(1)PHEC1 Correction devoir à la maison correction de l’exercice 1 Calcul deAn : An= Xn p=2 1 3 p

PHEC1 Correction devoir à la maison 1 2004-2005

correction de l’exercice 1 Calcul deAn :

An= Xn p=2

1 3

p

= (1 3)²+ (1

3)³+ + (1 3)ⁿ= (1

3)²(1 + (1

3)¹+ + (1

3)^{n 2}= (1 3)²

1 (1 3)^{n 1} 1 (1

3)

= 1 6[1 (1

3)^{n 1}] Calcul deBn :

Bn =

n+1X

k=3

2^k 3^k+2 =

n+1X

k=3

2^k 3^k: 1

3² = 1 3²

n+1X

k=3

(2 3)^k= 1

3² (2 3)³+ (2

3)³+ (2

3)ⁿ⁺¹ = 1 3²:(2

3)³ 1 + (2

3)¹+ + (2 3)^{n 2}

= 1

3²:(2 3)³:

1 (2 3)^{n 1} 1 2

3

=1 3:(2

3)³ 1 (2

3)^{n 1} = 8

81 1 (2 3)^{n 1} Calcul deCN :

CN = XN n=1

5 2ⁿ+ 2 3²ⁿ = 5 XN n=1

2ⁿ+ 2 XN n=1

9ⁿ

|{z}

=(3²)ⁿ=3²ⁿ

= 5 2 + 2²+ + 2^N + 2 9 + 9²+ + 9^N

= 5 2 1 + 2¹+ + 2^{N 1} + 2 9 1 + 9¹+ + 9^{N 1} = 10 1 2^N

1 2 + 18 1 9^N

1 9 = 10(2^N 1) + 9

4(9^N 1) Calcul deD_k :

Dk = X2k n=3

2³ⁿ⁺¹ 3ⁿ⁺¹ 4ⁿ =

X2k n=3

2 3 (2³)ⁿ 3ⁿ

4ⁿ = 2 3 X2k n=3

2³ 3 4

n

= 6 X2k n=3

6ⁿ = 6 6³+ 6⁴+ + 6^2k

= 6 6³ 1 + 6¹+ + 6^{2k 3} = 6⁴1 6^{2k 2} 1 6 = 6⁴

5 6^{2k 2} 1 = 1296

5 6^{2k 2} 1 correction de l’exercice 2

On constate que la suiteuest arithmético-géométrique puisque 8n2N; u_n+1 = 2 3u_n+1

3: Nous allons alors expliciteru_n en fonction denselon la méthode classique. SoitL2Rtel queL= 2

3L+1 3 , 1

3L= 1

3 ,L= 1:

On considère la suitevdé…nie par8n2N; vn =un 1:On a alors 8n2N; v_n+1=u_n+1 1 = 2

3u_n+1

3 1 = 2 3u_n 2

3 =2

3(u_n 1) = 2 3v_n: On en déduit que la suitev est géométrique de raison 2

3 donc 8n2N; vn= (2

3)ⁿv0,un 1 = (2

3)ⁿ(u0 1),un = 1 + (2

3)ⁿ(u0 1) ce qui permet d’écrire:

Xn k=0

u_k= Xn k=0

1 + (2

3)^k(u₀ 1) = Xn k=0

1

!

+ (u₀ 1) Xn k=0

(2 3)^k

!

= (n+ 1) + (u₀ 1) 1 (2

3)ⁿ⁺¹ 1 2

3 correction de l’exercice 3

On constate que la suiteuest récurrente linéaire du second ordre à coe¢ cients constants. Nous allons alors expliciteru_nen fonction den.

La suiteuadmet comme polynôme caractéristique3x² 5x+ 2 dont les racines sont 2

3 et1:Par conséquent, il existe deux constantes réelles et telle que

8n2N; un= (2

3)ⁿ+ 1ⁿ = (2 3)ⁿ+ : Pour déterminer et ;il su¢ t d’utiliser les conditions initiales.

