Correction du devoir de préparation sur le théorème de Pythagore

Correction du devoir de préparation sur le théorème de Pythagore Exercice n°1 ( 2 points ) :

Enoncé du théorème de Pythagore :

Si un triangle est rectangle alors le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.

Exercice n°2 ( 5 points ) :

Donner pour chaque triangle la valeur exacte de la longueur du troisième côté :

Figure de gauche :

Dans le triangle ABC, rectangle en A, on a d’après le théorème de Pythagore : BC² = AB² + AC²

Soit, d’après les données de l’énoncé : BC² = 4² + 3²

BC² = 16 + 9 BC² = 25 BC = √25 BC = 5

La longueur BC vaut 5 cm.

Figure de droite :

Dans le triangle ABC, rectangle en A, on a d’après le théorème de Pythagore : BC² = AB² + AC²

Soit, d’après les données de l’énoncé : 10² = 8² + AC ²

100 = 64 + AC ² AC² = 100 – 64 AC² = 36 AC = √36 AC = 6

La longueur AC vaut 6 cm.

Exercice n°3 ( 5 points ) :

Dans chaque cas, indiquer si le triangle est rectangle ou pas. Justifier.

Figure de gauche :

Dans le triangle ABC, le côté le plus long est [AC] avec AC = 7,5 et :

AC² = 7,5² AB² + BC² = 6² + 4,5² = 56,25 = 36 + 20,25 = 56,25

Comme AC² = AB² + BC², d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en B.

Figure de droite :

Dans le triangle DEF, le côté le plus long est [DF] avec DF = 10 et :

DF² = 10² DE² + EF² = 8² + 5² = 100 = 64 + 25 = 89

Comme DF² ≠ DE² + EF², d’après le théorème de Pythagore, le triangle DEF n’est pas rectangle.

Exercice n°4 ( 5 points ) :

Mr CRESUS possède un terrain VAGUE qu’il souhaite clôturer.

Calculer le périmètre du terrain VAGUE.

Le périmètre du pentagone VAGUE est égal à AG + GU + EU + VE + AV.

AG = 220 m d’après les données de la figure.

Calcul de GU :

Dans le triangle GKU, rectangle en K, on a d’après le théorème de Pythagore : GU² = GK² + KU²

Soit, d’après les données de l’énoncé : GU² = 140² + 60²

GU² = 19 600 + 3 600 GU ² = 23 200

GU = √23 200 GU≅ 152,3

La longueur GU mesure environ 152,3 m, valeur arrondie au dm.

Calcul de EU :

Les points H , E, U et K étant alignés dans cet ordre, on peut écrire que : EU = HK – EH – KU c’est-à-dire, d’après les données de l’énoncé :

EU = 220 – 30 – 60 EU = 190 – 60 EU = 130

La longueur EU mesure 130 m.

Calcul de EV :

Dans le triangle EHV, rectangle en H, on a d’après le théorème de Pythagore : EV² = EH² + HV²

Soit, d’après les données de l’énoncé : EV² = 30² + 70²

EV ² = 900 + 4 900 EV ² = 5 800 EV = √5 800 EV ≅ 76,2

La longueur EV mesure environ 76,2 m, valeur arrondie au dm.

Calcul de AV :

Les points H , V et A étant alignés dans cet ordre, on peut écrire que : VA = AH – HV c’est-à-dire, d’après les données de l’énoncé :

VA = 140 – 70 VA = 70

La longueur VA mesure 130 m.

On en déduit que le périmètre du terrain VAGUE est : P = AG + GU + EU + VE + AV

P = 220 + 152,3 + 130 + 76,2 + 70 P = 648,5

Le périmètre du terrain VAGUE est égal à 648,5 m, valeur arrondie au dm.

Exercice n°5 ( 3 points ) :

On souhaite aller du point A au point B en prenant la rue Olivier Messaien comme raccourci. De combien de mètres réduit-on le parcours ? Les géomètres nous confirment que les rues de Thizy et Olivier Messaien sont bien perpendiculaires.

Les distances connues sont indiquées sur le plan :

AB = 400 m et AC = 500 m.

On commence par calculer la longueur du chemin BC.

Dans le triangle ABC, rectangle en B, on a d’après le théorème de Pythagore : AC² = AB² + BC²

Soit, d’après les données de l’énoncé : 500² = 400² + BC ²

250 000 = 160 000 + BC ² BC² = 250 000 – 160 000 BC² = 90 000

BC = √90 000 BC = 300

La longueur BC vaut 300 m.

En prenant le chemin des Grands Moulins puis la rue de Thizy, on parcourt une distance égale à AC + BC c’est-à-dire 500 + 300 = 800 m.

En prenant le raccourci, on parcourt une distance égale à AB = 400 m.

En prenant le raccourci, on réduit dont le trajet de 800 – 400 = 400 m.