4 Théorème de la moyenne

Chapitre 1: Intégrale de Riemann SMA&SMI:S2

Par: Elmostafa BENDIB

Département de Mathématiques et Informatique Faculté poly-disciplinaire de Safi

Université Cadi Ayyad

Dans ce Chapitre,aetbdésignent deux nombres réels tels que a < bet toutes les fonctions sont supposés définies sur[a, b]et à valeurs réelles.

1 Intégration des fonctions en escalier

1.1 subdivision d’un segment

Définition 1. Soit[a, b]un segment deR. Une subdivision de[a, b]est une suite finie et strictement croisstante de points de[a, b]telle que :

x0 =a < x1<· · ·< xn−1 < xn=b On noteσ= (x₀ =a, x₁, ...x_n=b).

– L’ensembleS ={a, x₁...xn−1, b}est appelé l’ensemble associé à la subdivision σ.

– Les nintervalles obtenus[xi−1, x_i] i= 1, . . . n sont appelés les intervalles de la subdivision.

– Le nombre max

16i6n(xi−xi−1) est appelé le pas (on dit aussi module ou flêche) de la subdivion.

C’est la longueur du plus grand intervalle de la subdivision. On note|σ|= max

16i6n(x_i−xi−1).

Soientσ etσ⁰ deux subdivisions de[a, b]. On dit que σ⁰ est plus fine que σ si les ensemblesS etS⁰ respectivment associés àσ etσ⁰ vérifient l’inclusionS ⊂S⁰.

Définition 2. Etant donné deux subdivionsσ etσ⁰ de [a, b], la réunion de σ etσ⁰ est la subdivion σ⁰⁰ dont l’ensemble associé estS⁰⁰ =S∪S⁰.

1.2 Fonctions en escalier

Définition 3. Soit[a, b]un segment deR. Une applicationf: [a, b]→Rest dite en escalier sur[a, b]

s’il existe une subdivisionσ= (x0 =a, x1, . . . , xn=b)de [a, b]telle quef soit constante sur chacun des intervalles ouverts]xi−1, xi[ (16i6n). Une telle subdivision est dite associée àf.

Cela veut dire que f: [a, b]→ R est en escalier sur [a, b] s’il existe une subdivision σ = (x0 = a, x₁, ...x_n=b) de[a, b]et(λ₁, λ₂, . . . , λ_n)∈Rⁿ tels que

∀i∈ {1, . . . , n} ∀x∈]xi−1, x_i[, f(x) =λ_i.

On noteE([a, b])l’ensemble des applications en escalier sur [a, b]ou tout simplementE.

Proposition 1. E([a, b])est un espace vectroriel surR, pour les lois usuelles, qui vérifie les propriétés suivantes :

1. (f, g)∈ E² ⇒f g∈ E, 2. f ∈ E ⇒ |f| ∈ E,

3. (f, g)∈ E² ⇒(sup(f, g)∈ E et inf(f, g)∈ E).

1.3 Intégrale des fonctions en escalier 1 INTÉGRATION DES FONCTIONS EN ESCALIER

1.3 Intégrale des fonctions en escalier

Proposition 2. Soitf ∈ E([a, b]); et pour chaque subdivision σ= (x0 =a, x1, . . . , xn−1, xn=b) de[a, b]associée à f, posons :

I(f, σ)=

n

X

i=1

(xi−xi−1)λi,

où λ_i désigne la valeur constante def sur l’intervalle ouvert]xi−1, x_i[. AlorsI(f, σ) ne dépend que def et non du choix de la subdivisionσ associée àf.

Démonstration. Il s’agit de prouver que siσ etσ⁰ sont des subdivisions associées àf, on aI(f, σ) = I(f, σ⁰).

a) Considérons d’abord le cas où la subdivision σ⁰ est plus fine que σ. Soit S = {a, x₁...xn−1, b}

l’ensemble associé à la subdivisionσ.

i) Supposons que σ⁰ s’obtient à partir de σ par adjonction d’un seul point c∈[a, b]. Sic∈S, alorsσ⁰=σ etI(f, σ) =I(f, σ⁰).Sinonc∈[a, b]etc /∈S, il existek∈ {1, . . . , n}tel que xk−1 < c < xk. Notonsσ⁰ = (x0=a, . . . , xk−1, c, xk, . . . xn=b). L’application en escalier f est constante égale àλ_k sur]xk−1, x_k[et(c−xk−1)λ_k+ (x_k−c)λ_k= (x_k−xk−1)λ_k. On suppose que1< k < n:

