A364 - Les nombres miroirs

Pour tout entier positif n, soit f(n) - appelé miroir de n - la représentation décimale du nombre obtenu en écrivant n en binaire puis en remplaçant tout chiffre 0 par 1 et vice-versa. Par exemple pour n = 17 dont la représentation binaire est 10001,le "miroir"s'écrit 01110, soit f(n) = 14.

Q₁ On s'intéresse aux entiers n tels que n est un multiple entier k de son miroir f(n).

- démontrer que l'entier k n'est jamais impair, - démontrer que pour tout entier k pair

1) il existe au moins un entier n tel que n = k.f(n) 2) il existe une infinité d'entiers n tels que n = k.f(n) Application numérique k = 24 et k = 2016

Q₂ Soient S(n) la somme des entiers de 1 à n et s(n) = la somme des f(i) pour i variant de 1 à n,

- déterminer les entiers n tels que s(n) est un carré parfait.

- déterminer les entiers n tels que S(n) = 3s(n).

Nous avons n+f(n)=2^h-1, 2^h étant la plus petite puissance de 2 supérieure à n :

f(n)<2^h-1, f(2^h-1)=0 : f(n)= 0, 1, 0, 3, 2, 1, 0, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0, 15, 14, ..., 1, 0, 31,...

Q1 Si n=kf(n), (k+1)f(n)=2^h-1 : le second membre est impair, k+1 impair, et k pair.

Modulo k+1, 2^h prend un nombre fini de valeurs non nulles : il existe i et j, avec i>j, tels que 2ⁱ=2^j (mod k+1), donc pour h=i-j, 2^h-1 est divisible par k+1, (ainsi que 2^mh-1 pour tout entier m). Le quotient de 2^h-1 par k+1 est la valeur de f(n) cherchée.

Pour k=24, 2²⁰=1048076=1 (mod 25) f(n)=41943, n=1006632 Pour k=2016, 2³³⁶=1 (mod 2017), donc n=2016*(2³³⁶-1)

Q2 ; s(2^h+1-2)-s(2^h-2)=1+2+...+(2^h-1)=2^h-1(2^h-1) ; S(2^h-2)=(2^h-1)(2^h-1-1) donc S(2^h+1-2)-S(2^h-2)=(2^h-1)(2^h+1-2^h-1)=3*2^h-1(2^h-1)=3(s(2^h+1-2)-s(2^h-2)) et comme

S(2)=3=3s(2), S(2^h-2)=3s(2^h-2) pour tout h. Ce sont les seules valeurs répondant à la question puisque le rapport S(n)/s(n) est inférieur à 3 pour n=2^h-1, puis supérieur à 3 pour n=2^h, et jusqu’à n=2^h+1-2.

f(2^h)=2^h-1, et f(2^h-i-1)+f(2^h+i)=2^h-1 pour 0≤i<2^h-1 : donc s(2^h+i)-s(2^h-i-2)=(i+1)(2^h-1) ; Comme s(2)=1, s(4)-s(2)=3=(2-1)(2+1)=2²-1² : donc s(2)=2².

s(10)-s(4)=3*(8-1)=(5-2)(5+2) : donc s(10)=5²

Par une récurrence immédiate, on peut construire la suite an telle que a1=1, a2p=2a2p-1, a2p+1=2a2p+1, et s(2an)=an2 : an=1, 2, 5, 10, 21, 42, ... Ce ne sont pas cependant les seules valeurs telles que s(n) soit un carré : par exemple s(17)=64

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