Fonctions entières à valeurs dans un corps de nombres

Bulletin

SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE

Publié avec le concours du Centre national de la recherche scientifique

de la SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE

Tome 139 Fascicule 2

2011

FONCTIONS ENTIÈRES À VALEURS DANS UN CORPS DE NOMBRES

Mohammed Ably

FONCTIONS ENTIÈRES À VALEURS DANS UN CORPS DE NOMBRES

par Mohammed Ably

Résumé. — SoitΓ un sous-groupe de rang maximal d’un corps de nombresk. On montre qu’une fonction entière, envoyantΓdans l’anneau des entiers d’une extension finie dek, de croissance analytique et arithmétique faibles est un polynôme. Ce résultat étend un théorème bien connu de Pólya. On montre également que ce résultat est à constante près optimal.

Abstract (Entire functions with values in a number field). — LetΓbe a subgroup of maximal rank in a number field k. We prove that any entire function onΓwith integer values in an finite extension ofkwhich has slow analytic and arithmetic growth is a polynomial. This extends the well-known Pólya’s theorem. We show also that this result is optimal up to a constant.

1. Introduction

En 1915, G. Pólya [7] montra grâce à une méthode d’interpolation qu’une fonction entièref vérifiantf(N)⊂Zet dont la croissance est plus faible que la fonction z→2^z est un polynôme.

Texte reçu le 17 septembre 2009, accepté le 19 mai 2010

Mohammed Ably, UFR de mathématiques - Laboratoire Paul Painlevé - UMR 8524 du CNRS, Bât. M2, Université des Sciences et Technologies de Lille, F-59655 Villeneuve D’Ascq Cedex (France) • E-mail :ably@math.univ-lille1.fr

Classification mathématique par sujets (2000). — 11C08, 11H06, 30D15.

Mots clefs. — Corps de nombres, fonction entière, polynôme, réseau, interpolation.

BULLETIN DE LA SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE 0037-9484/2011/243/$ 5.00

©Société Mathématique de France

En 1978, M. Waldschmidt [10] introduisit les méthodes de transcendance dans l’étude des fonctions entières à valeurs entières et redémontra en particu- lier une version non optimale du résultat de Pólya ci-dessus.

En développant la preuve de Waldschmidt, F. Gramain [4] améliora en1980 les résultats antérieurs sur l’analogue du résultat de Pólya pour les entiers de Gauss. Si K est un corps quadratique imaginaire et Z_K l’anneau des entiers de K, il montra qu’une fonction entièref d’ordre de croissance ≤2 de type de croissance suffisamment petit en fonction du discriminant deK et vérifiant f(Z_K)⊂Z_K est un polynôme.

Par ailleurs, d’après un résultat de P. Stäckel [8] que F. Gramain a étendu dans [5], siS est une partie dénombrable deC(resp.R) etT une partie dense dans C (resp. R), alors il existe une fonction entière d’ordre de croissance arbitrairement petit qui envoieS dansT.

Dans le cadre général d’un corps de nombres K, exceptés les cas K = Q et Kquadratique imaginaire, le groupeZK considéré plongé dansC est dense dans R ouC selon que K est réel ou complexe. Alors, en dehors de ces cas exceptionnels, vu le résultat de Stäckel, si f est une fonction entière laissant stable ZK, une hypothèse de nature analytique portant sur la croissance def ne suffit pas pour montrer quef est algébrique.

Ce problème a été traité dans [1] par une méthode d’interpolation polyno- miale.

Dans ce texte, nous obtenons, en utilisant une méthode de transcendance un résultat qui raffine et généralise les résultats antérieurs dans ce domaine.

Soient k un corps de nombres de degré n ≥ 2 sur Q et K une extension finie de k. SoientZ_K l’anneau des entiers deKet S_K,∞ l’ensemble des places archimédiennes deK. Pourv ∈S_K,∞,on note n_v = 1(resp. 2) si v est réelle (resp. complexe) etσv un plongement associé àv.

SoitΓun sous-groupe dekde rangnsurZ. On identifieΓ(voir le paragraphe 2) à un réseau de Rⁿ et on désigne parD(Γ)le déterminant de ce réseau. On note ν(Γ) = ^π

n 2

Γ(ⁿ₂+1)D(Γ), oùΓest la fonction Gamma d’Euler.

La norme euclidiennek.ksurRⁿest définie surΓvia l’identification deΓà un réseau de Rⁿ.

Si f est une fonction entière, on note|f|_R= sup_|z|=R|f(z)|.

On obtient comme corollaire du théorème 5.1 de ce texte, le résultat suivant : Corollaire 1.1. — Soient k un corps de nombres de degrén≥2 sur Q et K une extension finie de k que l’on considère plongée dans C parσv₀. SoitΓ un sous-groupe de k de rang n sur Z. Soient f une fonction entière telle que f(Γ) ⊂ Z_K et (α_v)_v∈S

K,∞ des nombres réels > 0 satisfaisant les conditions suivantes :

(1) e

n(2−nv0) (n−1)nv0 αv₀

Y

v∈SK,∞

v6=v₀

e

nnv αv

ν(Γ)nv0 <ν(Γ) ne , (2) lim sup_R→+∞^log_R^|f|n^R ≤αv₀,

(3) pour toutv∈S_K,∞\ {v0} et tout nombre réelr assez grand, maxx∈Γ

kxk≤r

log|σv(f(x))| ≤αvrⁿ.

Alorsf est un polynôme.

Si le corpsKest quadratique, ce corollaire s’énonce selon que Kest imagi- naire ou réel de la manière suivante :

Corollaire 1.2. — SoientKun corps quadratique imaginaire que l’on consi- dère plongé dans C etΓ un sous-groupe deK de rang 2. Soit f une fonction entière telle quef(Γ)⊂Z_K et satisfaisant la condition

lim sup

R→+∞

log|f|R

R² < π 2D(Γ)e. Alorsf est un polynôme.

Ainsi, quand Γ est l’anneau des entiers deK, on retrouve le résultat de F.

Gramain cité ci-dessus.

Corollaire 1.3. — Soient K un corps quadratique réel, que l’on considère plongé dans C par σv₀ et Γ un sous-groupe de K de rang 2. Soit σv₁ l’autre plongement de K dans C. Soient f une fonction entière telle que f(Γ)⊂ZK

et α₀, α₁ deux nombres réels positifs satisfaisant les conditions : (i) α0 exp(^2D(Γ)α_π ¹)<_2D(Γ)^πe−3 ,

(ii) lim sup_R→+∞^log_R^|f|2^R ≤α0,

(iii) pour tout nombre réel r assez grand, maxu∈Γ

kuk≤r

log|σv₁(f(u))| ≤α1r².