I(f, σ) =

n

X

i=1

(xi−xi−1)λi

=

k−1

X

i=1

(x_i−xi−1)λ_i+ (x_k−xk−1)λ_k+

n

X

i=k+1

(x_i−xi−1)λ_i

=

k−1

X

i=1

(xi−xi−1)λi+ (c−xk−1)λk+ (xk−c)λk+

n

X

i=k+1

(xi−xi−1)λi

=I(f, σ⁰)

Sik= 1 ouk=n, par le même raisonnement, on obtientI(f, σ⁰) =I(f, σ). Ceci montre queI(f, σ) n’est pas modifié lorsqu’on ajoute un point àσ.

ii) Ces résultats s’étendent de proche en proche pour toute subdivisionσ⁰ obtenue à partir de σ par adjonction d’un nombre fini quelconque de points supplémentaires (en raisonnant par récurrence sur le nombre de points ajoutés àσ.)

b) Cas général : Soientσ etσ⁰ deux subdivisions quelconques associées à la fonction en escalier f et soit σ⁰⁰=σ∪σ⁰. La subdivisionσ⁰⁰ est plus fine que σ etσ⁰, la partiea) de la démonstration nous donne les relations :I(f, σ) =I(f, σ⁰⁰) etI(f, σ⁰) =I(f, σ⁰⁰). D’oùI(f, σ) =I(f, σ⁰).

Définition 4. Soit une fonction numérique en escalier sur l’intervale [a, b]. l’intégrale de f sur [a, b]est le nombre réel noté

Z b a

f(x)dx

défini par

Z b a

f(x)dx=

n

X

i=1

(x_i−xi−1)λ_i

2 FONCTIONS NUMÉRIQUE INTÉGRABLE (AU SENS DE RIEMANN)

où (x0 =a < x1 < . . . < xn =bdésigne une subdivion associée à f, et λi la valeur constante de f sur l’intervalle ouvert]xi−1, xi[.

Notons que l’intégrale def ne dépend que des valeurs prises parf à l’intérieur des intervalles de la subdivision, et non des valeurs prises parf aux points de la subdivision.

Exemples imoprtants :

– Sif est la fonction constante égale à 1 sur[a, b], on a Z b

a

f(x)dx=b−a.

– Une fonction qui est nulle sauf en un nombre fini de points de[a, b]est en escalier sur[a, b], et son intégrale est nulle.

Interprétation géométrique : L’intégrale d’une fonctions numérique en escalier sur un intervalle [a, b]est égale à la somme algébrique des aires des rectangles délimités par sa courbe représentative (ou son graphe), l’axe des abscisses et les deux droites d’équationsx=aetx=b.(Faire un dessin.) Propriétés 1.

i) Relation de Chasles

Soit f: [a, b] → R en escalier sur [a, b]; et soit c ∈ [a, b] (quelconque), alors f est en escalier sur chacun des intervalles[a, c]et[c, b]et on a :

Z b a

f(x)dx= Z c

a

f(x)dx+ Z b

c

f(x)dx.

ii) Linéarité

Soientf etgdeux fonctions numériques en escalier sur le même intervalle[a, b]alors quels que soient les scalairesλetµla fonction λf+µgest en escalier sur [a, b]et on a :

Z b a

(λf(x) +µg(x))dx=λ Z b

a

f(x)dx+µ Z b

a

g(x)dx.

iii) Positivité

Soitf ∈ E([a, b]).

Sif >0 sur[a, b]alors Z b

a

f(x)dx>0.

iv) Croissance

Pourf etg appartenant àE([a, b]). Sif 6g sur[a, b]alors Z b

a

f(x)dx6 Z b

a

g(x)dx.

v) Majoration

Soitf ∈ E([a, b]). Alors la fonction x7−→ |f(x)|est en escalier sur[a, b], et on a :

Z b a

f(x)dx 6

Z b a

|f(x)|dx.

En conséquence, sikest une constante réelle et si f vérifie

|f(x)|6kpour tout x∈[a, b], on a

Z b a

f(x)dx

6k(b−a).

2 Fonctions numérique intégrable (au sens de Riemann)

Définition 5. Une fonction numériquef: [a, b]→Rdéfinie sur un intervalle deRest dite intégrable, au sens de Riemann, sur[a, b]si quelque soit le nombre >0, il existe un couple(g, h)de fonctions numériques en escaliers sur[a, b]vérifiant :

g6f 6h et Z _b

a

(h−g)(x)dx6.

