Université Paris-Dauphine 2018-2019
Cours de “Intégrale de Lebesgue et Probabilités” Septembre 2018
CHAPITRE 2 - Mesure positive, construction de l’intégrale de Lebesgue
Table des matières
1 Mesure positive 1
2 Intégrale d’une fonction étagée positive 3
3 Intégrale d’une fonction mesurable positive 6
4 Intégrale d’une fonction intégrable 9
1 Mesure positive
Définition 1.1 Soit(E,A) un espace mesurable. Une mesure µ sur (E,A) est une application µ:A →R+:= [0,∞] telle que
(i)µ(∅) = 0;
(ii) µestσ-additive : si(An)est une suite d’éléments de A deux à deux disjoints alors µ [
n∈N
An
=X
n∈N
µ(An).
On appelle “espace mesuré” la donnée d’un triplet(E,A, µ).
Exemples 1.2 1) La mesure grossière d’une tribu A définie par µ(∅) = 0 et µ(A) = +∞ pour toutA∈A\{∅}.
2) La mesure de Dirac en un pointa∈E définie parδa(A) = 1sia∈A,δa(A) = 0 sia /∈A, pour toutA∈A.
3) La mesure de décompte sur E (appelée mesure de comptage sur N) définie sur A := P(E) par µ(A) =card(A) pour tout A∈ A, de sorte que µ(A) = +∞ si A contient un nombre infini d’éléments.
4) La mesure de Lebesgue sur RN. C’est la mesure λdéfinie sur la tribu borelienne B(RN) telle que λ(P) = QN
i=1(bi−ai) pour tout pavé P := QN
i=1[ai, bi]. La mesure de Lebesgue satisfait la propriété d’invariance par translations
∀A∈B(RN), ∀a∈RN, λ(A+a) =λ(A)
et de régularité : pour toutA∈B(RN)et toutε >0, il existe un ensemble fermé borné K deRN et un ensemble ouvertO deRN tels que
K⊂A⊂ O et λ(O)−ε≤λ(A)≤λ(K) +ε.
5) Mesure de Stieljès sur R. Pour f : R → R croissante, c’est la mesure µ définie sur la tribu borelienne B(R)telle que µ(]a, b[) =f(b−)−f(a+)pour tout a < b∈R. La mesure de Lebesgue est la mesure de Stieljès associée à la fonction identité. La mesure de Dirac au point 0∈Rest la mesure de Stieljès associée à la fonction de Heaviside définie par H(x) = 0six <0,H(x) = 1si x≥0.
Définition 1.3 Soit(E,A, µ)un espace mesuré.
(1) On dit que µ est une mesure finie si µ(E) <∞. On dira alors que (E,A, µ) est de mesure totale finie.
Ex : Dirac, comptage sur un ensemble fini, Lebesgue restreint à un intervalle borné.
(2) On dit que µ est une mesure de probabilité si µ(E) = 1. On dira alors que (E,A, µ) est un espace de probabilité.
Ex : Dirac, Lebesgue restreint à un intervalle de longueur1,ν(A) :=µ(A)/µ(E)siµest finie.
(3) On dit queµ est une mesureσ-finie s’il existe une suite (An)deA telle queµ(An)<∞pour toutn∈Net E=∪n≥0An. On dira alors que (E,A, µ) un espace mesuréσ-fini.
Ex : Comptage surN, Lebesgue surR,RN ouCN. Deux opérations élémentaires sur les mesures.
1) Siµest une mesure etθ≥0alorsθµ est une mesure :(θµ)(A) =θµ(A).
2) Si(µ)n est une suite de mesures (sur un même espace mesurable(E,A)), alorsµ:=P
n∈Nµn est une mesure.
Ex : SiE=Netδnest la mesure de Dirac enn∈N, alorsµ=P
n∈Nδnest la mesure de comptage : µ(A) =X
n∈N
δn(A) =X
n∈A
1 =card(A).
Cinq propriétés élémentaires sur les mesures. Soit(E,A, µ)un espace mesuré.
