Séquence 6 Applications à la dérivation : Fiche d’exercices
Exercice 1
1. Voici la courbe représentative, dans un repère, d’une fonctionf dérivable sur l’intervalle [−5;6].
Dresser le tableau de signes de f′(x).
2. Une fonctiong est définie et dérivable sur l’intervalle [−3;4]. Voici sa courbe représentative obtenue à l’écran d’une calculatrice
(a) Conjecturer les nombres entiers solution de l’équationg′(x)=0.
(b) Conjecturer le signe deg′(x) selon les valeurs dex.
Exercice 2
f est une fonction dérivable sur l’intervalle [−5;5].
f est décroissante sur les intervalles [−5;−3] et [1;5], etf est croissante sur l’intervalle [−3;1].
1. Déterminer le signe def′(x) selon les valeurs dex.
2. Dans un repère, tracer l’allure possible de la courbe représentative def. Exercice 3
kest la fonction définie surRpar :
k(x)=2x3−12.06x2+24.24x−12
Pedro affirme que la fonctionkest strictement croissante surR. Que peut - on en penser? Justifier.
Exercice 4
f est la fonction définie surR\{3} par :
f(x)= x+1 2x−6 1. Vérifier que pour tout nombre réelx6=3, f′(x)= −8
(2x−6)2 2. Quel est le signe de f′(x)?
3. Dresser le tableau de variation de la fonctionf.
4. Afficher la courbe représentative de la fonctionf à l’écran de la calculatrice et vérifier la cohérence avec le tableau de variations.
g est la fonction définie surR\{−2} par :
f(x)= x2 x+2 1. Vérifier que pour tout nombre réelx6=3, f′(x)=x(x+4)
(x+2)2 2. Quel est le signe deg′(x)?
3. Dresser le tableau de variation de la fonctiong.
4. Afficher la courbe représentative de la fonctiong à l’écran de la calculatrice et vérifier la cohérence avec le tableau de variations.
Exercice 6
On considère la fonction f définie surRpar f(x)=(−3x2+12x−12)(x2+2x−1).
En vous aidant des informations suivantes , déterminer les variations de la fonctionf.
Exercice 7
Un entreprise extrait et vend une matière première. Pourxtonnes vendues, elle réalise un bénéfice, en euro, donné par la fonctionB définie sur l’intervalle [0;50] par :
B(x)= −x3+10x+3000x 1. DéterminerB′(x) et étudier son signe selon les valeurs dex.
2. En déduire le sens de variations deB.
3. Quelle quantité de matière première, en kg, l’entreprise doit-elle vendre pour réaliser un bénéfice maximum? Quel est alors ce bénéfice, en euro? Arrondir à l’unité
4. Contrôler le résultat à la calculatrice.
Exercice 8
Pour chaque fonction, déterminer les extremums locaux sur leur ensemble de définition.
Pour les fonctionspetq, aidez-vous des affichages du logiciel de calcul formel.
f(x)=2x3−3x2−36x+1 g(x)=2x+3
x2+4 h(x)= 4
x+x+10 p(x)=x2−2x+6
x+1 (Aide 1) q(x)=2x3+4x2+2x+4 (Aide 2)
Un logiciel de calcul formel donne les affichages suivants.
Aide 1 :
Aide 2 :
hest la fonction définie sur l’intervalle [0;1] par :
h(x)=x2−x3 1. Dresser le tableau de variation deh.
2. Justifier que pour tout nombre réelxde [0;1] :
h(x)>0
3. En déduire la position relative, dans un repère, de la courbe représentative de la fonctionx7→x2et de la courbe de la fonctionx7→x3sur l’intervalle [0;1].
Exercice 10
hest une fonction définie sur l’intervalle [0;+∞[ par :
h(x)= 2x x2+9 Vérifiez que, pour que tout nombre réelx>0,
h′(x)=2(3+x)(3−x) (x2+9)2 1. Dresser le tableau de variations de la fonctionhsur [0;+∞].
2. Démontrer que :
(a) Pour tout nombre réelx>0,
h(x)61 3 (b) Pour tout nombre réelx>5, 06h(x)60.3
Exercice 11
f est la fonction définie sur l’intervalle [1;500] parf(x)=x(24−px).
Mélanie affirme : " Pour tout nombre réelxde [1;500] , f(x)62000."
On supposef continue sur [1;500].
Voici un programme incomplet écrit en langage Python permettant de vérifier si l’affirmation de Mélanie est vraie ou non.
1. Compléter la ligne 9 pour que le programme aide Mélanie à vérifier son affirmation.
2. Montrer que pour toutx>1, f′(x)=24−1.5p x.
3. Déterminer un nombre réelMtel que , pour tout nombre réelxde [1;500],f(x)6M. 4. En déduire ce que renvoie le programme. Interpréter.