Alorsf est un polynôme.

Dans le cas oùkest un corps cyclotomique premier, on obtient le corollaire suivant :

Corollaire 1.4. — Soitpun nombre premier6= 2. Soient ζ une racine pri- mitive pième de 1 et K un corps de nombres contenant ζ que l’on considère plongé dans C parσ_v0. On pose :

κ= (2π)^1−p2 (p−1

2 )!(p−1)p^p−22 .

Soient f une fonction entière telle que f(Z[ζ]) ⊂ ZK et (αv)_v∈S

K,∞ des nombres réels positifs satisfaisant les conditions :

(i) αv₀

Y

v∈SK,∞

v6=v₀

e^καv < 1 κe, (ii) lim sup_R→+∞^log_Rp−1^|f|R ≤αv₀,

(iii) pour toutv∈SK,∞\ {v0} et tout nombre réelr assez grand, max _u∈Γ

kuk≤r

log|σv(f(u))| ≤αvr^p−1. Alorsf est un polynôme.

D’autre part, le théorème 5.2 (voir le paragraphe 5) montre que le théorème 5.1 est à constante près optimal. Une version simplifiée du théorème 5.2 est le corollaire suivant :

Corollaire 1.5. — Soient k un corps de nombres de degrén≥2 sur Q et K une extension finie de k, non quadratique imaginaire, que l’on considère plongée dans C par σ_v0. Soit Γ un ordre de k. Alors, il existe une fonction entière non polynomiale f,une constanteC=C(k,K,Γ)> ^ν(Γ)_ne effectivement calculable et des nombres réels positifs (α_v)_v∈S

K,∞ satisfaisant : e

n(2−nv0)

(n−1)nv0 α_v0 Y

v∈SK,∞

v6=v0

e

nnv αv ν(Γ)nv0 ≤C

et tels que l’on ait les propriétés suivantes : (i) f(Γ)⊂ZK,

(ii) lim sup_R→+∞^log_R^|f|n^R ≤αv₀

(iii) pour toutv∈S_K,∞\ {v0} et tout nombre réelr assez grand, maxx∈Γ

kxk≤r

log|σv(f(x))| ≤αvrⁿ.

La preuve du théorème 5.1 relève d’une méthode de transcendance. On montre selon une idée de F.Gramain qu’une fonction satisfaisant les condi- tions du corollaire 1.1 vérifie des équations aux différences finies. Cela permet de montrer qu’elle est de croissance suffisamment lente pour conclure qu’elle

est polynomiale. La partie analytique de la preuve est basée sur l’utilisation des polynômes d’interpolation surΓ étudiés dans la section 3 de ce texte.

Le plan de ce texte est le suivant : dans la section 2, on présente les notations et les lemmes auxiliaires. Dans la section 3, on définit des polynômes d’inter- polation sur Γ. Dans la section 4, on étudie les séries d’interpolation, selon une base formée de polynômes d’interpolation sur Γ, associées à une fonction entière. La section 5 est consacrée à la preuve des énoncés ci-dessus.

2. Notations et lemmes auxiliaires

On note SK l’ensemble des places v de K normalisées de telle sorte qu’on ait : sivest archimédienne,|x|_v=|x|pourx∈Qet sivestp-adique,|p|_v=_p¹. On désigne par K_v le complété de Kpour la valeur absolue | |_v et on pose : nv = [Kv : Qv]. Ainsi, pour tout x∈ K\ {0}, on a la formule du produit : Q

v∈SK|x|ⁿ_v^v = 1.

Pour v∈S_k,∞, on considère, selon quev est réelle ou complexe, le plonge- ment dekdansCassocié àv ou l’un des deux plongements conjugués associés à v qu’on noteσ_v et pourxdansk, on pose :

x_v=

( Re(σv(x)),Im(σv(x))

siv est complexe

σv(x) siv est réelle.

On désigne par xle vecteur(xv)_v∈Sk,∞ deRⁿ et parkxk la norme euclidienne de ce vecteur.

Soit(γ1, . . . , γn)une base deΓsurZ. On a :k=Q(γ1, . . . , γn).Les vecteurs γ₁, . . . , γ_n forment une base de l’espace vectoriel Rⁿ. Notons

R

Γ le réseau Zγ1+· · ·+Zγ

n deRⁿ.

Les matrices de changement de bases de Γ étant unimodulaires, la valeur absolue du déterminant de(γ₁, . . . , γ_n)ne dépend pas de la base deΓ choisie, c’est le déterminant du réseau

R

Γ.NotonsD(Γ)ce déterminant.

Soient D_k le discriminant du corps ket σ₁, . . . , σ_n lesnplongements de k dansC. Par multilinéarité, on a :

|det σ_i(γ_j)_1≤i,j≤n

|= 2^s|det(γ

1, . . . , γ

n)|

oùsdésigne le nombre de places complexes dek.

Ainsi, dans le cas particulier oùΓest l’anneau des entiers dek, on a :

|D_k|= 2^sD(Γ)² . (2.1)

En identifiant C à R² par le morphisme z 7→ (Re(z),Im(z)), on identifie l’espaceQ

v∈Sk,∞kv à l’espaceRⁿ. Pour v∈Sk,∞, on associe la projection Rⁿ→k_v

t 7→tv.

Dans ce paragraphe, si f et g sont deux fonctions réelles positives, on note f gs’il existe une constanteC >0ne dépendant que deKetΓtel que pour tout nombre réel xassez grand, on aitf(x)≤Cg(x).

On utilisera aussi les symboles oetO de Landau.

SoitF le domaine fondamental du réseau

R

Γ relatif à la base(γ

1, . . . , γ

n).

On note Fx le translaté de F par le vecteur x de Rⁿ et V(F) = D(Γ) son volume. On pose δ= max_t,t⁰_∈F

t6=t⁰

kt−t⁰k.

On note B(0, R) la boule euclidienne fermée de centre 0 et de rayon R de Rⁿ. Si Γ⁰ est une partie de Γ, on note Γ⁰_R =ψ(Γ⁰)∩B(0, R)\ {0}, oùψ est l’isomorphisme de groupes

Γ=P

iZγ_i→

R

Γ

P

iλiγi 7→P

iλiγ_i. Comme

R

Γ est un réseau deRⁿ, on a :

Card(ΓR) =ν(Γ)Rⁿ+O(Rⁿ⁻¹).