1)Additivité de µ. SiA1, . . . , An∈A deux à deux disjoints alorsµ
n
[
i=1
Ai
=
n
X
i=1
µ(Ai).
Pour voir cela, il suffit de compléter la famille en une suite (Ak)k∈N∗ en posant Ak =∅pour tout k≥n+ 1et d’appliquer la propriété (ii) deσ-additivité deµ.
2) Croissance de µ. Si A, B ∈ A, A ⊂ B alors µ(A) ≤ µ(B). Si de plus µ(B) < ∞, alors µ(A)<∞etµ(A) =µ(B)−µ(B\A).
Pour voir cela, on écritµ(B) =µ(A) +µ(B\A)≥µ(A)grâce à la propriété d’additivité.
3)σ-sous additivité de µ. Si(An)n∈J, est une famille au plus dénombrable (J ={1, . . . , N}ou J =N∗) d’ensembles deA et non forcément deux à deux disjoints, on aµ [
n∈J
An
≤X
n∈J
µ(An).
On pose B1 = A1 et Bn = An\(∪n−1i=1Ai) pour n ≥ 2. Les ensembles (Bn) étant deux à deux disjoints, les propriétés de(σ-)additivité et croissance deµimpliquent
µ [
n∈J
An
=µ [
n∈J
Bn
=X
n∈J
µ(Bn)≤X
n∈J
µ(An).
4)Limite croissante de µ. Si(An)n≥0est une suite croissante deA, soit doncAn⊂Am pour tout n≤m, alors
µ(A) = lim
n→∞µ(An) = sup
n∈N
µ(An), où A= lim
n→∞An= [
n∈N
An.
On définitB0=A0et Bn=An\An−1pour n≥1, de sorte que les éléments de la suite(Bn)sont deux à deux disjoints et donc
µ(A) = µ [
n∈N
An
=µ [
n∈N
Bn
=X
n∈N
µ(Bn)
= lim
N→∞
N
X
n=0
µ(Bn) = lim
N→∞µ[N
n=0
Bn
= lim
N→∞µ(AN).
5) Limite décroissante deµ. Si (An)n≥0 est une suite décroissante de A, soit donc An⊂Am
pour toutn≥m, telle qu’au moins un desAn est de mesure finie, alors µ \
n∈N
An
= lim
n→∞µ(An) = inf
n∈N
µ(An).
On suppose donc µ(An0) <∞ pour n0 ∈ N. On pose Bn :=An0\An de sorte que (Bn) est une suite croissante à laquelle on peut appliquer la propriété précédente. On a ainsi
µ(An0)− lim
n→∞µ(An) = lim
n→∞µ(Bn) =µ [
n≥n0
Bn
=µ
An0\ \
n≥n0
An
= µ An0
−µ \
n≥n0
An
=µ An0
−µ \
n≥0
An
.
Ici, la condition µ(An0)<∞ pour un certainn0∈N est importante comme le montre l’exemple desAn:= [n,∞[pour lesquels on a∀n≥1,λ(An) = +∞et donclimλ(An)6=λ(∩An) =λ(∅) = 0.
Lemme 1.4 (de Borel-Cantelli) Soit(An)une suite de A telle que X
n≥1
µ(An)<∞.
Alors
µ(lim supAn) = 0, où lim supAn := \
n≥1
[
k≥n
Ak.
Preuve du Lemme 1.4. On écrit µ(lim sup
n→∞
An) = lim
n→∞µ [
k≥n
Ak
≤ lim
n→∞
X
k≥n
µ(Ak) = 0,
où on a appliqué le résultat de limite monotone (propriété 5 ci-dessus) à la suite décroissante S
k≥nAk
dans la première égalité et on a utilisé laσ-sous-additivité (propriété 3 ci-dessus) pour
avoir l’inégalité. tu
Théorème 1.5 (unicité) Soientµetν deux mesures sur(E,A)etC une algèbre surE tels que σ(C) =A etµ(C) =ν(C) pour toutC∈C.
- Siµ(E) =ν(E)<∞, alors µ=ν.
