A364. Les nombres miroirs
Pour tout entier positif n, soit f(n) - appelé miroir de n - la représentation décimale du nombre obtenu en écrivant n en binaire puis en remplaçant tout chiffre 0 par 1 et vice-versa. Par exemple pour n = 17 dont la représentation binaire est 10001,le "miroir" s'écrit 01110, soit f(n) = 14.
Q1 On s'intéresse aux entiers n tels que n est un multiple entier k de son miroir f(n).
- démontrer que l'entier k n'est jamais impair, - démontrer que pour tout entier k pair
1) il existe au moins un entier n tel que n = k.f(n) 2) il existe une infinité d'entiers n tels que n = k.f(n) Application numérique k = 24 et k = 2016
Q2 Soient S(n) la somme des entiers de 1 à n et la somme des f(i) pour i variant de 1 à n,
- déterminer les entiers n tels que s(n) est un carré parfait.
- déterminer les entiers n tels que S(n) = 3s(n).
Solution proposée par Claudio Baiocchi
La propriété de base (de vérification immédiate !) est que :
Si alors
En particulier, si , pour un convenable on aura ; équation qu’on peut regarder comme définition de en fonction de et :
On remarquera que, quels que soient et , si est défini par (**) on a ; en particulier, d’après , on a . Il ne reste qu’à décrire les couples tels que la formule donne une valeur entière pour . On voit tout de suite qu’on ne peut pas travailler avec impair : la fraction aurait numérateur impair et dénominateur pair. Par ailleurs, lorsque est pair, il faut et il suffit que soit multiple de (car et n’ont pas de facteurs communs) ; on est donc ramené à montrer que, quel que soit impair, il existe au moins une valeur de telle que :
Naturellement on aura ainsi répondu à chacune des questions de Q1 car, si est une solution, tous les multiples de sont aussi des solutions.
Quoique dans un cadre différent, la recherche de la solution la plus petite de est un problème bien connu : si l’on remplace le nombre « 2 » par « 10 » et la condition « est impair » par « n’a
pas de facteurs communs avec 10 », la plus petite valeur de qui satisfait est la longueur de la période dans la description de la fraction en termes de développement décimal périodique . Pour ce qui concerne les applications numériques suggérées on a :
se fait à la main : donc ; si l’on veut évaluer n, toujours à la main on a
.
semble hors portée à la main ; déjà une simple calculette est suffisante à donner , mais l’évaluation de par la formule donnée dans n’est pas possible en arithmétique entière. Des calculs approchés sont en tout cas possibles, et donnent pour la valeur 1,3991464428081473997532857082381 E+101.
Remarques. Pour ce qui concerne le cas de , on pourrait faire appel au petit théorème de Fermat : puisque 2017 est un nombre premier, on a ; naturellement rien n’empêche que quelque diviseur de 2016 (tel que 336) puisse fournir une solution plus petite. Un résultat plus général, qui ne demande pas la primalité de , est fourni par la fonction de Euler, qui donne aisément la valeur 20 dans le cas de et qui (avec beaucoup de patience) permettrait de retrouver la valeur 336 dans le cas de .
S’agissant de Q2, il est bien connu que ; l’évaluation de s(n) est plus compliquée, et se simplifie si l’on regarde ce qui se passe lorsque varie entre une puissance de 2 et la suivante ; en fait on vérifie aisément la propriété, utile aussi du point de vue algorithmique :
lorsque croit de jusqu’à , décroit de jusqu’à 0
et donc l’expression déjà indiquée pour fournit :
Avant de nous plonger dans des calculs compliqués, on va demander à l’ordinateur de nous aider en montrant les « petites » solutions des deux problèmes. Laissant croitre de 1 à 65535 on trouve :
1. Pour et 65534 on a .
2. Pour , 340 ,492, 682, 1364, 1523, 2586, 2730, 3434, 4137, 4497, 5460, 5521, 10922, 12867, 21844, 28585, 42154 et 43690 la valeur de est un carré parfait.
Pour ce qui concerne la deuxième liste on a un renseignement supplémentaire : pour presque toute valeur paire de la valeur de est le carré de (les cas exceptionnels sont écrits en gras) .
Malheureusement on ne voit aucune autre propriété ; au contraire la première liste nous suggère clairement qu’il faut étudier ce qui se passe pour les nombres du type .
Et en fait, sachant où chercher, la propriété devient immédiate. Lorsque (c’est-à-dire
avec ) on a ; par récurrence il suffit donc contrôler que pour tout la différence (qui vaut ) est le triple de la différence qui, d’après , vaut .
Naturellement rien (l’ordinateur mis à part) ne nous assure qu’on a trouvé toutes les solutions ; pour ça, ainsi que pour répondre à la deuxième question de Q2, il faut travailler un peu plus, cherchant une formule générale pour . D’un côté, à partir de (5) et de , on a que :
et donc, grâce à :
Pour on a
Pour compléter la réponse à la première question de Q2, on doit montrer que, pour et pour l’équation :
n’admet que la solution ; et en fait, simplifiant, on tombe sur . Il ne reste qu’à traiter la deuxième question de Q2 qui, d’après , demande de trouver les entiers positifs et avec tels que :
N’ayant aucun espoir de caractériser toutes les solutions, on va se borner aux remarques suivantes :
Dans la liste des petites solutions on trouve des éléments (tels que 2, 10, 42, 170, …) tels que aussi est dans la liste. Insérant la liste dans L'Encyclopédie en ligne des suites de nombres entiers on découvre qu’il s’agit des termes initiaux de la série A020988 ; ce sont les nombres de la forme . Décomposant avec , à partir de des calculs un peu rébarbatifs donnent .
Pour exploiter un’autre famille de solutions pour la deuxième question de Q2 on va faire confiance à l’ordinateur qui, ainsi que déjà remarqué, dit que pour la suite des doubles
on a .