(2.2)

Le lemme suivant permet de ramener l’estimation asymptotique de cer- taines sommes discrètes portant sur ΓR à l’estimation de sommes continues surB(0, R).

Lemme 2.1. — SoitΓ⁰ une partie deΓ. Soitf :Rⁿ →Rune fonction locale- ment intégrable au sens de Lebesgue.

Soient hetg :Rⁿ →Rdes fonctions positives telles que la fonction g soit localement intégrable au sens de Lebesgue et telles que les conditions suivantes soient satisfaites

X

x∈Γ⁰_R

h(x) =o(Rⁿ) (2.3)

Z

B(0,R+δ)

g(t)dt=o(Rⁿ).

(2.4)

(i) On suppose que pour tout x∈ Γ⁰_R, pour presque (au sens de Lebesgue) toutt∈F_x,

f(x)−h(x)≤f(t) +g(t)

et on suppose en plus que l’une des conditions suivantes est satisfaite Z

B(0,R+δ)\S

x∈Γ0 R

Fx

|f(t)|dt=o(Rⁿ) (2.5)

f est positive surB(0, R+δ).

(2.6)

Alors on a : X

x∈Γ⁰_R

f(x)≤ 1 D(Γ)

Z

B(0,R+δ)

f(t)dt+o(Rⁿ).

(ii) Réciproquement, si pour toutx∈Γ⁰_R, pour presque toutt∈F_x, f(t)−g(t)≤f(x) +h(x)

et si en plus la condition(2.5)est satisfaite, alors on a : 1

D(Γ) Z

B(0,R+δ)

f(t)dt≤ X

x∈Γ⁰_R

f(x) +o(Rⁿ).

Démonstration. — (i) Pourx∈Γ⁰_R,on a : f(x)

Z

F_x

dt≤ Z

F_x

f(t)dt+ Z

F_x

g(t)dt+h(x) Z

F_x

dt.

Comme la réunion S

x∈Γ⁰_RFx est disjointe et S

x∈Γ⁰_RFx ⊂B(0, R+δ), on obtient

X

x∈Γ⁰_R

f(x)≤ _V(F)¹ Z

S

x∈Γ0 R

F_x

f(t)dt+ 1 V(F)

Z

B(0,R+δ)

g(t)dt

+ X

x∈Γ⁰_R

h(x).

Les conditions(2.3),(2.4),(2.5)(ou(2.6)) étant satisfaites, on en déduit que X

x∈Γ⁰_R

f(x)≤ 1 V(F)

Z

B(0,R+δ)

f(t)dt+o(Rⁿ).

(ii) Dans l’autre sens, on a : 1

V(F) Z

S

x∈Γ0 R

F_x

f(t

dt)≤ X

x∈Γ⁰_R

f(x) + 1 V(F)

Z

B(0,R+δ)

g(t)dt

+ X

x∈Γ⁰_R

h(x)

≤ X

x∈Γ⁰_R

f(x) +o(Rⁿ).

Cette inégalité jointe à la condition(2.5) entraîne 1

V(F) Z

B(0,R+δ)

f(t)dt)≤ X

x∈Γ⁰_R

f(x) +o(Rⁿ).

L’objet du lemme suivant est de calculerR

B(0,R)log|^z−t_t ^v

v |dt, pour un nombre complexezet une place complexev. Le calcul de cette intégrale fait intervenir la fonction réelle définie par :

φ0(x) = Z x

0

1−(1−y²)ⁿ²

y dy.

On pose :φ₀(1) =c₀(n).

Lemme 2.2. — Soient R >0 un nombre réel,z6= 0un nombre complexe et v une place complexe. Alors, on a :

(i) si|z| ≥R, R

B(0,R)log|^z−t_t ^v

v |dt= ^π

n 2

Γ(ⁿ₂+1) Rⁿ log^|z|_R +c0(n) (ii) si|z| ≤R,R

B(0,R)log|^z−t_t ^v

v |dt= ^π

n2

Γ(ⁿ₂+1)Rⁿφ₀(^|z|_R)

Démonstration. — NotonsV_n(ρ)le volume de la boule euclidienne de Rⁿ de rayonρ. On a :

Z

B(0,R)

log|z−t_v tv

|dt= Z R

0

Z 2π 0

ρVn−2(p

R²−ρ²) log|z−ρe^iθ| ρ dρdθ.

La formule de Jensen ([9], 1.5.3) entraîne Z 2π

0

log|z−ρe^iθ|dθ= 2πmax(log|z|,logρ).

Par conséquent, si|z| ≥R,on a : Z

B(0,R)

log|z−tv

tv

|dt= 2π Z R

0

ρV_n−2(p

R²−ρ²) log|z ρ|dρ

= 2πⁿ² Γ(ⁿ₂)Rⁿ

Z 1 0

x(1−x²)ⁿ⁻²² log |z|

Rxdx.

Si |z| ≤R,on a : Z

B(0,R)

log|z−t_v tv

|dt= 2π Z |z|

0

ρV_n−2(p

R²−ρ²) log|z ρ|dρ

= 2πⁿ² Γ(ⁿ₂)Rⁿ

Z ^|z|_R

0

x(1−x²)ⁿ⁻²² log |z|

Rxdx.

Or, pour un nombre réel α >0, on a : Z α

0

x(1−x²)ⁿ⁻²² dx= 1

n 1−(1−α²)ⁿ² . D’autre part, à l’aide d’une intégration par parties, on a :

− Z α

0

x(1−x²)ⁿ⁻²² logxdx= 1 n

Z α 0

1−(1−x²)ⁿ²

x dx+ 1

n (1−α²)ⁿ² −1 logα.

Ainsi, en tenant compte de l’égalité ⁿ₂Γ(ⁿ₂) = Γ(ⁿ₂ + 1), on obtient : si |z| ≥R,

Z

B(0,R)

log|z−tv

t_v |dt= πⁿ²

Γ(ⁿ₂ + 1)Rⁿ log|z|

R +c0(n) et

si |z| ≤R, Z

B(0,R)

log|z−tv

t_v |dt= πⁿ²

Γ(ⁿ₂+ 1)Rⁿφ0(|z|

R).

Dans le cas oùv est réelle, pour avoir un énoncé analogue au précédent, on introduit la fonction réelle définie par

φ₁(x) = Γ(ⁿ₂+ 1)

√πΓ(ⁿ⁺¹₂ ) Z 1

0

(1−y²)ⁿ⁻¹² log(x²+y² y² )dy.

