CORRECTION DEVOIR MAISON N° 9 TERMINALES S 3 PARTIE A : 1. Sur ]0 ; +∞[ , les fonctions f

(1)

CORRECTION DEVOIR MAISON N° 9 TERMINALES S 3 PARTIE A : 1. Sur ]0 ; +∞[ , les fonctions f

_n

sont dérivables comme quotient de fonctions qui le sont.

Leur dérivée sont : f’

n

(x) =

2

4 3

(1 ln )2 2 2 ln

n x n x x n n x

x

x x

− + = − − . Ces dérivées sont positives si n – 2 – 2nlnx ≥ 0, soit

ln 2 2 x n

n

≤ − , soit 2

exp( )

2 x n

n

≤ − . Ainsi, f

_n

est croissante si x ∈]0 ; 2

exp( )

2 n

n

− ] et décroissante si x∈[ 2

exp( )

2 n

n

− ; +∞[ . 2. Limite en 0 : on a

lim(1

0

ln )

x

n x

→

+ = −∞ et

²

lim

0

x

⁺

→

= , donc

lim ( )

0 _n

x

f x

→

= −∞ .

Limite en +∞ : 1

₂

lim 0

x^→+∞

x = et ln

₂

lim 0

x

x x

→+∞

= , donc lim

x

f x

n

( ) 0

→+∞

= .

3. Tableau de variations : 4. Tracé des courbes C

1

, C

2

, C

3

dans le même repère :

x 0

ⁿ₂_n²

e

−

+∞

f

n

’(x) + 0 –

f

n

(x) –∞

f

n

( e

ⁿ²ⁿ²

−

)

0 Maximum de f

n

:

2 2

1 2 ( ) 2

2

n

n n n n

n n

n n n n

f e

e e

−

− −

+ −

= = .

5. Pour n > 1, on a f

n+1

(x) – f

n

(x) = 1 ( n

₂

1) ln x 1 n x

₂

ln ln

₂

x

x x x

+ + − + = .

Cette différence ne dépend pas de n .

6. On a donc f

4

(x) – f

3

(x) = f

3

(x) – f

2

(x) , donc f

4

(x) = 2 f

3

(x) – f

2

(x) ; il est possible de tracer C

4

à partir des courbes C

2

et C

3

en utilisant la relation précédente.

PARTIE B : 1. Posons, pour x dans [1 ; e], u’(x) = 1

₂

x et v(x) = lnx ; on a u(x) = 1

− x et v’(x) = 1 x ; ainsi I =

₂

1

ln

e

x

x dx

∫ ⁼

¹ ²

1

ln x

^e ^e

1 x x dx

 −  − −

 

  ∫ ⁼

1

1 1 2

1

e

e x e

− −       = − .

2. L’aire, en cm², du domaine plan limité par les courbes C

_n

et C

_n-1

et les droites d’équation x = 1 et x = e est égal à 25 ∫

1^e

( f

n+1

( ) x − f x dx

n

( )) ^{= 25 I =} ²⁵ ⁻ ⁵⁰ _e ( car l’unité d’aire est de 5² cm² ).

3. On a A

2

= ∫

1^e

f x dx

2

( ) ⁼

1 ² ²

1

1 ln 1

( 2 ) 2

e

x

e

dx x

x x

  − + =     +

∫ ^{I =} ¹ ^{− +} ¹ _e ²⁽¹ ⁻ ² _e ^{) 3} ^{= −} ⁵ _e ^.

4. On a A

n

=

1^e

f x dx

n

( )

∫ ⁼

¹ ² ²

1

1 ln 1

( )

e

x

e

n dx n

x

x x

  − + =     +

∫ ^{I =} ¹ ^{− +} ¹ _e ⁿ ⁽¹ ⁻ ² _e ⁾ . La suite (A

n

) est une suite arithmétique de raison I = 2

1 − e et de premier terme 1

1 − e . La raison est l’aire du domaine plan limité par les courbes C

n

et C

n-1

et les droites d’équation x = 1 et x = e ( cette aire est indépendante de n ) .

PARTIE C : 1. Pour tout n > 2, 1 1

2 > n ; de plus, 2 1 1

2 2

n

n n

− = − > 0, donc 2

exp( )

2 n

n

− > e

⁰

= 1 et (exp( 2 ))

n

2 f n

n

− > f

n

(1) = 1 (car f

n

croissante sur ]0 ; 2

exp( )

2 n

n

− ] ) .

2. f

n

est continue, croissante sur ]1 ; 2

exp( )

2 n

n

− ] et f

n

(1) = 1, donc pour tout x de ] 1 ; 2

exp( )

2 n

n

− [ , f

n

(x) > 1, et

l’équation f

n

(x) = 1 n’a pas de solutions dans l’intervalle ] 1 ; 2

exp( )

2 n

n

− [ .

3. f

n

( n ) = 1 ln 1 ln 2

n n n

n n

+ = + . Pour n > e² , on a f

n

( n ) >

1 ln

2

2 e

n + ≥ 1. On a e² ≈ 7,39 ; donc, pour n ≥ 8, on a

( )

f

n

n ≥ 1 = ( ) f

_n

α

_n

, donc α

_n

≥ n ( car f

n

décroissante sur [ 2

exp( )

2 n

n

− ; +∞ [ ) ; d’où lim

_n

n_→+∞

α = +∞ ( car

n

lim n

→+∞