3 PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DE L’INTÉGRALE DE RIEMANN.

Notons que de cette définition il résulte qu’une fonction intégrable au sens de Riemann est bornée (puisque les fonctions en escaliers sont elles-mêmes bornées).

Définition 6. (de l’intégrale) Pourf: [a, b]→R on pose :

E₋(f) ={g∈ E([a, b]) :g6f}; E₊(f) ={h∈ E([a, b]) :f 6h}

A−(f) = Z b

a

g(x)dx:g∈ E₋(f)

; A+(f) =

Z b a

h(x)dx:h∈ E₊(f)

I−(f) = sup

g∈E−(f)

Z b a

g(x)dx

; I₊(f) = inf

h∈E₊(f)

Z b a

h(x)dx

Théorème 1. Soitf: [a, b]→Rune fonction numérique sur [a, b]. Alors f est intégrable si et seulement siI−(f) =I+(f).

Preuve :(cours)

Définition 7. Ce nombre est appelé l’intégrale def sur[a, b]. On le note Z b

a

f(x)dx.

Une propriété fondamentale (Intégrale d’une fonction positive)

Proposition 3. Soitf: [a, b]→R⁺ une applicationnumérique positive et intégrablesur[a, b].

Alors

Z b a

f(x)dx>0.

Principaux exemples de fonctions numériques intégrables – Les fonctions en escaliers.

– Les fonctions monotones.

– Les fonctions continues.

Proposition 4. Toute fonction numérique monotone sur un segment [a, b] de R est intégrable sur [a, b].

Preuve :(cours)

Proposition 5. Toute fonction numérique continue sur un segment [a, b] de R est intégrable sur [a, b].

Preuve :(cours)

3 Propriétés générales de l’intégrale de Riemann.

Proposition 6. Soitf une fonction intégrable sur [a, b]etc∈]a, b[, alors

f est intégrable sur[a, b]si et seulement si ses restrictions à chacun des intervalles [a, c]et[c, b]sont intégrables ; et on a alors la relation deChasles :

Z b a

f(x)dx= Z c

a

f(x)dx+ Z b

c

f(x)dx

Démonstration(cours)

Proposition 7. (Linéarité) Soientfetgdeux fonctions numériques intégrable sur le même segment [a, b]. Alors quels que soient les scalairesλetµ, la fonction λf+µg est intégrable sur[a, b]et on a

4 THÉORÈME DE LA MOYENNE

Z _b

a

(λf(x) +µg(x))dx=λ Z _b

a

f(x)dx+µ Z _b

a

g(x)dx.

L’ensemble des fonctions intégrables sur [a, b]est unR−e.v et l’applicationf 7−→

Z b a

f(x)dxest une forme linéaire définie sur cet espace.

Proposition 8. (croissance) Soient f et g deux fonctions numériques intégrable sur le même segment [a, b]telles quef 6gsur [a, b]. Alors

Z b a

f(x)dx6 Z b

a

g(x)dx.

Démonstration(exercice) : il suffit d’appliquer la proposition (3)

Remarque 3.1. Sif etg sont deux fonctions numériques intégrable sur le même segment[a, b], et si leurs valeurs ne diffèrent qu’en un nombre fini de points de[a, b], leurs intégrales sont égales.

Proposition 9. Sif est une fonction continue et positive sur[a, b], et s’il existe un c∈[a, b]tel que f(c)>0 alors

Z b a

f(x) dx >0.

Proposition 10. Soitf une fonction continue et positive sur[a, b], alors f est nulle si et seulement si

Z b a

f(x) dx= 0.

Proposition 11. Majoration :

Soit f une fonctions numérique intégrable sur [a, b]. Alors la fonction x 7−→ |f(x)| est intégrable [a, b], et on a :

Z b a

f(x)dx 6

Z b a

|f(x)|dx

En conséquence, sif vérifie |f(x)|6kpour tout x∈[a, b], on a :

Z b a

f(x)dx

6k(b−a)

Sif etg sont deux fonctions numériques intégrable sur le segment[a, b], les fonctions : sup(f, g) :x7−→sup (f(x), g(x))

inf(f, g) :x7−→inf (f(x), g(x))

sont intégrables.