L’estimation de cette intégrale fait intervenir la fonction Bêta d’Euler qui est définie par

B(α, λ) = Z 1

0

x^α−1(1−x)^λ−1dx; α >0, λ >0.

On rappelle que cette fonction est liée à la fonction Gamma par la formule d’Euler ([3], p. 128) suivante

B(α, λ) =Γ(α)Γ(λ) Γ(α+λ). (2.7)

On pose :c1(n) =φ1(1).

Lemme 2.3. — Soient R >0 un nombre réel,z6= 0 un nombre complexe non nul et v est une place réelle. Alors, on a :

(1)

Z

B(0,R)

log|z−tv

t_v |dt≤ πⁿ²

Γ(ⁿ₂ + 1) Rⁿφ1(|z|

R).

De plus, on a : (i) si|z| ≤R, R

B(0,R)log|^z−t_t ^v

v |dt≤ ^π

n 2

Γ(ⁿ₂+1) c₁(n)Rⁿ (ii) si|z| ≥R, R

B(0,R)log|^z−t_t ^v

v |dt≤ ^π

n 2

Γ(ⁿ₂+1) Rⁿ c1(n) + log^|z|_R .

(2) Si |z| ≥R,on a : Z

B(0,R)

log|z−t_v tv

|dt≥ πⁿ²

Γ(ⁿ₂+ 1)Rⁿ

c1(n) + log|z|

R − 1

n−1

.

Démonstration. — En utilisant le changement de variable tv → −tv quand tv<0, on obtient :

Z

B(0,R)

log|z−tv

tv

|dt= Z R

0

V_n−1 p

R²−tv2

log|z²−tv2| t_v² dt (2.8)

= πⁿ⁻¹² Γ(ⁿ⁺¹₂ )Rⁿ

Z 1 0

(1−y²)ⁿ⁻¹² log|z²−R²y²| R²y² dy Donc, on a :

Z

B(0,R)

log|z−t_v tv

|dt≤ πⁿ²

Γ(ⁿ₂ + 1)Rⁿφ₁(|z|

R).

De plus, si|z| ≤R, on a : φ1(^|z|_R)≤φ1(1),d’où le résultat (i).

Si |z| ≥R, on a :

φ₁(|z|

R)≤φ₁(1) +Alog|z|

R, oùA= √^2Γ(n2+1)

πΓ(ⁿ⁺¹₂ )

R1

0(1−y²)ⁿ⁻¹² dy.

Or, on a : Z 1 0

(1−y²)ⁿ⁻¹² dy= 1 2

Z 1 0

(1−x)ⁿ⁻¹² x⁻¹² dx=1

2B(n+ 1 2 ,1

2) et on déduit de (2.7) queA= 1.Ainsi on a le résultat (ii).

Si |z| ≥R, on a : Z 1

0

(1−y²)ⁿ⁻¹² log|z²−R²y²|

R²y² dy≥ log|z²| R²

Z 1 0

(1−y²)ⁿ⁻¹² dy+ +

Z 1 0

(1−y²)ⁿ⁻¹² log(1−y² y² )dy Afin de pouvoir comparer avec la majoration obtenue dans la première partie de ce lemme, on remarque que

Z 1 0

(1−y²)ⁿ⁻¹² log(1−y² y² )dy≥

Z 1 0

(1−y²)ⁿ⁻¹² log(1 +y² y² )dy +

Z 1 0

(1−y²)ⁿ⁻¹² log(1− 2y² 1 +y²)dy.

Or, pour un nombre réelxtel que0≤x <1, on a :log(1−x)≥ _1−x^−x, donc Z 1

0

(1−y²)ⁿ⁻¹² log(1− 2y²

1 +y²)dy≥ −2 Z 1

0

(1−y²)ⁿ⁻³² y²dy≥ −B(n−1 2 ,3

2).

Par conséquent, on déduit de (2.8) que : Z

B(0,R)

log|z−t_v tv

|dt≥ πⁿ²

Γ(ⁿ₂ + 1)Rⁿ

Alog|z|

R+φ(1)− Γ(ⁿ₂ + 1)

√πΓ(ⁿ⁺¹₂ )B(n−1 2 ,3

2) . D’après (2.7), on a :

Γ(ⁿ₂ + 1)

√πΓ(ⁿ⁺¹₂ )B(n−1 2 ,3

2) = Γ(ⁿ⁻¹₂ ) 2Γ(ⁿ⁺¹₂ )= 1

n−1. Ainsi, on obtient le résultat (2)du lemme.

3. Polynômes d’interpolation

Dans ce paragraphe, nous allons exhiber une famille de polynômes d’interpo- lation surΓqui constitue une base de polynômes et montrer que ces polynômes vérifient certaines estimations asymptotiques.

Le groupe Γ étant dénombrable, on note (xi)_i∈N^∗ les éléments deΓ\ {0}

rangés par norme euclidienne croissante puis par arguments en coordonnées sphériques successifs croissants.

Considérons les polynômes dek[X]suivants : P0(X) = 1, Pk(X) =Y

i≤k

X−xi

xi

si k≥1.

Pour une place archimédienne v de k, notons P_k,v(X) les polynôme de σv(k)[X] suivants :

P0,v(X) = 1, Pk,v(X) = Y

1≤i≤k

X−xi,v

xi,v

; k≥1.

Le polynôme P_k,v étant de degrék, la famille(P_k,v)_k∈N forme une base de polynômes deσv(k)[X]sur le corpsσv(k).

Remarquons que, vu l’ordre défini sur Γ, on a :

{xi,1≤i≤k}={x∈Γ\ {0};kxk ≤ kxkk} \ {xi;i > k,kxik=kxkk}

et d’après (2.2), on obtient :

k=ν(Γ)kx_kkⁿ+O(kx_kkⁿ⁻¹).

(3.1)

Afin de donner un énoncé commun aux casv complexe ou réelle, on note ψ_v:=

(φ0siv est complexe φ₁siv est réelle et on posecv(n) =ψv(1).

Proposition 3.1. — Soient v une place archimédienne de k et z 6= 0 un nombre complexe. Alors, on a les estimations asymptotiques, où les restes o(kxkkⁿ) sont uniformes enz, suivantes :

(i)Si |z| ≥ kx_kk+δ,

log|Pk,v(z)| ≤ν(Γ) kxkk+δⁿ

log( |z|

kxkk) +cv(n)ν(Γ)kxkkⁿ+o(kxkkⁿ).

