4 Théorème de Thalès
I Énoncé du théorème
Dans les deux configurations géométriques suivantes, on a (BM) et (CN) qui sont deux droites sécantes en A
(BC) et (MN) qui sont parallèles.
Le théorème de Thalès prouve que les longueurs des triangles ABC et AMN sont proportionnelles, c'est à dire que AMAB= ANAC =MNBC.
II Application pour le calcul d'une longueur
Exemple : Sur la figure ci-contre, les droites (CD) et (HT) sont parallèles.
On donne DG = 25 mm ; GH = 45 mm ; CG = 20 mm et HT = 27 mm.
Calcule GT et CD.
Je sais que les droites (DH) et (CT) sont sécantes en G et que les droites (CD) et (HT) sont parallèles.
D'après le théorème de Thalès, on a GC
GT = GDGH = CD
HT,soit 20
GT =25 45=CD
27 . On peut faire un produit en croix pour calculer GT :
GT = 45 × 20
25 donc GT = 36 mm.
On peut faire un produit en croix pour calculer CD : CD =25 × 27
45 donc CD = 15 mm.
III Réciproque du théorème de Thalès
Dans les deux configurations géométriques suivantes, on a (BM) et (CN) qui sont deux droites sécantes en A
La réciproque du théorème de Thalès nous prouve que si les longueurs des triangles ABC et AMN sont proportionnelles, c'est à dire si AMAB = ANAC = MN
BC , alors (BC) et (MN) qui sont parallèles.
Exemple : Dans une des figures précédentes, on donne AM= 25 mm ; AC= 45 mm ; MN= 20 mm et AB= 27 mm et BC=36 mm. Les droites (MN) et (CB) sont-elles parallèles ? Je sais que les droites (CN) et (MB) sont sécantes en A.
D'une part MN
BC = 20
36=5 9
D'une part AM
AB = 25
45=5 9
Donc on a MN
BC = AM
AB , et donc, d'après la réciproque du théorème de Thalès, (MN) et (CB) sont parallèles
C
D
T H
G
M N
B C
A A
M N
B C
M N
B C
A A
M N
B C
