A369. Des nombres miroirs
Le carré parfait 36 = 62 peut s'écrire de cinq façons comme la différence de deux nombres de deux chiffres qui sont miroirs l'un de l'autre : 36 = 51 − 15 = 62 − 26 = 73 − 37 = 84 − 48 = 95 − 59
Démontrer qu'il existe en base 10 une infinité de carrés parfaits N2 qui peuvent s'écrire de cinq façons comme la différence de deux nombres miroirs ayant le même nombre de chiffres que N2.
Soit X compris entre 5 et 9 et Y=X-4,
Et un nombre N de la forme XX...XYY...Y dans le quel X et Y sont des chiffres répétés n fois.
Alors N – μ ( N ) ou μ ( N ) est le nombre miroir associé à N peut s'écrire :
N = XX...XYY...Y – YY...YXX...X
N = X ( 10^(2n) -1 ) / 9 - 4 ( 10^n – 1 ) / 9 - ( X-4 ) ( 10^(2n) – 1) / 9 - 4 ( 10^n – 1 ) / 9
N = 4 ( 10^2n – 1 ) / 9 – 8 ( 10^n – 1 ) / 9 N= 4 / 9 ( 10^2n -2 10^n +1)
N= 4/9 ( 10^n – 1 ) ^2 N = [ 2 ( 10^n – 1 ) / 3 ] ^2
N= 66..6^2 ou le chiffre 6 est répété n fois.
On peut donc obtenir le carré de 66666...66 en faisant N – μ ( N ) pour X = 5, 6, 7, 8 ou 9
N = XX...XYY...Y – YY...YXX...X = 666...6 ^2 avec X= Y+4 pour X allant de 5 à 9 avec autant de chiffres qu'on le souhaite, le carré de 666...66 (n fois) ayant 2n chiffres.
Petit bonus : Pour plus de 2 chiffres, on peut déduire du cas X = 8 une sixième solution : 2211 – 1122 = 33^2 = 1089
222111-111222 = 333^2 = 110889
… etc
