———————————–
Arithmétique des entiers
———————————–
Université d’Eleuthéria-Polites
Cours de Licence—/
Bruno DE S CHAMPS Version.
On n’epas d’un pays mais on ed’une ville Où la rue artérielle limite le décor.
Les cheminées d’usine hululent à la mort.
La lampe du gardien rigole de monyle.
La misère écrasant son mégot sur mon cœur A laissé dans mon sang la trace indélébile Qui a le même son et la même couleur Que la suie des crassiers, du charbon inutile.
Les forges de mes tempes ont pilonné les mots.
J’ai limé de mes mains le creux des évidences.
Les mots calaminés crachent des hauts-fourneaux.
Mes yeux d’acier trempé inventent le silence.
Je me soûle à New York et me bats à Paris.
Je balance à Rio et ris à Montréal Mais c’equand même ici que poussa tout petit Cette fleur de grisou à tige de métal.
Table des matières
Présentation axiomatique des entiers naturels
. Axiomatique . . .
. Arithmétique surN . . .
.. Addition. . .
.. Multiplication . . .
L’anneauZdes entiers relatifs
. Conruion . . .
. Propriété de l’anneauZ. . .
.. Divisibilité . . .
.. Congruence . . .
.. Euclidienneté . . .
.. Nombres premiers et faorialité deZ. . .
.. pgcd et ppcm . . .
.. Sous-groupes deZet théorème de Bezout. . .
L’anneauZ/nZ
. Struure deZ/nZ. . .
. Calcul deϕ(n) . . . .
. Etude de (Z/nZ)∗ . . .
. Le cryptosyème R.S.A. . .
Présentation axiomatique des entiers naturels
. Axiomatique
Dans ce qui suit,Edésigne un ensemble et≤un ordre surE. On considère les axiomes suivants : S.. L’ensembleEenon vide.
S.. L’ordre≤eun bon ordre surE(i.e. toute partie non vide deEpossède un plus petit élément).
S.. Toute partie majorée non vide deEpossède un plus grand élément.
S..Ene possède pas de plus grand élément.
Premières remarques :Si (E,≤) vérifie les axiomes S.. alors≤eun ordre total surE. Par ailleurs si (E,≤) vérifie S.,,. alorsEeun ensemble infini. Enfin, siEvérifie S.,. alorsEpossède un plus petit élément.
Dans la suite on considère un ensemble ordonné (E,≤) vérifiant les axiomes S.,,. On note 0 le plus petit élément deE.
Les fonions successeur et prédécesseur : Considérons un élémentn∈ E et F ={m ∈E/ m > n}. D’après ce qui précède F n’e pas vide (sinon E posséderait un plus grand élément). On appelle successeur denl’élément notés(n) égal au plus petit élément de l’ensembleF.
Considérons un élémentn∈E− {0}etF={m∈E/ m < n}. D’après ce qui précèdeF n’epas vide (car 0∈F) et emajorée (parn). On appelle prédécesseur denl’élément notép(n) égal au plus grand élément de l’ensembleF.
Propriété.—a) Pour toutn∈Eon as(n)> net pour toutm∈Eon am > n⇐⇒m≥s(n).
b) Pour toutn∈E− {0}on ap(n)< net pour toutm∈Eon am < n⇐⇒m≤p(n).
c) La fonionse riement croissante et la fonionpe riement décroissante.
d) Pour toutn∈E− {0}on as◦p(n) =n.
Preuve :a,b,c) Exercices.
d) On ap(n)< n, doncs(p(n))≤n. Posonsm=s(p(n)) et supposons quem < n, on a doncm≤p(n) mais commem=s(p(n)) on am > p(n) ce qui eabsurde. Ainsim=n.
——–
Théorème.—(appelé principe de récurrence)SoitAune partie deE. SiAvérifie
•0∈A.
• ∀n∈E,n∈A=⇒s(n)∈A.
alorsA=E.
Preuve :Raisonnons par l’absurde en supposant queA,E. On considère alors l’ensembleF=E−A qui edonc non vide. Soitn0 le plus petit élément deF. On an0 ,0 (car 0<F) et doncn0 a un prédécesseurm0. Commen0> p(n0) =m0et quen0ele plus petit élément deAon am0<F, donc m0∈Aet par suiten0=s(m0)∈Ace qui eabsurde.
——–
Théorème.—L’applicationseune bijeion deEsurE− {0}. Son application réciproque ela fonion p
Preuve :•Prouvons quesebien à valeur dansE− {0}. Supposons qu’il exien∈Etel ques(n) = 0, on a donc 0> nce qui een contradiion avec le fait que 0 ele plus petit élément deE.
•Montrons l’injeivité de s. Soit n, m∈ E tels que s(n) = s(m). Comme ≤ e un ordre total, les élémentsnetmsont comparables (disons, par exemple, quen≤m). Sin < mon a doncm≥s(n) mais commes(m)> mon en déduit ques(m)> s(n) ce qui eabsurde, doncn=m.
•Montrons la surjeivité des. Considérons l’ensembleA=s(E)∪ {0}. Par hypothèse, on a 0∈A. Si maintenant on prendn∈Aalorsn∈Eet doncs(n)∈s(E)⊂A. Ainsi, par le principe de réccurence on en déduit queA=Eet donc ques(E) =E− {0}.