- Siµ(En) =ν(En)<∞pour toutn∈NetE=∪nEn, alors µ=ν.
Preuve du Théorème 1.5. SoitG :={A∈A, µ(A) =ν(A)}. On a C ⊂ G et montrons que G est une classe monotone. Si(An)est une suite croissante deG, alors
µ(limAn) = limµ(An) = limν(An) =ν(limAn),
et donclimAn ∈ G. Pour une suite décroissante, on utilise l’hypothèse de finitude ou σ-finitude.
On a doncA =σ(C) =M(C)⊂ G ⊂A. tu
2 Intégrale d’une fonction étagée positive
Dans cette section (E,A, µ)désigne un espace mesuré.
Définition 2.1 Soitf une fonction étagée positive, on note f ∈ E+(E,A), dont l’écriture cano- nique est
f =
m
X
i=1
αi1Ai.
On appelle intégrale de f par rapport à la mesure µle nombre Z
f dµ:=
Z
E
f(x)µ(dx) =
m
X
i=1
αiµ(Ai)∈[0,+∞],
avec la convention0×(+∞) = 0. En particulier, on a Z
1Adµ:=µ(A), ∀A∈A.
Lemme 2.2 Cette définition de dépend pas de l’écriture de la fonction étagée f.
Preuve du Lemme 2.2 - première étape. Soit une écriture def de la forme
f =
n
X
j=1
βj1Bj,
dans laquelle on suppose seulement que la famille(Bj)forme une partition deE(mais pas que les βj soient nécessairement distincts). En reprenant les notations pour l’écriture canonique, on a
n
X
j=1
βjµ(Bj) =
n
X
j=1
βj m
X
i=1
µ(Bj∩Ai) =
m
X
i=1
αi n
X
j=1
µ(Bj∩Ai) =
m
X
i=1
αiµ(Ai) = Z
f dµ,
puisque on a nécessairementαi=βj surAi∩Bj. tu
Trois propriétés élémentaires de l’intégrale des fonctions étagées positives.
1)Additivité. Si f, g∈ E+, on a Z
(f+g)dµ= Z
f dµ+ Z
gdµ.
Et donc également, sif1, . . . , fn∈ E+, on a Z n
X
i=1
fidµ=
n
X
i=1
Z fidµ.
Il suffit de montrer la première identité (casn= 2). La deuxième identité s’en déduit par récurrence.
En introduisant les écritures canoniques def, g et non nécessairement canonique def+g
f =
m
X
i=1
αi1Ai, g:=
n
X
j=1
βj1Bj, f +g=X
i,j
(αi+βj)1Ai∩Bj,
et en utilisant le Lemme 2.2-première version, on obtient Z
(f+g)dµ = X
i,j
(αi+βj)µ(Ai∩Bj)
= X
i,j
αiµ(Ai∩Bj) +X
i,j
βjµ(Ai∩Bj)
= X
i
αiµ(Ai) +X
j
βjµ(Bj) = Z
f dµ+ Z
gdµ.
2)Homogénéité. Sif ∈ E+et λ≥0, alors Z
(λf)dµ=λ Z
f dµ.
Avec les notations précédentes, on a Z
(λf)dµ=X
i
λαiµ(Ai) =λX
i
αiµ(Ai) =λ Z
f dµ.
3)Croissance. Sif, g∈ E+,f ≤g, alors Z
f dµ≤ Z
gdµ.
En effet, on ag=f + (g−f)avecg−f ∈ E+. Par linéarité et positivité de l’intégrale, on a Z
gdµ= Z
f dµ+ Z
(g−f)dµ≥ Z
f dµ.
Preuve du Lemme 2.2 - deuxième étape. Soit une écriture def de la forme
f =
n
X
i=1
fj, fj :=βj1Bj,
avec les seuls conditionsβj ≥0etBj∈A. On a alors Z
f dµ=
n
X
i=1
Z
fjdµ=
n
X
i=1
βjµ(Bj),
par linéarité et homogénéité. tu
Pourf ∈ E+, A∈A, on note
Z
A
f dµ= Z
(f1A)dµ.
