + =68.

Le périmètre du triangle ABC vaut 68 cm.

4) L’aire du triangle ABC peut être calculée comme suit : BC AD 2

× . Comme AD = 24 cm et BC=BD DC+ = + =7 10 17, on a :

BC AD 17 24

17 12 204

2 2

× = × = × =

L’aire du triangle ABC vaut 204 cm².

(3)

Exercice 2

On considère un triangle ERG tel que ER=

¹

3

m ; EG =

¹

4

m et RG =

⁵

12

m Le triangle ERG est il rectangle ?

On a : 1 4

ER= =3 12, 1 3

EG= =4 12 et 5 RG=12.

Dans le triangle ERG, le côté RG⎡⎣ ⎤⎦ est donc le plus long côté.

On va donc comparer RG² et ER²+EG². On a, d’une part :

2

2 5 5 5 5 5 25

12 12 12 12 12 144

RG =^⎛⎜⎝ ^⎞⎟⎠ = × = ^×× = . D’autre part :

2 2

2 2 4 3 4 4 3 3 4 4 3 3 16 9 25

12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 144 144

ER +EG =^⎛⎜⎝ ^⎞⎟⎠ +^⎛⎜⎝ ^⎞⎟⎠ = × + × = ^×× + ^×× = ⁺ = . On a donc : RG²=ER²+EG².

On en déduit, d’après la réciproque du théorème de Pythagore, que le triangle ERG est rectangle en E.

(4)

Collège Fénelon Sainte-Marie Année scolaire 2012-2013

Calcul

Exercice 1 Calculer :

( ) ( ) ( ) ( )

22 2 13 15 5 3,2 6 2,3 7,7

A = − − × − × − B = − × − + − −

3 9

21 108 5

4 16

32 49 8

C = × D = + − ⎛ ⎞ ⎛ ÷ − ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

7 8 /15 19 5 2 / 3 2 E = + −

Exercice 2

On donne

¹

a=3

,

³

b=−5

et

c= −2

. Calculer :

A a c

= −b

B ^{a b} c

= +

a C b

= c b

D a

= −c

E=3a− −5b c²

( )

1

1 5 5 5 18 5 18 13

3 2 2 2

3 3 3 9 9 9 9 9

5 A a c

b

− − − +

= − = − − − = ×− + = + = + = =

( )

5 9

1 3 5 9 4

4 1 2

3 5 15 15 15 15

2 2 2 2 15 2

B a b c

− − + − −

+ +

+ − −

= = = = = = × =

− − − − − ¹⁵^{× −}

( )

^×²² ⁼ ¹⁵²

( ) ( )

1

33 1 5 1 5 5

3 3 5 1 5 1 5

5 3 3 9

2 2 2 2 9 2 9 2 18

a C b

c

− ×− × −× − ×

= = = = = = × = =

− − − − − − − × −

( )

¹⁰³

3

1 5 1 3 1 1 3 1 1 1 3 10 9 1

3 2 3 5 2 3 5 2 3 3 10 30 30 30

D a b c

−

− − − ×

= − = − = − × = − = − = − = − =

− − × −

( )

²

( )

2 1 3

3 5 3 5 2 1 3 4 1 3 4 8

3 5

E= a− − = × − ×b c − − − = − − − = + + =

(5)

Exercice 3

Déterminer le signe, en justifiant rigoureusement, puis calculer astucieusement

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 1 5 5 4

1 4 5 0, 25

F G

= × − × × − ×

= − × − × − × −

Exercice 4

Elvis s'est connecté à Internet. Il a consacré 1

3 de son temps de connexion à lire ses mails, 1

10 à réviser des exercices de mathématiques et 1

4 à écrire des mails. Le reste du temps, il a effectué une recherche sur la musique des années 50.

Quelle fraction de son temps de connexion Elvis a t'il consacré à sa recherche sur la musique ?

La fraction totale du temps de connexion consacrée par Elvis à lire ses mails, réviser des exercices de mathématiques et écrire des mails vaut : 1 1 1

3+ +4 10.

La fraction de son temps de connexion consacrée à la recherche sur la musique des années 50 vaut donc : 1 1 1

1 3 4 10

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

− + + , c'est-à-dire :

1 1 1 1 20 15 6 20 15 6 41 60 41 19

1 1 1

3 4 10 60 60 10 60 60 60 60

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎜ ⎟= −⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

+ + −

− + + + + = − = − = =

Elvis a consacré 19

60 de son temps de connexion à sa recherche sur la musique des années 50.