   Correction du devoir maison n°1 :

Correction du devoir maison n°1 :

1.

P( 0 ) = 10 donc e = 10.

c = 0

P(1) = a x 1⁴ + b x 1³ + d x 1 + 10 = 24 donc a + b + d = 14 (E₁)

P(-1) = a x (-1)⁴ + b x (-1)³ + d x (-1) + 10 = 0 donc a – b – d = -10 (E₂) P(2) = a x 2⁴ + b x 2³ + d x 2 + 10 = 0 donc 16 a + 8 b + 2 d = - 10 (E₃) On obtient dons le système : (S)

 



a + b + d = 14 (E1) a – b – d = -10 (E2) 16 a + 8 b + 2 d = - 10 (E3) En additionnant les deux premières lignes on obtient : 2 a = 4 soit a = 2 Le système (S) devient donc _^2 + b + d = 14

16 x2 + 8 b + 2 d = - 10 (E₃) soit _^b + d = 12 x ( -2) 8 b + 2 d = - 42 (E3) donne _^-2 b -2 d = -24

8 b + 2 d = - 42 (E3) en additionnant les lignes on trouve 6 b = -66 soit b = -66 6 = -11 Par substitution on trouve d = 12 – b = 12 + 11 = 23.

Donc P(x) = 2 x⁴ – 11 x³ + 23 x + 10

2.a) P( - 1 ) = 2 x (-1) ⁴ – 11 x (-1)³ + 23 x ( -1) + 10 = 2 + 11 – 23 + 10 = 0

2. b) Comme –1 est une racine de P , on peut factoriser P par ( x – ( -1) ) soit (x+1) et P(x) = ( x + 1 ) Q(x) avec Q un polynôme de degré 4 – 1 = 3.

2. c)P(x) = (x+1) ( a x³ + b x² + c x + d) = a x⁴ + b x³ + c x² + d x + a x³ + b x² + c x + d P(x) = ax⁴ + ( b+a) x³ + (c + b) x² +(d + c ) x + d

Par identification des coefficients on trouve :



 

^{a = 2} b + a = - 11 c + b = 0 d + c = 23 d = 10

soit



 

^{a = 2} b = -11 – 2 = -13 c = -b = 13 d = 10 Donc Q(x) = 2 x³ – 13 x² + 13 x + 10

3. a ) 2 ( x – 2 ) ( x + 1

2 ) ( x – 5 ) =( x – 2 ) ( 2x + 1 ) ( x – 5 ) = ( 2x² + x – 4x - 2 ) ( x – 5 ) = ( 2 x ² – 3 x – 2 ) ( x – 5 )

= 2x³ – 3 x² – 2 x – 10 x² + 15 x + 10 = 2 x³ – 13 x² + 13 x + 10

= Q ( x )

3. b) Les racines annulent Q donc se sont les solutions de l’équation Q(x) = 0 ( x – 2 ) = 0 ou ( x + 1

2 ) = 0 ou ( x – 5 ) = 0 soit : 2 ; - 1 2 et 5.

4. a) P(x) = ( x + 1 ) Q(x) = 2 ( x + 1 ) ( x – 2 ) ( x + 1

2 ) ( x – 5 ).

4. b) P(x) = 0 : ( x + 1 ) = 0 ou Q( x ) = 0 L’ensemble des solutions est donc : { - 1 ; - 1

2 ; 2 ; 5 } . 4. c ) Les racines de P sont les solutions de P(x) = 0 : - 1 ; - 1

2 ; 2 ; 5.

Se sont les abscisses des points d’intersection de la courbe CP avec l’axe des abscisses.

4 . d)

x −∞ -1 -1

2

2 5 +∞

2 + + + + +

x + 1 - 0 + + + +

x – 2 - - - 0 + +

x + 1

2 -

- 0

+ +

+

x - 5 - - - - 0 +

P(x) + 0 – 0 + - 0 +

4. e) S = ] – 1 ; - 1

2 [ ∪ ] 2 ; 5 [

La courbe CP est sous l’axe des abscisses pour des abscisses compris sur les intervalles : ] – 1 ; - 1

2 [ et ] 2 ; 5 [