De la sorte, on a Z
E
f dµ= Z
f dµ et Z
A∪B
f dµ= Z
A
f dµ+ Z
B
f dµ,
siA, B∈A sont disjoints
Terminons cette section par un résultat technique (mais fondamental).
Lemme 2.3 Soitf ∈ E+ et(En) une suite croissante deA telle quelimEn=E. Alors Z
f dµ= Z
f1limEndµ= lim Z
En
f dµ.
Preuve du Lemme 2.3. On écritf sous la forme (canonique)
f =
m
X
i=1
αi1Ai.
On a donc
Z
En
f dµ= Z nXm
i=1
αi1Ai∩Eno dµ=
m
X
i=1
αiµ(Ai∩En).
Comme pour chaquei, la suite(Ai∩En)est croissante et limAi∩En=Ai, on a limαiµ(Ai∩En) =αiµ(Ai).
On conclut en sommant et commutant cesnlimites. tu
3 Intégrale d’une fonction mesurable positive
Dans cette section (E,A)désigne un espace mesurable etµune mesure sur cet espace.
Définition 3.1 On note M+ =M+(E,A) l’espace des fonctions f : E → [0,+∞] mesurables.
Pour toutf ∈M+, on appelle intégrale def par rapport à la mesure µle nombre Z
f dµ= supnZ
gdµ, g∈ E+, g≤fo .
Il convient de remarquer que sif ∈ E+ alors Z
f dµ= supnZ
gdµ, g∈ E+, g≤fo
où toutes les intégrales sont prises ici au sens de la section précédente. Cela provient de la propriété de croissance de l’intégrale. Ainsi il n’y a pas de conflit entre les notations.
Théorème 3.2 (de convergence monotone de Beppo Levi) Soit (fn) une suite croissante deM+ de limite (ponctuelle) f. Alors
Z
f dµ= lim
n→∞
Z
fndµ. (3.1)
Preuve du Théorème 3.2. Defn ≤fm≤f pour toutn≤m∈N, on déduit que (g∈ E+,g≤fn) impliqueg≤fmet g≤f. Par définition, on a donc
Z
fndµ≤ Z
fmdµ et Z
fndµ≤ Z
f dµ.
Cela implique une première inégalité lim
Z
fndµexiste, et lim Z
fndµ≤ Z
f dµ.
Soit maintenant g ∈ E+, g ≤ f, et λ ∈]0,1[. Posons En := {x ∈ E;λg(x) ≤ fn(x)}. La suite (En) est croissante comme conséquence de la croissance de (fn). De plus ∪En = E, puisque f(x) = limfn(x) > λg(x) si f(x)6= 0, f(x) = fn(x) = g(x) si f(x) = 0. De fn ≥λg1En et du Lemme 2.3, on déduit
lim Z
fndµ≥lim Z
λg1Endµ= limλ Z
En
gdµ=λ Z
gdµ.
En faisant tendreλ→1, on obtient lim
Z
fndµ≥ Z
gdµ.
Comme cette inégalité est vraie pour tout g ∈ E+, g ≤f, on a démontré la deuxième inégalité
cherchée. tu
Exercice 3.3 (Théorème de Beppo Levi pour les suites décroissantes) Soit(fn)une suite décroissante de M+ de limite (ponctuelle) f telle que f1 est d’intégrale finie. Alors (3.1) a lieu.
(Ind. Consédérergn:=f1−fn).
Cinq propriétés élémentaires de l’intégrale des fonctions mesurables positives. Soit (E,A, µ)un espace mesuré.
1)Additivité. Si f, g∈M+, on a Z
(f+g)dµ= Z
f dµ+ Z
gdµ.
Et donc également, sif1, . . . , fn∈M+, on a Z n
X
i=1
fidµ=
n
X
i=1
Z fidµ.
On considère deux suites croissantes (fn) et (gn) de E+ telles que f = limfn, g = limgn qui existent d’après le Théorème I-4.9. La linéarité est vraie pour les fonctionsfn etgn, et on passe à la limite grâce au Théorème 3.2 de convergence monotone de Beppo Levi.