Exercice 13
Un industriel souhaite fabriquer une boîte sans couvercle à partir d’une plaque de métal de 18cmde largeur et 24cmde longueur. Pour cela, il enlève des carrés identiques aux quatre coins de la pièce de métal et relève ensuite verticalement pour fermer les côtés.
1. Déterminer la longueur du côté des carrés pour que la contenance de la boîte soit maximale.
2. Peut-il construire ainsi une boite dont la contenance est supérieure ou égale à 650cm3
Exercice 14
Une marque de soda a lancé une vaste campagne de publicité pour promouvoir une nouvelle boisson auprès des jeunes. La fréquence des jeunes connaissant ce nouveau soda est modélisée par la fonction f définie sur [0;+∞[ par :
f(t)=2t+1 2t+4
oùtdésigne le nombre de mois écoulés depuis le début de la campagne.
1. Quel est le pourcentage de jeunes qui connaissent cette boisson au début de la campagne? Quel est le pourcentage de jeunes qui connaissent cette boisson au bout d’un mois?
2. Étudier le sens de variation de la fonction f sur l’intervalle [0;+∞[.
3. Résoudre l’équationf(x)=0.75. Interpréter le résultat obtenu.
4. Au bout de combien de mois plus de 90 % des jeunes connaîtront-ils cette nouvelle boisson?
Un artisan fabrique des objets. Il ne peut en produire plus de 70 par semaine. Le coût de production, en euro, est modélisé par la fonctionC définie sur l’intervalle [0;70] par :
C(x)=0.01x3−1.05x2+91x+225 Chaque objet est vendu 80 euros.
1. (a) Quel est le montant des coûts fixes pour cet artisan?
(b) Combien lui coûte la production de 25 objets?
(c) Vérifier que la fonctionCest croissante sur l’intervalle [0;70].
2. Le bénéfice, en euro, qu’il retire de la reproduction et de la vente dexobjets, est modélisé par la fonctionB définie sur l’intervalle [0;70].
(a) ExprimerB(x) en fonction dex.
(b) Vérifier queB(25)=0
3. (a) Étudier les variations de la fonctionB sur l’intervalle [0;70]
(b) En déduire le nombre d’objets que l’artisan doit vendre et produire pour gagner de l’argent.
(c) En déduire le nombre d’objets que l’artisan doit vendre et produire pour que son bénéfice soit maximal.
Exercice 16
Exercice 17
Dans le triangle rectangle ABC, on a AB = 8 cm et BC = 6 cm. R se déplace sur [BC] et engendre un rectangle MNRB conformément à la figure ci-dessous.
1. Quelle position doit occuper R pour obtenir un rectangle d’aire maximale?
2. Même question pour obtenir un rectangle de périmètre maximal.
Voici une portion de la courbe représentativeC d’une fonctionf définie surRpar f(x)=mx3+nx2+px+q oùm, n,petq sont des nombres réels.
La droite (AB) est la tangente àC au pointA(1;−11) et la tangente àC enOa pour équationy= −12x.
1. Déterminer : (a) f(0) et f′(0) (b) f(1) et f′(1)
2. (a) En utilisant les résultats de la question 1a. , déterminerpetq. (b) En utilisant les résultats de la question 1b. , déterminermetn. 3. Étudier les variations de la fonctionf.
Exercice 19
Exercice 20
Dans un repère orthonormé,P est la parabole de sommet µ
0;−1 4
¶
représentée ci-dessous.Mun point deP d’abscisse comprise entre 0 et 0.5.
Déterminer la position du pointM pour laquelle l’aire du rectangle bleu est maximum.
ABC DE FG H est un cube d’arête 6 cm.Mest un point de l’arête [AB] etI un point de l’arête [AE] tels que AM=E I.
Version 1 :
On poseAM=E I=x
1. Exprimer le volumeV(x), encm3, deAMPQ I J K L en fonction dex.
2. Etudier les variations de la fonctionV sur l’intervalle [0;6].
3. En déduire la position du pointM sur l’arête [AB] pour laquelle le volumeV(x) est maximal.
Version 2 :
1. Déterminer la position du pointMsur l’arête [AB] pour laquelle le volume du solideAMPQ I J K L.
Exercice 22
hest la fonction définie sur l’intervalle [−6;6] parh(x)= −2
9x2+8 etP sa courbe dans un repère.
1. Déterminer la position du pointBqui maximise l’aire de ABC. Exercice 23
f est la fonction définie surRpar :
f(x)=0.15x5−2x3+12x+200 1. (a) Déterminer la fonction dérivéef′de f.
(b) Déterminer la fonction dérivée f" def′.
On dit que f" est la dérivée seconde de la fonctionf.
2. (a) Étudier le signe de f"(x), puis dresser le tableau de variation def′. (b) Déterminer le signe de f′(x).
(c) En déduire le sens de variation de la fonction f.
