A364. Les nombres miroirs
Pour tout entier positif n, soit f(n) - appelé miroir de n - la représentation décimale du nombre obtenu en écrivant n en binaire puis en remplaçant tout chiffre 0 par 1 et vice-versa. Par exemple pour n = 17 dont la représentation binaire est 10001, le "miroir" s'écrit 01110, soit f(n) = 14.
Q1 On s'intéresse aux entiers n tels que n est un multiple entier k de son miroir f(n).
- démontrer que l'entier k n'est jamais impair, - démontrer que pour tout entier k pair
1) il existe au moins un entier n tel que n = k.f(n) 2) il existe une infinité d'entiers n tels que n = k.f(n) Application numérique k = 24 et k = 2016
Q2 Soient S(n) la somme des entiers de 1 à n et s(n) =
n
i
i f
1
la somme des f(i) pour i variant de 1 à n,
- déterminer les entiers n tels que s(n) est un carré parfait.
- déterminer les entiers n tels que S(n) = 3s(n).
Solution de Paul Voyer Q1
Les f(n) sont donnés dans http://oeis.org/A035327
M = n+f(n) est un nombre de Mersenne (de la forme 2m-1), avec m=|log2(n)|+1.
Si n=k.f(n), alors M = n+f(n) impair est divisible par k+1, donc k est pair.
A k donné pair, il suffit de trouver un M divisible par k+1.
Il en existe toujours un entre 1 et 2k+1 car en binaire, M est un repunit et k+1 est premier avec la base 2.
En effet, au moins l'un des M(i) est un multiple de k+1 (1 ≤ i ≤ k+1).
Sinon, d'après le principe des tiroirs, deux d'entre eux seraient congrus modulo k+1 car il n'existe que k valeurs possibles non nulles modulo k+1, leur différence, de la forme 2pM(q) serait multiple de k+1, contradiction.
Les valeurs successives de 2n-1 modulo k+1 forment une suite périodique car Ri ne dépend que de Ri-1, on retrouve donc 0 une infinité de fois.
Application numérique :
k=24 M = 25*41943 = 1048575 = 220-1 La période est 20.
f(n) = 41 943, n = 24*41 943 = 1 006 632
k=2016 M=2336-1 La période est 336.
2336 - 1 =
3^2×5×7^2×13×17×29×43×97×113×127×241×257×337×673×1429×2017×3361×5153×5419×14449×1579 0321×25629623713×54410972897×88959882481×1538595959564161
Q2
La séquence des n pour lesquels s(n) est un carré est :
1,2,3,4,10,17,20,42,84,115,170,195,791,849,2054. aucun autre jusqu'à 10 000.
La séquence des n pour lesquels S(n)=3s(n) est :2,6,14,30,62,126. ...aucun autre jusqu'à 10 000
Ces séquences ne sont pas dans OEIS.