(ii) Si|z| ≤ kxkk+δ,

log|Pk,v(z)| ≤ν(Γ)kxkkⁿψ_v |z|

kxkk+δ

+o(kxkkⁿ)

≤cv(n)ν(Γ)kxkkⁿ+o(kxkkⁿ)

(iii) SoientE >1 une constante etz un nombre complexe tel que

|z|=Ekxkk. Alors, siv est complexe, on a : log|Pk,v(z)|=ν(Γ)

logE+cv(n)

kxkkⁿ+o(kxkkⁿ) et si v est réelle, on a :

log|Pk,v(z)| ≥ν(Γ)

logE+cv(n)− 1 n−1

kxkkⁿ+o(kxkkⁿ).

Démonstration. — Soientzun nombre complexe non nul etvune place archi- médienne de k. Soient Γ⁰ =Γ\ {{x ∈Γ;xv = z} ∪ {0}} et fz : Rⁿ →R la fonction définie par :

f_z(t) = log|z−t_v tv

|.

On a :

{xi;i≤k, x_i,v6=z}=Γ⁰_kx

kk\ {xi;i > k,kxik=kxkk}, donc

X

x∈Γ⁰_k

xkk

f_z(x) = log|P_k(z)|+ X

i>k kxik=kxkk

f_z(x_i).

(3.2)

Notons que, pour toutkassez grand et toutx∈Γ⁰_kx

kk, on a : log|x|_v −logkx_kk,

en effet ; soient(γ1, . . . , γn)une base deΓsurZetdun dénominateur commun de γ1, . . . , γn. Alors, dx est un entier non nul de k et d’après la formule du produit, on obtient

|xv|^nv ≥d^−[k:Q] Y

w∈Sk,∞

w6=v

|xw|^−nw ≥d^−[k:Q]kxkk^nv−[k:Q].

Si |z| ≤2kxkk, on en déduit l’estimation X

i>k kx_ik=kx_kk

|fz(xi)| kxkkⁿ⁻¹logkxkk.

Par ailleurs, si|z|>2kxkk, alors pour toutx∈Γ⁰_kx

kk, on afz(x)≥0.

Par suite, on déduit de (3.2) que log|P_k(z)| ≤ X

x∈Γ⁰_k

xkk

f_z(x) +o(kx_kkⁿ), (3.3)

oùo(kxkkⁿ)est uniforme enz.

Pour un nombre complexeztel que|z|=Ekxkk, avecEune constante>1, on a :

X

i>k kxik=kxkk

|fz(xi)| kxkkⁿ⁻¹logkxkk

et dans ce cas on déduit de (3.2) l’égalité log|Pk,v(z)|= X

x∈Γ⁰_k

xkk

fz(x) +o(kxkkⁿ).

(3.4)

Nous allons estimerP

x∈Γ⁰_Rfz(x)pourRassez grand, à l’aide du lemme 2.1 appliqué aux fonctions suivantes :

gz(t) = log 1 + δ

|z−t_v|

, h(t) = log 1 + δ

|tv| . Pour x∈Γ⁰_R ett∈Fx\ {0}tel que tv6=z, on a :

fz(x)≤fz(t) + log |tv|

|x_v|+ log|z−xv|

|z−t_v| ≤fz(t) +h(x) +gz(t).

La fonction hsatisfait la condition (2.3) du lemme 2.1 ; en effet, si x vérifie

|xv|>3δ, pour toutt∈F_x\ {0}, on a :

|t_v| ≥ |x_v| −δ >2δ, |x_v| ≥ |t_v| −δ,

on en déduit que X

x∈Γ⁰_R

|xv|>3δ

h(x) ≤ 1 V(F)

Z

B^∗(0,R+δ)

log 1 + δ

|tv| −δ dt

(R+δ)ⁿlog(1 + δ R)

oùB^∗(0, R+δ) =B(0, R+δ)\{t∈B(0, R+δ);|tv| ≤2δ}.

Par ailleurs, pourx∈Γ⁰R, grâce à la formule du produit, on obtient log|xv| −logR

et par suite

X

x∈Γ⁰_R

|xv|≤3δ

h(x) X

x∈Γ⁰_R

|xv|≤3δ

logRR^n−nvlogR.

Ainsi, on a :

X

x∈Γ⁰_R

h(x) =o(Rⁿ).

D’autre part, selon que |z| ≥2(R+δ)ou|z|<2(R+δ), on a : Z

B(0,R+δ)

gz(t)dt≤ Z

B(0,R+δ)

log(1 + δ

R)dtRⁿlog 1 + δ R

ou Z

B(0,R+δ)

gz(t)dtR^n−nv

Z 3(R+δ) 0

ρ^nv−1log 1 +δ ρ

dρRⁿlog 1 + δ R

. Donc on a :

Z

B(0,R+δ)

g_z(t)dt=o(Rⁿ), oùo(Rⁿ)est uniforme enz.

Par ailleurs, selon que |z|>2(R+δ) ou|z| ≤2(R+δ), la fonctionfz est positive sur B(0, R+δ)ou on a l’estimation suivante :

Z

B(0,R+δ)\∪_x∈Γ0 R

F_x

|fz(t)|dt ≤ logR Z

B(0,R+δ)\B(0,R−δ)

dt Rⁿ⁻¹logR

Donc la fonctionf_zsatisfait la condition la condition (2.6) ou (2.5) du lemme 2.1. Alors, grâce à la partie (i) du lemme 2.1, on obtient

X

x∈Γ⁰_R

fz(x)≤ 1 D(Γ)

Z

B(0,R+δ)

fz(t) +o(Rⁿ), (3.5)

oùo(Rⁿ)est uniforme enz.

Soitzun nombre complexe tel que|z|=ER, avecE >1un réel indépendant deR. Pourx∈Γ⁰Ret t∈Fx\ {0}, on a l’inégalité dans l’autre sens

fz(t)≤fz(x) + log|xv|

|tv| + log |z−tv|

|z−xv| ≤fz(x) +h(t) + log(1 + δ (E−1)R).

La fonction hsatisfait l’estimation (2.4) du lemme 2.1 car Z

B(0,R+δ)

h(t)dtRⁿlog(1 + δ R).

D’autre part, la condition (2.3) du lemme 2.1 est satisfaite puisque X

x∈Γ⁰_R

log(1 + δ

(E−1)R) =o(Rⁿ).