8>

<

>: (2

3)⁰+ =u₀ (2

3)¹+ =u₁ ,

( + = 2 2

3 + = 3 ,

L2 L2 L1

( + = 2 1

3 = 1 , = 3

= 5

www.mathematiques.fr.st 1/4 abdellah bechata

PHEC1 Correction devoir à la maison 1 2004-2005

donc8n2N; u_n= 3(2 3)ⁿ+ 5:

2004X

k=2

uk =

2004X

k=2

3(2

3)^k+ 5 = 3

2004X

k=2

(2 3)^k+

2004X

k=2

5 = 3 (2 3)²+ (2

3)³+ + (2

3)²⁰⁰⁴ + 5(2004 2 + 1)

= 3(2

3)² 1 + (2

3)¹+ + (2

3)²⁰⁰² + 5 2003 = 4 3

1 (2 3)²⁰⁰³ 1 2

3

+ 10 015

= 4(1 (2

3)²⁰⁰³) + 6015 = 6011 + 4(2 3)²⁰⁰³ correction de l’exercice 4

1 k

1

k+ 1 = k+ 1 k(k+ 1)

k

k(k+ 1) = k+ 1 k

k(k+ 1) = 1 k(k+ 1) 1

k 2

k+ 1+ 1

k+ 2 = (k+ 1)(k+ 2) k(k+ 1)(k+ 2)

2k(k+ 2)

k(k+ 1)(k+ 2)+ k(k+ 1) k(k+ 1)(k+ 2)

= (k+ 1)(k+ 2) 2k(k+ 2) +k(k+ 1)

k(k+ 1)(k+ 2) = k²+ 3k+ 2 2k² 4k+k²+k k(k+ 1)(k+ 2)

= 2

k(k+ 1)(k+ 2) donc on a bien 1

k(k+ 1)(k+ 2) = 1 2

1 k

2

k+ 1+ 1 k+ 2 1

k 3

k+ 1 + 3 k+ 2

1

k+ 3 = (k+ 1)(k+ 2)(k+ 3) k(k+ 1)(k+ 2)(k+ 3)

3k(k+ 2)(k+ 3)

k(k+ 1)(k+ 2)(k+ 3) + 3k(k+ 1)(k+ 3) k(k+ 1)(k+ 2)(k+ 3) k(k+ 1)(k+ 2)

k(k+ 1)(k+ 2)(k+ 3)

= (k+ 1)(k+ 2)(k+ 3) 3k(k+ 2)(k+ 3) + 3k(k+ 1)(k+ 3) k(k+ 1)(k+ 2) k(k+ 1)(k+ 2)(k+ 3)

= k³+ 6k²+ 11k+ 6 3k³ 15k² 18k+ 3k³+ 12k²+ 9k k³ 3k² 2k k(k+ 1)(k+ 2)(k+ 3)

= 6

k(k+ 1)(k+ 2)(k+ 3); ce qui prouve que 1

k(k+ 1)(k+ 2)(k+ 3) =1 6

1 k

3

k+ 1+ 3 k+ 2

1 k+ 3 . 1. En utilsant que 1

k 1

k+ 1 = 1

k(k+ 1), on a Sn =

Xn k=1

1 k(k+ 1) =

Xn k=1

1 k

1 k+ 1 =

Xn k=1

1 k

Xn k=1

1 k+ 1 =

Xn k=1

1 k

n+1X

j=2

1 j

| {z }

j=k+1

= Xn k=1

1 k

n+1X

k=2

1 k

| {z }

on renom m ejenk

Or k prend les valeurs1; 2; :::; n 1; n dans la première somme et les valeurs 2;3; :::; n ; n+ 1 pour la seconde. On constate alors que les deux sommes ont comme indices communs tous les entiers compris entre 2 et n: On applique alors la relation de Chasles pour chaque somme

Xn k=1

1

k = |{z}1

1=k=1quandk=1

+ Xn k=2

1 k;

n+1X

k=2

1 k =

Xn k=2

1

k+ 1

n+ 1

| {z }

1=k=1=(n+1)quandk=n+1

ce qui nous donne

Sn = 1 + Xn k=2

1 k

! _n X

k=2

1 k+ 1

n+ 1

!