4 Théorème de la moyenne

4.1 Première formule de la moyenne

Théorème et définition 1. Soitf une fonction numérique bornée sur l’intervalle[a, b]. SimetM désignent respectivement la borne inférieure et la borne supérieure def sur[a, b]; sif est intégrable sur[a, b]alors il existe α∈[m, M]tel que :

Z b a

f(x)dx=α(b−a).

Par définition le nombre 1 b−a

Z b a

f(x)dxest appelé la valeur moyenne def sur[a, b].

4.2 Généralisation de la formule de la moyenne 5 SOMMES DE RIEMANN

Formule de la moyenne pour une fonction continue

Théorème 2. Pour toute fonctionf continue sur[a, b], il existe un pointcappartenant a l’intervalle [a, b]tel que :

Z b a

f(x)dx=f(c)(b−a)

4.2 Généralisation de la formule de la moyenne

Théorème 3. Soientf etgdeux fonctions numériques integrables sur l’intervalle[a, b]. Si la fonction g garde un signe constant sur[a, b]et si m etM désignent respectivement la borne inférieure et la borne supérieure def sur[a, b]. Alors il existeα∈[m, M]tel que :

Z b a

f(x)g(x)dx=α Z b

a

g(x)dx.

Si, de plus, la fonctionf est continue sur [a, b], il existe au moins un pointsc∈[a, b]tel que Z b

a

f(x)g(x)dx=f(c) Z b

a

g(x)dx.

Remarque 4.1. En particulier, si g est constante et égale à 1, on retrouve la première formule de la moyenne.

5 Sommes de Riemann

Soit f: [a, b]→ R une fonction intégrable et soit σ = (x₀ =a, x₁, . . . , x_n = b) une subdivision du segment[a, b]; et, pour chaquei= 1,2, . . . , n,soit ξ_i un point de l’intervalle fermé[xi−1, x_i]. On appelle somme de Riemann def, relative àσ et à (ξ1, . . . , ξn)la somme :

S_σ(f, ξ₁, . . . , ξ_n) =

n

X

i=1

(x_i−xi−1)f(ξ_i)

et si l’ on af 6g alorsSσ(f, ξ1, . . . , ξn)6Sσ(g, ξ1, . . . , ξn)

Théorème 4. (convergence des sommes de Riemann) Soit f: [a, b] → R une fonction in- tégrable. Alors quelque soit > 0, il existe h > 0 tel que pour toute subdivision σ = (x0 = a, x1, . . . , xn =b) de [a, b]dont le pas |σ|est inferieur à h, et pour toute suite (ξ1, . . . , ξn) vérifiant ξ_k∈[xk−1, x_k]pourk= 1,2, . . . , n,on a

S_σ(f, ξ₁, . . . , ξ_n)− Z b

a

f(x)dx 6 Démonstration. (cours)

cas particuliers : subdivisons de façon régulière le segment[a, b]en posant∀k∈ {0,1, ...., n}, ak= a+kb−a

n . Alors, pour toutk∈ {0,1, . . . , n}: a_k−ak−1 = b−a

n ou encorea_k=a+kb−a n .

On peut encore particulariser ces sommes en choisissant les pointsξ_ksur l’une ou l’autre des extre- mités des segments[ak−1, a_k](ou plus rarement, au milieu), pour obtenir dans ces cas la proposition suivante :

6 INÉGALITÉ DE CAUCHY-SCHWARZ. INÉGALITÉ DE MINKOWSKI.

Proposition 12. Soitf: [a, b]→Rune fonction intégrable. Alors les suites b−a n

n−1

X

k=0

f(a+kb−a n )

!

n>1

et b−a n

n

X

k=1

f(a+kb−a n )

!

n>1

convergent vers Z b

a

f(x)dx. Plus précisement :

n→+∞lim b−a

n

n−1

X

k=0

f(a+kb−a

n ) = lim

n→+∞

b−a n

n

X

k=1

f(a+kb−a n ) =

Z b a

f(x)dx.

Enfin dans le cas d’une fonction continue sur [0,1], on obtient :

n→+∞lim 1 n

n−1

X

k=0

f k

n

= lim

n→+∞

1 n

n

X

k=1

f k

n

= Z 1

0

f(x)dx

Exemples.