2)Homogénéité. Sif ∈M+,λ≥0, on a Z
(λf)dµ=λ Z
f dµ.
La preuve se fait selon le même schéma d’approximation que pour la preuve de la linéarité ci-dessus.
3)Croissance. Sif, g∈M+,f ≤g, alors Z
f dµ≤ Z
gdµ.
Au choix, on utilise un schéma d’approximation ou on procède comme dans la section précédente.
4)σ-additivité. Si(fn)est une suite deM+, on a Z nX∞
n=1
fno dµ=
∞
X
n=1
Z fndµ.
Par linéarité, on a
Z
SNdµ=
N
X
n=1
Z
fndµ, SN :=
N
X
n=1
fn.
La suite(SN)étant croissante, le Théorème 3.2 implique
∞
X
n=1
Z
fn= lim
N→∞
N
X
n=1
Z fn=
Z ( lim
N→∞SN)dµ=
Z nX∞
n=1
fno dµ.
5)σ-additivité complète. Si(En)est une suite deA qui forme une partition deEet sif ∈M+, on a
Z
f dµ=
∞
X
n=1
Z
En
f dµ.
Pour voir cela, il suffit d’appliquer la propriété deσ-additivité à la suite fn:=f1En. Théorème 3.4 (Lemme de Fatou) Soit(fn)une suite deM+, alors
Z
[lim inffn]dµ≤lim inf Z
fndµ.
Preuve du Lemme 3.4. On pose gk:= inf{fn, n≥k}qui par définition est une suite croissante de M+ et limgk= lim inffn. Grâce au théorème de convergence monotone de Beppo Levi, on a
Z
[lim inf
n→∞ fn]dµ= lim
k→∞
Z gkdµ.
Par ailleurs, puisque cette suite d’intégrales est croissante, on a lim
k→∞
Z
gkdµ= sup
k≥1
Z gkdµ
et, puisquegk ≤fn pour toutn≥k, on a Z
gkdµ≤ Z
fndµ, ∀n≥k.
On en déduit
sup
k≥1
Z
gkdµ≤sup
k≥1
inf
n≥k
Z
fndµ= lim inf
n→∞
Z fndµ.
On conclut en combinant la première égalité et la dernière inégalité. tu Théorème 3.5 (Inégalité de Tchebychev) Si f ∈M+,α >0, alors
µ({f ≥α})≤ 1 α
Z f dµ.
Preuve du Théorème 3.5. On écrit
f ≥f1{f≥α}≥α1{f≥α},
et on conclut en intégrant cette inégalité. tu
Dans un espace mesuré (E,A, µ), on dit qu’une propriété est vraieµ-p.p. (ou seulement p.p. s’il n’y a pas d’ambiguïté sur la mesure de référence) s’il existe A ∈ A telle que µ(E\A) = 0 et la propriété est vraie pour toutx∈A.
Corollaire 3.6 Soitf ∈M+(E,A, µ).
(i) On af = 0p.p. si, et seulement si, Z
f dµ= 0.
(ii) On a Z
f dµ <∞impliquef <∞p.p.
(iii) On a f =g p.p. pourg∈M+ implique Z
f dµ= Z
gdµ.
Preuve du Corollaire 3.6. (i) Le sens direct est clair en revenant à la définition de l’intégrale et en commençant par supposer f étagée. Supposons maintenant que f ∈M+ est d’intégrale nulle. Par Tchebychev, on a
µ({f ≥1/n})≤n Z
f dµ= 0,
puisµ({f >0}) = 0puisque{f >0}est la limite croissante des ensembles{f ≥1/n}. Cela signifie bien queµ({f 6= 0}) = 0 et doncf = 0p.p.
(ii) Siµ({f =∞})>0alors par croissance de l’intégrale, on a Z
f dµ≥ Z
f1{f=∞}dµ=∞ ×µ({f = +∞}) =∞.