La fonction fz satisfait la condition (2.5) du lemme 2.1 car Z

B(0,R+δ)\S

x∈Γ0 R

F_x

|f_z(t)| logR Z

B(0,R+δ)\B(0,R−δ)

dtRⁿ⁻¹logR.

Par conséquent, dans ce cas, on déduit de la partie (ii) du lemme 2.1, l’in- égalité

1 D(Γ)

Z

B(0,R+δ)

fz(t)dt≤ X

x∈Γ⁰_R

fz(x) +o(Rⁿ).

(3.6)

En définitive, les estimations (3.3) et (3.5) jointes au lemme 2.2 si v est complexe (resp. au lemme 2.3 si v est réelle) entraînent les estimations (i) et (ii) de la proposition 3.1.

Les estimations (3.4), (3.5) et (3.6) jointes au lemme 2.2 si v est complexe (resp. au lemme 2.3 sivest réelle) entraînent l’estimation (iii) de la proposition 3.1.

Remarque 3.1. — Dans la section 5, on est amené à utiliser l’inégalité c_v(n)≥ 1

n.

L’objet de cette remarque est de montrer cette minoration.

Si vest une place complexe,cv(n) :=c0(n) =R1 0

1−(1−t²)ⁿ2

t .Donc, on a : c0(n)≥

Z 1 0

1−(1−t²)

t ≥ 1

2. Si vest une place réelle,

cv(n) :=c1(n) = Γ(ⁿ₂ + 1)

√πΓ(ⁿ⁺¹₂ ) Z 1

0

(1−t²)ⁿ⁻¹² log (1 + 1 t²)dt.

Or, on a : Z 1

0

(1−t²)ⁿ⁻¹² log (1 + 1

t²)dt≥log 2 Z 1

0

(1−t²)ⁿ⁻¹² dt

≥ log 2

2 B(n+ 1 2 ,1

2) et grâce à (2.7), on obtient

c1(n)≥ log 2 2 . Donc, sin≥3, la minoration est satisfaite.

Par ailleurs, quandn= 2, on a : c₁(2)≥ −2

π Z 1

0

(1−t²)¹²logt²dt≥ −4 π

Z 1 0

(1− t) logtdt

≥ 3 π.

4. Séries d’interpolation

A une fonction entière f et une place archimédiennev deK, on associe la série d’interpolation S(f, v)définie par

S(f, v)(z) =X

k∈N

b_k,vP_k,v(z),

où la suite(b_k,v)_k∈N des coefficients d’interpolation associée à la fonctionf et à la place v est définie par : bk,v = _2iπx¹

k+1,v

R

Ck

f(ζ)

P_k+1,v(ζ)dζ et où Ck est un cercle de centre0 et de rayonrk>kxk+1k.

Par ailleurs, à une suite de nombres complexes (ak)_k∈N et une place archi- médienne vdeK,on associe la série formelleS((ak), v)) =P

k∈NakPk,v. Proposition 4.1. — (1) Soit (a_k)_k∈N une suite de nombres complexes telle que :

lim sup

k→+∞

log|ak|

k =a <−cv(n).

(4.1)

Alors, la sérieS((a_k), v)converge uniformément sur tout compact deC.La somme gv de cette série satisfait

lim sup

r→+∞

log|gv|r

rⁿ ≤ ν(Γ) n exp

n cv(n) +a

−1 .

De plus, la suite des coefficients d’interpolation associée à la fonction gv et la place v est la suite(a_k)_k∈N.

(2) Soientv∈S_K,∞ etf une fonction entière telles que :

(4.2) lim sup

r→+∞

log|f|r

rⁿ =ρ < ν(Γ)

n exp −1−n(2−nv) n−1

.

Alors, la série d’interpolation S(f, v) converge uniformément sur tout com- pact versf. De plus, la suite(bk,v)k∈N des coefficients d’interpolation associée àf etv satisfait

lim sup

k→+∞

log|bk,v| k ≤ 1

n

1 + log(nρ ν(Γ)

−cv(n).

Démonstration. — (1) Soit(ak)_k∈N une suite de nombres complexes satisfai- sant (4.1). Soit a⁰ un nombre réel tel quea < a⁰ <−cv(n). Alors, il existe un entierk0 tel que pour toutk≥k0, on ait|ak| ≤e^a0k.

Soient v∈S_K,∞ et run nombre réel suffisamment grand par rapport àk0. Soit αv un nombre réel >0 tel que ψv(αv)< ψv(1). Rappelons que ψv(1) = c_v(n).

Puisque, la fonctionψ_v est strictement croissante, on a :α_v <1.

Si kx_kk+δ≥ _α^r

v, on déduit de l’estimation (ii) de la proposition 3.1 et de l’égalité(3.1) que

log|akPk,v|r≤ν(Γ) ψv(αv

+a⁰)kxkkⁿ+o(kxkkⁿ)

≤ ψv(αv

+a⁰)k+o(k) commeψ(α_v)+a⁰ < c_v(n)+a⁰<0,la sérieP

k∈Na_kP_k,vconverge uniformément sur le disque complexe fermé D(0, r). Notons gv la somme de cette série.

On a :

|gv|_r≤ X

k kxkk+δ<_αv^r

|akPk,v|r+ X

k kxkk+δ≥_αv^r

|akPk,v|r.

L’estimation (ii) de la proposition 3.1 et l’estimation(3.1)entraînent X

r<kxkk+δ≤_αv^r

|akPk,v|_r ≤ X

r<kxkk+δ≤_αv^r

exp{ν(Γ)kxkkⁿ ψv( r

kxkk+δ) +a⁰

+o(kxkkⁿ)}.

Dans cette somme, on a :ψv(_kx^r

kk+δ) +a⁰< ψv(1) +a⁰ <0.

D’autre part, l’estimation (i) de la proposition 3.1 et l’estimation(3.1) en- traînent

X

kxkk+δ≤r k≥k₀

|akPk,v|_r≤ X

kxkk+δ≤r k≥k₀

exp{ν(Γ)kxkkⁿ log r

kxkk +cv(n) +a⁰

+o(rⁿ)}.

La fonction h_v définie par hv(t) :=

(tⁿ log¹_t+cv(n) +a⁰

sit6= 0

0 sit= 0

atteint son maximum ent= exp a⁰+cv(n)−1/n

sur l’intervalle[0,1].

Par conséquent, on a : log|gv|r

rⁿ ≤ν(Γ) n exp

n cv(n) +a⁰

−1

+o(rⁿ) rⁿ .

