CORRECTION DEVOIR MAISON N° 1 TERMINALE S 3 A. 1) On a

CORRECTION DEVOIR MAISON N° 1 TERMINALE S 3 A. 1) On a

2

2

1 5 1 2 5 5 3 5 1 1 5 1

2 4 2 2

φ = ^    ^{+ }    = ^{+ +} = ⁺ = + ⁺ = + φ ; ainsi φ 1 φ 1 1

φ φ

= + = + ; et, en remplaçant φ par 1 1

+ φ au dénominateur, il vient : 1

1 1 1

φ

φ

= + + .

2) On a φ

³

= φ φ

²

× = + ( 1 φ φ φ φ ) = +

²

= + + = + φ 1 φ 1 2 φ et φ

⁴

= × = + φ φ

³

( 1 2 φ φ φ ) = + 2 φ

²

= + + φ 2 2 φ = + 2 3 φ . Pour tout entier naturel n, on peut exprimer φ

ⁿ

en fonction de φ : c’est vrai pour n =2 ; supposons-le vrai pour n , soit

n

a b

φ = + φ ; alors pour n + 1, on a φ

ⁿ⁺¹

= φ φ

ⁿ

× = ( a b ) + φ φ = a φ + b φ

²

= a φ + + b b φ = + b ( a b ) + φ , donc vrai .

B. 1) 2

x

lim f ( x )

→+∞

= et

11 xx

lim f ( x )

→−>−

= −∞ ; la courbe C représentative de f admet donc deux asymptotes : l’une verticale d’équation x = -1 et l’autre horizontale d’équation y = 2. La fonction f est dérivable de dérivée 1

₂

f '( x ) 1

( x )

= + >0 donc la fonction f est strictement croissante sur ] -1 ; +∞[.

2) Représentation graphique de la suite :

3) La suite ( u )

n

semble monotone croissante ; elle semble convergente. Sa limite semble être l’abscisse du point d’intersection de (d) et C, solution de l’équation x

= f(x) ; on trouve

4) On considère la propriété (Pn) : u

_n

≥ 1 . On a u

₀

= 1 donc (P0) est vraie ; supposons (Pn) vraie et montrons que (Pn+1) est vraie :

1

1 1 1 1

n n

n

u f ( u )

u

+

= = +

+ ; or u

_n

≥ 1 donc 1 1 1 u

n

+ > >0 , donc u

_n+1

≥ 1 . Ainsi, pour

tout entier naturel n, u

_n

≥ 1 . 5) Pour tout x de [1 ; +∞[ , on a

1 2 1 5 2 1 2 1 5 1 3 5 1 5 3 5

1 2 2 1 2 1 2 1

x ( x ) ( )( x ) ( )x ( )( x )

f ( x )

x ( x ) ( x ) ( x )

φ ^{+ + + − + + − + − − −} φ

− = − = = =

+ + + + .

6) Pour tout x de [1 ; +∞[ , on a 2 1 ( + x ) ≥ 4 et 0 3 < − 5 1 < , donc 3 5 4 2 1 ( x )

− ≤

+ , donc 1

f ( x ) − < φ 4 x − φ . 7) Pour tout entier naturel n, on a u

_n

≥ 1 , donc 1

n

4

n

f ( u ) f ( ) − φ < u − φ ; de plus f ( u ) u

_n

=

_n+1

et f ( ) φ = φ donc

1

1

n

4

n

u

₊

− < φ u − φ .

8) On considère la propriété (Pn) : 1

n

4

n

u − < φ . On a

₀

1 1 5 5 1 0 618 1

₀

2 2 4

u − = − φ ⁺ = ⁻ ≈ , < donc (P0) est vraie ; supposons (Pn) vraie et montrons que (Pn+1) est vraie :

1 1

1 1 1 1

4 4 4 4

n n n n

u

₊

− < φ u − < × φ =

₊

, donc pour tout entier

naturel n, 1

n

4

n

u − < φ . 9) On a 1

4

ⁿ

0

n

lim

→+∞

= ( comme limite d’une suite géométrique de raison ¼ ) ; donc la suite ( u )

n

converge vers φ . C. 1) Les 6 premiers termes de la suite ( w )

n

: w

0

= 1 , w

1

= 1 , w

2

= 2 , w

3

= 3 , w

4

= 5 , w

5

= 8 .

Les 5 premiers termes de la suite ( v )

n

:

0 ¹ 0

w 1

v = w = ,

1 ² 1

w 2 v = w = ,

2

3 v = 2 ,

3

5 1 666 v = ≈ 3 , ,

4

8 1 6 v = = 5 , Pour tout entier naturel n, on a

1 ^{2 1}

1 1

1 1

n n n

n n

n n n

w w w

v g( v )

w w v

+ +

+

+ +

= = + = + = ; en reprenant les questions de la partie B avec la fonction g , on montre que la suite ( v )

_n

converge vers φ .

O I

J

U0 U1U2U3U4