1. Soit(un)_n>1 définie par un= 1

n+ 1+ 1

n+ 2+...+ 1

n+n. Calculons lim

n→+∞un. On a :u_n=

n

X

k=1

1 n+k =

n

X

k=1

1

n(1 + ^k_n) = 1 n

n

X

k=1

1 1 +^k_n Soitf(x) = 1

1 +x donc un= 1 n

n

X

k=1

f(k

n) (on a b−a= 1eta= 0d’oùa= 0etb= 1);f est intégrable sur[0,1] lim

n→+∞u_n= Z 1

0

f(x)dx= Z 1

0

1

1 +xdx= ln(2)

2. Soitvn= 1 n√

n

n

X

k=1

√n. On trouve : lim

n→+∞vn= 2 3.

6 Inégalité de Cauchy-Schwarz. Inégalité de Minkowski.

Proposition 13. Si f et g sont deux fonctions numériques continues sur l’intervalle [a, b], elles vérifient l’inegalité de Cauchy-Schwarz

Z b a

f(x)g(x)dx 2

6 Z b

a

(f(x))²dx Z b

a

(g(x))²dx

(1) etl’inégalité de Minkowski

Z b a

(f(x) +g(x))²dx ¹₂

6 Z b

a

(f(x))²dx ¹₂

+ Z b

a

(g(x))²dx ¹₂

(2) Preuve : Les fonctions f g, f² et g² sont des produits de fonctions intégrables sur le segment [a, b] donc sont intégrables. Pour un réelt quelconque, on pose P(t) =

Z b a

(f(x) +tg(x))² dx. Par linéarité,

P(t) = Z b

a

(f(x))² dx+ 2t Z b

a

f(x)g(x) dx+t² Z b

a

(g(x))² dx.

– Si Z b

a

(g(x))²dx6= 0alorsP(t)est un polynôme ent, de degré2. Or,P(t)est l’intégrale d’une fonction positive, donc d’après (3), P(t) est toujours positif ou nul. Cela implique que son discriminant ∆ = 4

Z b a

f(x)g(x) dx ²

−4 Z b

a

(f(x))² dx Z b

a

(g(x))² dx est négatif ou nul.

L’inégalité en découle immédiatement.

7 ETUDE DE LA FONCTION X7→

Z X A

F(T) DT

– Si Z _b

a

(g(x))²dx6= 0, alorsgest la fonction nulle. Dans ce cas les deux membres de l’inégalité(1) sont nuls et l’inégalité est triviale.

L’inégalité (1) étant acquise on a : Z b

a

(f(x) +g(x))²dx= Z b

a

(f(x))² dx+ 2 Z b

a

f(x)g(x)dx+ Z b

a

(g(x))² dx.

et compte-tenu de l’inégalité de Cauchy-Schwarz (1) on obtient : Z b

a

(f(x) +g(x))²dx6 Z b

a

(f(x))² dx+ 2 Z b

a

(f(x))²dx

1

2Z b

a

(g(x))²dx

1 2

+ Z b

a

(g(x))² dx=



 Z b

a

(f(x))²dx ¹₂

+ Z b

a

(g(x))²dx

¹₂





2

L’inégalité ainsi obtenue est équivalente à (2).

Remarques 6.1. 1. Sif etgsont continues sur [a, b], alors :

2. les inégalités (1) et (2) ne se transforment en égalités que si on a f = 0 ou s’il existe une constante reellektelle que l’on ait g(x) =kf(x) pour toutx∈[a, b].

3. Si on pose< f, g >=

Z b a

(f(x) +g(x))dxon définit unproduit scalairesur leR−e.v constitué par les fonctions numériques intégrables sur[a, b]. On pose aussikfk=

Z b a

(f(x))²dx

1 2

Les inégalités de Cauchy-Schwarz et de Minkowski s’écrivent respectivement :

|< f, g >|6kfk.kgk kf+gk6kfk+kgk

7 Etude de la fonction x 7→

Z

a

f (t) dt

7.1 Cas d’une fonction intégrable quelconque

Proposition 14. Soit f une fonction intégrable sur l’intervalle [a, b], pour tout x ∈ [a, b], f est intégrable sur[a, x], la fonction F :x→

Z x a

f(t)dt est continue sur [a, b].

Démonstration. soient u, v∈[a, b].

CalculonsF(v)−F(u) = Z v

a

f(t) dt− Z u

a

f(t)dt= Z a

u

f(t) dt+ Z v

a

f(t) dt.