On obtient, par passage à la limite, l’estimation du type de croissance degv. En utilisant la formule des résidus, on montre que (ak) est la suite des coefficients d’interpolation associée à la fonctiongv et la place v.

(2) Soientvune place dansS_K,∞etf une fonction entière satisfaisant (4.2).

Soit(bk,v)_k∈N la suite des coefficients d’interpolation associée àf etv définie au début de ce paragraphe.

SoitE une constante >1que l’on précisera dans la suite. NotonsC_k(E)le cercle de centre 0 et de rayonEkxk+1k.

Par définition, on a :bk,v= _2πix¹

k+1,v

R

C_k(E) f(ζ) P_k+1,v(ζ)dζ.

Posons :

c⁰_v(n) =c_v(n)−2−nv

n−1. Soitρ⁰ tel que :ρ < ρ⁰< ^ν(Γ)_n exp −1−ⁿ⁽ⁿ_n−1^v−2)

.

L’estimation (iii) de la proposition 3.1 jointe à l’égalité (3.1)entraîne

|Pk+1,v|_Ekx

k+1k≥exp{k logE+c⁰_v(n)

+o(k)}.

D’où

|bk,v| ≤exp{ ρ⁰

ν(Γ)Eⁿ−logE−c⁰_v(n)

k+o(k)}.

La fonctiont→ _ν(Γ)^ρ0 tⁿ−logt−c⁰_v(n)atteint son minimum ent= (^ν(Γ)_nρ0 )

1 n

qui est>1par hypothèse. Par conséquent, par passage à la limite, on obtient : lim sup

k→+∞

log|b_k,v|

k ≤ 1

n 1 + log nρ ν(Γ)

−c⁰_v(n).

Or,ρ <^ν(Γ)_n exp −1−ⁿ⁽²⁻ⁿ_n−1^v)

, donc on a : lim sup

k→+∞

log|bk,v|

k <−cv(n).

Par suite, d’après la partie 1 de la proposition 4.1, la sommegv(z)de la série P

k∈Nbk,vPk,v(z)est une fonction entière satisfaisant : lim sup

k→+∞

log|gv|_r

rⁿ ≤ ν(Γ) ne .

Pour achever la preuve, nous allons montrer que :f =gv.La fonctionf−gv

s’annule évidemment surΓ\{0}.

Si n≥3 alors le groupeΓ n’est pas discret donc il est dense dans RouC selon qu’il est réel ou complexe, par conséquent on af =g_v.

Si n= 2etΓ⊂R, alorsΓest dense dansRet par conséquentf =gv. Considérons le casn= 2et Γcomplexe. Dans ce cas, on a :

lim sup

r→+∞

log|f−gv|r

r² ≤ ν(Γ)

2e ≤ π

2eD(Γ). (4.3)

D’autre part, la fonctionf−gvs’annule surΓ_rqui est contenu dans le disque complexeD(0, r).

Si f −gv est non nulle on déduit de la formule de Jensen ([9], 1.5.3) que pour rassez grand, on a :

log|f−g_v|_r≥ X

x∈Γr

log r

|xv|.

Nous allons estimer cette somme en utilisant le lemme 2.1. Pourx∈Γ\ {0}

et t∈F_x, on a :

log r

|tv| ≤log r

|xv|+ log(1 + δ

|tv|)

Les conditions de la partie (ii) du lemme 2.1 sont satisfaites. On en déduit que

1 D(Γ)

Z

B(0,r)

log r

|t_v|dt≤ X

x∈Γr

log r

|x_v| +o(r²), donc

πr²

2D(Γ) ≤ X

x∈Γr

log r

|xv|+o(r²), cela contredit l’inégalité (4.3).

Les deux lemmes qui suivent sont dus à F. Gramain et M. Mignotte. Nous les énonçons ici avec les données et les notations de notre problème. On remplace notamment les notions de mesures|x|ouM(x)d’un entierxdeKutilisés dans [6] par la mesure équivalente max_v∈SK,∞|x|_v. On remplace aussi l’ensemble Γ(r) ={k1γ1+· · ·+k1γn, ki∈Z,|ki| ≤r} dépendant d’une base(γ1, . . . , γn) de Γ sur Z considéré dans [6] et [4] par l’ensemble Γ_r = {u ∈ Γ,kuk ≤ r}

vu qu’il existe des constantes c₁ =c₁(γ₁, . . . , γ_n)>0, c₂ =c₂(γ₁, . . . , γ_n)>0 telles qu’on ait :Γc₁r⊂Γ(r)⊂Γc₂r.

Lemme 4.1. — Soient K un corps de nombres de degré ≥2 sur Q, que l’on considère plongé dans C etZ_K l’anneau des entiers de K. Soient Γ un sous- groupe de K de rang nsur Z et(γ1, . . . , γn) une base deΓ sur Z. Soit f une fonction définie surCtel quef(Γ)⊂ZKet satisfontnéquations fonctionnelles de la forme

X

0≤j≤Ni

Qi,j(z)f(z+jγi) = 0 ; i= 1, . . . , n.

où pour tout i fixé, les Qi,j sont des polynômes non tous nuls à coefficients dansZ.

Alors, on a : max _u∈Γr

v∈SK,∞

log|f(u)|vrlogr.

De plus, siΓ est un sous-groupe complexe de rang 2, alors log|f|RRlogR.

Démonstration. — La première estimation du lemme découle de la proposition A2 de [6].

Dans le cas oùΓ est un sous-groupe complexe de rang2, si(γ1, γ2)est une une base deΓsurZ, alorsγ1etγ2sont linéairement indépendants surRet on applique le lemme 5 de [4] pour obtenir la majoration annoncée delog|f|_R. Lemme 4.2. — Soient K un corps de nombres de degré ≥2 sur Q, que l’on considère plongé dansCetZ_Kl’anneau des entiers deK. SoitΓun sous-groupe deK de rang n≥2. Soitf une fonction entière qui satisfait les conditions :

(i) f(Γ)⊂ZK

(ii)

(log|f|RRlogR sin= 2et Γ est complexe log|f|RRⁿ sinon

(iii) max u∈Γr

v∈SK,∞

log|f(u)|v rlogr.

Alorsf est un polynôme.

Démonstration. — Si Γ n’est pas discret le lemme découle de la proposition A3de [6].

Si le groupe Γ est discret, alors n = 2 et Γ est complexe, dans ce cas la preuve est la même que celle du théorème 2 de [10].