= 1 + Xn k=2

1 k

Xn k=2

1 k

1

n+ 1 = 1 1 n+ 1 doncS_n= 1 1

n+ 1:

www.mathematiques.fr.st 2/4 abdellah bechata

PHEC1 Correction devoir à la maison 1 2004-2005

2. En utilsant que 1

k(k+ 1)(k+ 2) =1 2

1 k

2

k+ 1+ 1

k+ 2 , on a

T_n = Xn k=1

1

k(k+ 1)(k+ 2) = 1 2

Xn k=1

1 k

2

k+ 1 + 1

k+ 2 ,2T_n= Xn k=1

1 k

2

k+ 1+ 1 k+ 2 2Tn =

Xn k=1

1 k 2

Xn k=1

1 k+ 1+

Xn k=1

1 k+ 2 =

Xn k=1

1 k 2

n+1X

j=2

1 j

| {z }

j=k+1

+

n+2X

i=3

1 i

| {z }

i=k+2

= Xn k=1

1

k 2

n+1X

k=2

1 k

| {z }

on renom m ejenk

+

n+2X

k=3

1 k

| {z }

on renom m eienk

Or kprend les valeurs 1;2;3; :::; n 2; n 1; n dans la première somme, les valeurs 2; 3;4:::; n 1; n ; n+ 1pour la seconde et les valeurs 3;4;5; :::; n ; n+ 1; n+ 2pour la troisième. On constate alors que les trois sommes ont comme indices communs tous les entiers compris entre3etn:On applique alors la relation de Chasles pour chaque somme Xn

k=1

1

k = 1

|{z}

1=k=1quandk=1

+ 1

|{z}2

1=k=1=2quandk=2

+ Xn k=3

1 k;

n+1X

k=2

1

k = 1

|{z}2

1=k=1=2quandk=2

+ Xn k=3

1

k + 1

n+ 1

| {z }

1=k=1=(n+1)quandk=n+1 n+2X

k=3

1

k =

Xn k=3

1

k + 1

n+ 1

| {z }

1=k=1=(n+1)quandk=n+1

+ 1

n+ 2

| {z }

1=k=1=(n+2)quandk=n+2

ce qui nous donne

2T_n = 1 + 1 2+

Xn k=3

1 k

! 2 1

2 + Xn k=3

1 k+ 1

n+ 1

! +

Xn k=3

1 k

1

n+ 1 + 1 n+ 2

!

= 1 + 1 2 +

Xn k=3

1

k 1 2

Xn k=3

1 k

2 n+ 1+

Xn k=3

1 k + 1

n+ 1+ 1 n+ 2 =1

2 1

n+ 1+ 1 n+ 2

doncTn =1 4

1

2(n+ 1)+ 1 2(n+ 2): 3. En utilsant que 1

k(k+ 1)(k+ 2)(k+ 3) = 1 6

1 k

3

k+ 1 + 3 k+ 2

1

k+ 3 , on a

R_n = Xn k=1

1

k(k+ 1)(k+ 2)(k+ 3) = 1 6

Xn k=1

1 k

3

k+ 1 + 3 k+ 2

1

k+ 3 ,6R_n = Xn k=1

1 k

3

k+ 1 + 3 k+ 2

1 k+ 3 6Rn =

Xn k=1

1 k 3

Xn k=1

1 k+ 1 + 3

Xn k=1

1 k+ 2

Xn k=1

1 k+ 3 =

Xn k=2

1 k 3

n+1X

k=2

1 k+ 3

n+2X

k=3

1 k

n+3X

k=4

1 k

(en utilisant les changements de variablesj=k+ 1; i=k+ 2; h=k+ 3puis en renommant tous les nouvelles variables enk):

