A541 - Deux nombres miroirs

On recherche les entiers k, m et n avec k > 1 et  m ≠ n  tels que les représentations

décimales des deux nombres k^m + 1 et kⁿ + 1 se déduisent l’une de l’autre par inversion de l’ordre de lecture des chiffres.

Démontrer que k prend une valeur unique et déterminer un triplet (k,m,n) qui satisfait cette condition.

Nous pouvons supposer n<m. Deux nombres miroirs ont le même nombre de chiffres, et la même somme de chiffres : leur différence d est donc divisible par 9, et donc d=k^m-kⁿ=kⁿ(k-1)(k^m-n-1+...+k+1)

Si k≥4, la contrainte du même nombre de chiffre impose m=n+1, mais alors d ne peut être divisible par 9.

Si k=2, 1+2+...+2^m-n-1 doit être divisible par 9, donc m-n vaut au minimum 6, et les nombres ne peuvent avoir le même nombre de chiffres.

Ne reste que la possibilité k=3 : une première solution évidente est n=3, m=4 soit 3³+1=28 et 3⁴+1=82.

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