5. Résultats

Rappelons qu’on note(x_k)_k∈N^∗ les éléments deΓ\ {0}rangés dans l’ordre croissant (en coordonnées sphériques dans Rⁿ) et pour v ∈ S_K,∞, on note xk,v:=σv(xk)oùσv est un plongement deKdansCassocié àv.

On considèreKplongé dansCparσv0. Soitf :C→Cune fonction entière telle que

f(Γ)⊂ZKet lim sup

R→+∞

log|f|R

Rⁿ < ν(Γ)

n exp −1−n(2−n_v0) n−1

.

On omet dans les notations, quand il n’y a pas d’ambiguïté, les indices relatifs à la place privilégiéev0.

D’après la proposition 4.1, la fonctionfest la somme de la sérieS(f, v0)(z) = P

k∈Nb_kP_k(z), oùb_k= _2iπx¹

k+1

R

C_k f(ζ) Pk+1(ζ)dζ.

On déduit de la formule des résidus que bk ∈ K. Ainsi, pour v ∈ S_K,∞, on note Sv(f) la série formelle P

k∈Nσv(bk)Pk,v(z). On a : Sv(f)(σv(xs)) = Pk≤sσ_v(b_k)P_k,v(σ_v(x_s)) = P

k≤sσ_v(b_kP_k(x_s)) = σ_v(f(x_s)) donc S_v(f) est bien définie surσv(Γ)etSv(f)(σv(Γ))⊂σv(ZK).

Pour une partie non vide

I

^deSK,∞, on noter_I le nombre de places réelles contenues dans

I

^etnI =P

v∈In_v.

Théorème 5.1. — Soientkun corps de nombres de degrén≥2 sur QetK une extension finie de k que l’on considère plongé dans C parσ_v0. Soit Γ un sous-groupe de kde rang nsur Z.

Soit

I

une partie de S_K,∞ contenant v0. Soient f : C → C une fonction entière telle que f(Γ)⊂ZK et (αv)_v∈SK,∞ des nombres réels >0 satisfaisant les conditions :

(i) max_v∈Iαv< ^ν(Γ)_n , (ii) e

nrI (n−1)nI Q

v∈Iαv

nv nI Q

v∈SK,∞\Ie

nnv αv

ν(Γ)nI <^ν(Γ)_ne ,

(iii) pour toutv∈

I

^{, la sérieS}v(f)se prolonge en une fonction entière notée f_v satisfaisant lim sup_R→+∞^log_R^|f_n^v|R ≤α_v

(iv) pour toutv∈S_K,∞\

I

et tout nombre réel r assez grand maxx∈Γ

kxk≤r

log|σ_v(f(x))| ≤α_vrⁿ. Alorsf est un polynôme.

Remarque 5.1. — Les conditions (iii) et (iv) ne sont pas de la même nature. La première est de nature analytique portant sur le type de croissance de la somme de la série entièreS_v(f)pourv∈

I

. La seconde est de type arithmétique. Pour v∈S_K,∞\

I

, on n’exige même pas que la sérieSv(f)soit définie en dehors de σv(Γ).

La preuve du théorème repose sur la proposition suivante.

Proposition 5.1. — Soit (γ1, . . . , γn) une base de Γ sur Z. Sous les hypo- thèses du théorème 5.1, il existe un entierN >1et une placev dans

I

^{tels que}

pour tout i= 1, . . . , n, il existe des polynômes (Qi,j)_≤j≤N à coefficients dans Znon tous nuls tels que :

X

0≤j≤N

Q_i,j(z)f_v(z+jγ_i,v) = 0.

Preuve de la proposition 5.1. — Soient (αv)_v∈S

K,∞ des nombres réels >0vé- rifiant les conditions du théorème. Soient ( ˜α_v)_v∈I des nombres réels tels que : pour toutv∈

I

^,α˜v> αvet tels que les conditions suivantes soient satisfaites :

max

v∈I

˜

α_v< ν(Γ) (5.1) n

et

e

nrI (n−1)nI Y

v∈I

˜ α

nv nI v

Y

v∈SK,∞\I e

nnv αv

ν(Γ)nI <ν(Γ) ne . (5.2)

Pour homogénéiser les notations, siv∈SK,∞\

I

^{,on pose :α˜}v =αv. Premier pas. Soitγ l’un desγi. SoitS0 un réel assez grand, posons :

M :=M(S₀) = [S₀ⁿ/(logS₀)²], N :=N(S₀) = [(logS₀)⁵].

Il existe des entiers q_j,k(0 ≤ j < N,0 ≤k < M) non tous nuls de valeurs absolues majorées parexp _log^S0_Sⁿ

0

et tels que la fonction définie par F(z) = X

j<N k<M

q_j,kz^kf(z+jγ)

soit identiquement nulle sur Γ_S0. En effet, si dest le dénominateur commun de γ1, . . . , γn, cela revient à résoudre le système : {d^MF(u) = 0;u∈ΓS₀}. Ce système en les inconnues qj,k est un système linéaire homogène à K := N M inconnues et dont le nombre d’équationsL vérifieL=card(Γ_S0)≤2ν(Γ)S₀ⁿ.

Les coefficientsd^Mu^kf(u+jγ)de ce système sont dansZ_K. On déduit des conditions (iii) et (iv) du théorème 5.1 que

v∈SmaxK,∞

kuk≤S0

X

j<N k<M

|σv(d^Mu^kf(u+jγ))| ≤A

oùA= exp{logN M+MlogdS0+ (S0+Nkγk)ⁿmaxv∈SK,∞|α˜v|}.

CommeS0 est assez grand, on aK > nL et on déduit du lemme de Siegel ([9], lemme 1.3.1) qu’il existe une solution non nulle(q_j,k)dansZ^{M N} vérifiant : max_j,k|q_j,k| ≤(√

2A)

nL K−nL.

Vu le choix des paramètres, on en déduit que log max

j,k |qj,k| ≤ S0n

logS0

. Second pas.Pourv∈

I

^{, posons}

Fv(z) = X

j≤N k≤M

qj,kz^kfv(z+jγv).

Par définition Fv₀ = F. Pour tout u ∈ Γ, on a Fv(uv) = σv(F(u)), par conséquent Fv est nulle sur σv(ΓS₀).

Considérons alors les propositions suivantes :

P

1(S) :F est nulle sur Γ_S

P

2(S) : log|F_v|_S ≤ ν(Γ) n

1+log α˜_vn

ν(Γ)+n(2−n_v) n−1

Sⁿ+o(Sⁿ),pour toutv∈

I

^.