DEVOIR A LA MAISON N°3. 1
èreSTMG2.
Pour le mardi 31 janvier 2017.
I. Pour chacune des foncti ons sui vant es :
Donner le tabl eau de vari ati on.
Résoudre l équation f(x) 0
Donner l allure de la courbe
Donner le tableau de signes
Résoudre l inéquation f(x) 0.
1. f défi nie sur par f(x) 2x² 4x 2. f défi nie sur par f(x) x² 4x 4 3. f défi nie sur par f(x) x² 3x 7.
II.
Une entreprise fabrique 2 à 300 tonnes de peinture par jour.On estime que les coûts de fabrication de tonnes de peinture, en euros, sont donnés par : C(x) 12x² 20x 6600, pour x compris entre 2 et 300.La peinture est vendue 2000 € la tonne. Tout kilogramme de peinture fabriqué est vendu.
1. Quelle est la recette associée à la vente de 10 tonnes de peinture ? Quels sont les coûts associés à la fabrication de ces 10 tonnes de peinture ? Quels bénéfices l’entreprise réalise-t-elle dans ce cas ? 2.
a. Exprimer la recette , en euros, pour de tonnes de peintures fabriquées et vendues.
b. Montrer que le bénéfice (algébrique) , exprimé en euros, en fonction du nombre de tonnes de peinture fabriquées et vendues est B(x) 12x² 1980x 6600.
3. Résoudre l équation B(x) 0 (arrondir les racines au kg, c'est-à-dire à 0,001 tonne près) et interpréter les solutions par une phrase.
4.
a. Dresser le tableau de variation de sur [2 300].
b. Quelle quantité de peinture l’entreprise doit-elle produire et vendre (sur une journée) pour réaliser un bénéfice maximal ? Quel est ce bénéfice maximal.
5.
a. Dresser le tableau de signes de B(x) sur [2 300].
b. En déduire les quantités de peinture que doit produire et vendre l’entreprise pour réaliser des bénéfices.
CORRECTION DU DEVOIR A LA MAISON N°1 1STMG2.
I.
1. f d éfinie sur par f(x) 2x² 4x
a 2 ; b 4 ; c 0
a 0 donc la fonction f est croissante puis décroissante. On a le tableau de variations : x 1 + b
2a
( 4)
2 ( 2) 1
f( ) 2 ( 1)² 4 ( 1) 2
f(x) 2
b² 4a c ( 4)² 4 ( 2) 0 16 0 donc le trinôme a deux racines : x1 −b Δ
2a
4 16
4 0 et x2 b
2a
4 16
4 2
Les solutions de l équation f(x) 0 sont 0 et 2.
Allure de la courbe :
On a donc le tableau de signes :
x 2 0 +
f(x) +
D après le tableau de signes, l inéquation f(x) 0 a pour ensemble de solutions : S [ 2 0].
2. f d éfinie sur par f(x) x² 4x 4 a 1 ; b 4 ; c 4
a 0 donc la fonction f est décroissante puis croissante. On a le tableau de variations : x 2 + b
2a
( 4)
2 1 2
f( ) 2² 4 2+4=0 f(x)
0
b² 4a c (−4)²−4 1 4 0 donc le trinôme a une racine : x b 2a 2 La solution de l équation f(x) 0 est 2.
Allure de la courbe :
On a donc le tableau de signes :
x 2 + f(x)
D après le tableau de signes, l inéquation f(x) 0 a pour ensemble de solutions : S .
3. f d éfinie sur par f(x) x² 3x 7.
a 1 ; b 3 ; c 7
a 0 donc la fonction f est croissante puis décroissante. On a le tableau de variations : x 1,5 + b
2a
3
2 ( 1) 1,5
f( ) (1,5)² 3 1,5 7 2 4,75
f(x) 4,75
b² 4ac 3² 4 ( 1) ( 7) 19 <0 donc le trinôme n a pas de racine.
L équation f(x) 0 n a pas de solution.
Allure de la courbe :
On a donc le tableau de signes :
x + f(x)
D après le tableau de signes, l inéquation f(x) 0 n a pas de solution : S .
II.
Une entreprise fabrique 2 à 300 tonnes de peinture par jour.On estime que les coûts de fabrication de tonnes de peinture, en euros, sont donnés par : C(x) 12x² 20x 6600, pour x compris entre 2 et 300.La peinture est vendue 2000 € la tonne. Tout kilogramme de peinture fabriqué est vendu.
1. Une tonne est vendue € donc 10 tonnes sont vendues € €.
Pour : Ainsi, la recette associée à la vente de 10 tonnes de peinture se monte à 20 000€ et les coûts associés à la fabrication de ces 10 tonnes se montent à 8 000€.
L’entreprise réalise donc dans ce cas un bénéfice de 20 000€ 8 000€ 12 000€.
2.
a. Une tonne étant vendu 2 000 €, on a : R(x) 2000x b.
Bénéfice Recette Coûts
B(x) R(x) C(x) 2000x (12x² 20x 6600) 2000x 12x² 20x 6600 B(x) 12x² 1980x 6600.
3. Résoudre l équation B(x) 0 (arrondir les racines au kg, c'est-à-dire à 0,001 tonne près) et interpréter les solutions par une phrase.
a 12 ; b 1980, c 6600.
b² 4ac 1980² 4 ( 12) ( 6600) 3 603 600 0 donc le trinôme a deux racines : x1
1980 3603600
24 161,596 et x2
1980 3603600
24 3,404
Les solutions de l équation B(x) 0 sont environ 151,596 et 3,404.
L entreprise ne gagne ni ne perd d argent lorsqu elle fabrique et vend 151 596kg ou 3 404kg de peinture.
4.
a. a 12 donc la fonction B est croissante puis décroissante. On a le tableau de variations : x 2 82,5 300 b
2a 82,5 B( ) 75 075
B(x) 75 075
2 688 492 600
b. L’entreprise doit produire et vendre (sur une journée) 825 tonnes de peinture pour réaliser un bénéfice maximal. Ce bénéfice maximal est 75 075€.
5. Allure de la courbe :
a. On a donc le tableau de signes :
b. D après le tableau de signes, l inéquation B(x) 0 a pour ensemble de solutions : S
[
x2 x1]
, soit environ S [3,404 151,596].L entreprise doit donc produire entre 3 404kg et 151596 kg pour faire un bénéfice.
x 3,404 151,596 +
B(x) +