Ork prend les valeurs

1;2;3; 4:::; n 3; n 2; n 1; n dans la première somme, les valeurs

2;3; 4;5:::; n 2; n 1; n ; n+ 1 pour la seconde, les valeurs

3; 4;5;6; :::; n 1; n ; n+ 1; n+ 2 pour la troisième et les valeurs

4;5;6;7; :::; n ; n+ 1; n+ 2; n+ 3

pour la quatrième somme. On constate alors que les quatres sommes ont comme indices communs tous les entiers

www.mathematiques.fr.st 3/4 abdellah bechata

PHEC1 Correction devoir à la maison 1 2004-2005

compris entre4 etn:On applique alors la relation de Chasles pour chaque somme Xn

k=1

1

k = |{z}1

1=k=1quandk=1

+ 1

|{z}2

1=k=1=2quandk=2

+ 1

|{z}3

1=k=1=3quandk=3

+ Xn k=4

1 k;

n+1X

k=2

1

k = 1

|{z}2

1=k=1=2quandk=2

+ 1

|{z}3

1=k=1=3quandk=3

+ Xn k=4

1

k + 1

n+ 1

| {z }

1=k=1=(n+1)quandk=n+1 n+2X

k=3

1

k = 1

|{z}3

1=k=1=3quandk=3

+ Xn k=4

1

k + 1

n+ 1

| {z }

1=k=1=(n+1)quandk=n+1

+ 1

n+ 2

| {z }

1=k=1=(n+2)quandk=n+2 n+3X

k=4

1

k =

n+3X

k=4

1

k+ 1

n+ 1

| {z }

1=k=1=(n+1)quandk=n+1

+ 1

n+ 2

| {z }

1=k=1=(n+2)quandk=n+2

+ 1

n+ 3

| {z }

1=k=1=(n+3)quandk=n+3

ce qui nous donne

6Rn = (1 +1 2 +1

3+ Xn k=4

1 k) 3(1

2 +1 3+

Xn k=4

1 k + 1

n+ 1) + 3(1 3 +

Xn k=4

1 k+ 1

n+ 1 + 1 n+ 2) (

n+3X

k=4

1 k + 1

n+ 1+ 1

n+ 2 + 1 n+ 3)

= 1 + 1 2+1

3 + Xn k=4

1 k

3

2 1 3

Xn k=4

1 k

3

n+ 1 + 1 + 3 Xn k=4

1 k + 3

n+ 1+ 3 n+ 2

n+3X

k=4

1 k

1 n+ 1

1 n+ 2

1 n+ 3

= 1 3

1

n+ 1 + 2 n+ 2

1 n+ 3 doncRn= 1

18

1

6(n+ 1)+ 1 3(n+ 2)

1 6(n+ 3) correction de l’exercice 5

1. La suiteudé…nie par8n2N; u_n =an³+bn²véri…e la relation (E)ssi 8n 2 N; un+2 2un+1+un= 3n 1

, a(n+ 2)³+b(n+ 2)² 2 a(n+ 1)³+b(n+ 1)² + an³+bn² = 3n 1(puis on développe)

, a(n³+ 6n²+ 12n+ 8) +b(n²+ 4n+ 4) 2 a(n³+ 3n²+ 3n+ 1) +b(n²+ 2n+ 1) + an³+bn² = 3n 1 on regroupe ensuite les di¤érentes puissances den

, n³(a 2a+a) +n²(6a+b 6a 2b+b) +n(12a+ 4b 6a 4b) + (8a+ 4b 2a 2b) = 3n 1 , 6an+ (6a+ 2b) = 3n 1 ,

princip e d’identi…cation

6a= 3 6a+ 2b= 1 ,

( a= 1 b= 22

Par conséquent, la suiteuvéri…e(E)ssi8n2N; un =1

2n³ 2n²: 2. Pour tout entier natureln;on a :

zn+2 2zn+1+zn= (wn+2 un+2) 2(wn+1 un+1) + (wn un) = (wn+2 2wn+1+wn

| {z }

=3n 1par dé…nition

) (un+2 2un+1+un

| {z }

=3n 1par construction

) = 0

donc la suitezest bien récurrente linéaire d’ordre2à coe¢ cients constants. Son polynôme caractéristique estx² 2x+1 qui admet une unique racinex= 1:Par conséquent, il existe deux réels et tels que

8n2N; zn= ( n+ )1ⁿ= n+

Puisque nous connaissons la forme dez ainsi que la forme deu;nous en déduisson la forme dew

8n2N; w_n=u_n+z_n= 1

2n³ 2n²+ n+ ; où ; sont deux réels

www.mathematiques.fr.st 4/4 abdellah bechata