D’après la relation de Chasles, On peut écrire : F(v)−F(u) =

Z v u

f(t) dt

Soitk= sup

a6x6b

|f(x)|; donc |f(x)|6kpour tout x∈[a, b]: Z v

u

f(t) dt6k|v−u|

Z v u

f(x)dx

6k|v−u|

7.2 Cas d’une fonction continue 8 EXERCICES

7.2 Cas d’une fonction continue

Théorème 5. Sifest une fonction continue sur le segment[a, b], alors la fonctionF :x→ Z x

a

f(t)dt est de classeC¹ sur[a, b]et on a pour tout x∈[a, b] F⁰(x) =f(x).

Démonstration. Fixons un réel x∈[a, b]et considérons un autre réelh >0 tel que[a, a+h[⊂[a, b], on peut alors écrire :

F(x+h)−F(x) = Z x+h

a

f(t) dt− Z x

a

f(t) dt= Z x+h

x

f(t)dt= Z x+h

x

f(x) + (f(t)−f(x))dt

de sorte que :

F(x+h)−F(x) =hf(x) + Z _x+h

x

(f(t)−f(x))dt.

Fixons ε >0. La fonction f étant continue en x, il existe un réel η >0 tel que, ∀t ∈]x−η, x+η[,

|f(t)−f(x)|6ε. En intégrant cette inégalité entrex et x+h, on obtient

Z _x+h

x

f(t)−f(x) dt 6 Z x+h

x

|f(t)−f(x)|dt6hε. Autrement dit, Z x+h

x

f(t)−f(x)dt =

h→0o(h). En reprenant notre calcul initial,F(x+h) =F(x) +hf(x) +o(h), ce qui prouve queF est dérivable enx, de plusF⁰(x) =f(x).

On af est une fonction continue sur le segment[a, b], donc la fonction F⁰ continue sur[a, b].

8 Exercices

8 EXERCICES

Travaux dirigés

Exercice 1. Soientm etndeux entiers naturels tels quem6n. Calculer l’intégrale Z _n

m

E(x)dx.

Exercice 2. Soitf: [1,4]−→Rdéfinie par :

f(x) = 1 six∈[1,2[ f(x) = 3 six∈]2,3[

f(x) =−1 six∈]3,4[ f(2) = 2, f(3) =f(4) = 0.

1. Vérifier quef est une fonction en escalier sur le segment[1,4]. Donner une subdivision assoiée àf.

2. Calculer Z 4

1

f(x)dx.

Exercice 3. Soitnun entier naturel non nul. Considérons la fonction f définie par : f(x) = p²

n² si x∈ p

n,p+ 1 n

pour tout entierp tel que06p6n−1 etf(1) = 1.

1. Montrer quef est une fonction en escalier sur le segment[0,1].

2. Calculer en fonction denl’intégrale Z 1

0

f(x)dx.

Exercice 4. Soitfune fonction numérique continue sur un intervalle fermé borné[a, b]deRetε >0.

Montrer qu’il existe des fonctions en escalierϕetψ telles queϕ6f 6ψ sur[a, b]etψ−ϕ6εsur [a, b].

Exercice 5. Soientaetbdeux nombre réels tels quea < b etf la fonction définie sur[a, b]par : f(x) =

1 six∈Q 0 sinon.

Démontrer que f n’est pas intégrable au sens de Riemann.

Exercice 6. Soit n un entier naturel non nul. Montrer que la fonction f:x −→ E 1

x

est une fonction en escalier sur le segment

1 n,1

. Calculer Z ₁

1 n

f(x)dx.

Exercice 7. Soient a et b deux nombres réels tels que a < b et f une fonction réelle définie et continue sur le segment [a, b]. On suppose que

Z b a

(f(x))²dx = 0 Démontrer que la fonction f est identiquement nulle sur[a, b]

Exercice 8. Soit f: x 7−→ R une fonction numérique continue sur un segment [a, b] (a < b).

Montrer que

Z b a

f(x)dx

= Z b

a

|f(x)|dxsi et seulement si f garde un signe constant sur[a, b]. Exercice 9. Soitf une fonction continue sur[0,1] telle que

Z 1 0

f(x)dx= 1

2.Montrer quef admet un point fixe sur[0,1].

Exercice 10. Soient a et b deux nombres réels tels que a < b et f, g deux fonctions bornées et integrables au sens de Riemann sur le segment[a, b],vérifiant la relation :

Z b a

f(x)dx 2

= Z b

a

(f(x))²dx Z b

a

(f(x))²dx

1. Démontrer qu’il existe un nombre réelk tel que Z b

a

(f(x)−kg(x))²dx= 0.

2. Que peut-on dire si de plusf etg sont continues sur le segment [a, b].