(iii) Posons h:=f ∧g = min(f, g)∈ M+. Définissons f0 par f0(x) = f(x)−h(x) sih(x) 6=∞, f0(x) = 0si h(x) =∞, etg0 de façon analogue. Par définition,f0, g0 ∈M+ et sont nulles presque partout. De plus,f =f0+h,g=g0+h. En utilisant la linéarité et (i), on calcule
Z
f dµ= Z
(f0+h)dµ= Z
f0dµ+ Z
hdµ= Z
hdµ.
Le même calcul vaut pour get termine la preuve.
(iii) Une preuve “alternative” est la suivante. On écrit Z
f∧g dµ= Z
f∨g dµ+ Z
(f∧g−f∨g)dµ= Z
f∨g dµ,
puisque la fonction f ∧g−f ∨g ∈ M+ est nulle presque partout (en adoptant la convention
∞ − ∞= 0). On observe quef∧g≤f, g≤f∨g, de sorte que Z
f∧g dµ≤ Z
f dµ, Z
g dµ≤ Z
f∨g dµ,
et on conclut grâce au fait que les termes aux deux extrémités sont égaux. tu
4 Intégrale d’une fonction intégrable
Dans cette section (E,A, µ)désigne un espace mesuré.
Définition 4.1 Une fonctionf :E→Rest dite intégrable sif est mesurable et|f|est d’intégrale finie. On note f ∈ L1(E,A, µ). On appelle intégrale de f par rapport à la mesure µle nombre
Z
f dµ= Z
f+dµ− Z
f−dµ,
oùf+=f∨0 etf−= (−f)∨0, de sorte que f =f+−f−,|f|=f++f− etf± sont d’intégrale finie.
Remarque 4.2 (1) Sif =g−havecg, h∈M+ d’intégrale finie, on af++h=f−+g, de sorte que
Z
f+dµ+ Z
h dµ= Z
f−dµ+ Z
g dµ, et donc également
Z
f dµ= Z
g dµ− Z
h dµ.
(2) On peut adapter sans peine la théorie au cas oùf :E→RN (ouCN) en raisonnant composante par composante. Par exemple, sif est à valeurs complexes etf =<e f+i=m f, on pose
Z
f dµ= Z
(<e f)dµ+i Z
(=m f)dµ
Plus délicat, et nous n’aborderons pas cela dans ce cours, est la définition de l’intégrale de Lebesgue dans le cas oùf :E→X lorsqueX est un espace de Banach séparable.
Proposition 4.3 (Inégalité triangulaire et linéarité) Si f, g∈ L1 etλ∈R, alors Z
|f+g|dµ≤ Z
|f|dµ+ Z
|g|dµ, Z
|λg|dµ=|λ|
Z
|g|dµ,
De plus, on a f+λg∈ L1, donc L1 est un espace vectoriel, et Z
(f+λg)dµ= Z
f dµ+λ Z
gdµ.
Preuve de la Propriété 4.3. Pourf, g∈ L1, la fonctionf+g est mesurable et Z
|f+g|dµ≤ Z
(|f|+|g|)dµ= Z
|f|dµ+ Z
|g|dµ.
On en déduit quef+g est intégrable. Or(f+g)+−(f+g)−=f+g=f+−f−+g+−g−, d’où (f+g)++f−+g−= (f+g)−+f++g+, et en intégrant ces fonctions deM+, on a
Z
(f+g)+dµ+ Z
f−dµ+ Z
g−dµ= Z
(f+g)−dµ+ Z
f+dµ+ Z
g+dµ.
L’identité d’additivité (linéarité dans le cas λ= 1) s’en déduit. Par ailleurs, siλ >0 alors λg=
|λ|g+− |λ|g− et siλ <0alorsλg=|λ|g−− |λ|g+. On en déduit Z
|λg|dµ=|λ|
Z
|g|dµ, Z
λgdµ=λ Z
gdµ,
dans les deux cas. tu
3)Croissance. Sif, g∈ L1,f ≤g, alors Z
f dµ≤ Z
gdµ.
On écrit f =f+−f−, g=g+−g−,f+ ≤g+,f− ≥g−, et on utilise la croissance de l’intégrale pour les fonctions deM+.