——–
Théorème .— Un ensemble non vide ordonné (E,≤) vérifie les axiomes S.,,,. si et seulement si l’ensembleEvérifie les axiomes (dits de Peano) suivants :
P..il exie un élément0∈Eet une applications:E→E.
P..L’applicationseinjeive et à valeurs dansE− {0}. P..Toute partieAdeEvérifiant0∈Aets(A)⊂Aeégale àE.
Preuve : S.0,1,2,3.=⇒P .0,1,2.eclair, la fonionsà considérer étant la fonion successeur. La réciproque e admise. Un des ingrédients de la preuve consie dans le fait que l’ordre≤que l’on recherche surEse définit de manière non-équivoque par les deux propriétés suivantes : /∀x∈E, 0≤x./∀x, y∈E,x≤y⇐⇒s(x)≤s(y).
——–
Théorème.—Soient(E,≤)et(E0,≤0)deux ensembles ordonné vérifiant les axiomes S.,,,. Il exie une unique bijeion croissante deEsurE0.
Preuve :Notons 0 (resp. 00) le plus petit élément deE(resp. deE0).
•Unicité. Soientf etg deux bijeions croissantes de E surE0. L’applicationg−1◦f e donc une bijeion croissante deEdans lui-même. Une telle application enécessairement égale à l’identité (exercice).
•Exience. On considère l’ensembleE des applicationsf :A−→E0telle que : a)∀a∈A,b≤a=⇒b∈A,
b)f riement croissante, c)f(0) = 00,
d)∀a∈A− {0},f(p(a)) =p0(f(a)) oùp0désigne la fonion prédécesseur deE0.
L’ensembleE enon vide carf :{0} −→E0 définie parf(0) = 00 ecertainement un élément de E. SurE, on considère l’ordredéfini de la manière suivante :
f :A−→E0g:B−→E0⇐⇒A⊂Betg|A=f
L’ensemble ordonné (E,) e induif car, si {fi :Ai −→E0}i désigne une chaîne, alors l’ensemble A=S
iAi satisfait la condition a) et l’applicationf :A−→E0définie parf(a) =fi(a) pour touta∈Ai ebien définie à cause de la définition deet vérifie b), c) et d) (exercice).
D’après Zorn,E possède un élément maximalf :A−→E0. On a obligatoirementA=E(exercice).
Maintenant,f étantriement croissante einjeive. Il ree donc à regarder sa surjeivité. Sup- posons quef(E),E0et soityle plus petit élément de l’ensembleE0−f(E). On ay,00(carf(0) = 00) et doncp0(y)∈f(E). Il exie doncx∈Etel quef(x) =p0(y), maisf(x) =f(p(s(x))) =p0(f(s(x))) et donc, par injeivité dep0, on ay=f(s(x))∈f(E) ce qui eabsurde.
——–
En conclusion, tous les ensembles ordonnés vérifiant les axiomes S.,,,. sont isomorphes en tant qu’ensembles ordonnés, leurs propriétés pour cetteruures sont donc les mêmes. Dans la suite on choisiraNun tel ensemble (l’exience d’un tel ensemble econsécutive d’axiomes de la théorie des ensembles). On l’appelera "ensemble des entiers naturels".
. Arithmétique sur N
.. Addition.
Théorème.—SurNil exie une unique loi de composition interne+appelée addition telle que :
/∀n∈N,0 +n=n+ 0 =n.
/∀n, m∈N,s(n) +m=n+s(m) =s(n+m).
Muni de cette loi de composition interne, le magma(N,+)eassociatif, commutatif et unitaire. Le seul élément symétrisable deNe0.
Preuve :L’exience de + eadmise, elle s’obtient par un argument de type Zorn, commme précédem- ment. Supposons donné⊥une autre loi de composition interne vérifiant,/. Montrons, par récur- rence surn, que pour toutm∈N,n+m=n⊥m. La proposition evisiblement vraie pourn= 0 à cause de/. Supposons la propriété vraie pour un entiern≥0. Pourm∈N, on as(n) +m=s(n+m) = s(n⊥m) =s(n)⊥met la propriété edonc vraie pours(n).
•Associativité de +. Montrons, par récurrence sur l’entiernque, pour toutn, m, p∈N,n+ (m+p) = (n+m) +p. Pourn= 0, on a 0 + (m+p) =m+p= (0 +m) +p. Supposons la propriété vraie pour un entiern≥0. Pourm, p∈Ndonnés, on a (s(n) +m) +p=s(n+m) +p= (n+m) +s(p) =n+ (m+s(p)) = n+s(m+p) =s(n) + (m+p) et la propriété edonc vraie pours(n).
•Commutativité de +. Montrons par récurrence sur l’entiernque, pour toutm,n+m=m+n. La propriété eclairement vraie pourn= 0 d’après/. Supposons la propriété vraie pour un entiern≥0 donné. Pour toutm∈N, on as(n) +m=s(n+m) =s(m+n) =m+s(n) et la propriété edonc vraie pour s(n).
•L’élément 0 eun neutre bilatère d’après/.
•Supposons qu’il exien,0 etm∈Ntels quen+m= 0. On a alors 0 =s(p(n)) +m=s(p(n) +m) et donc 0 possède un prédécesseur, ce qui eabsurde.
——–
Si l’on pose 1 =s(0), alors il vients(n) =n+ 1 = 1 +npour toutn∈N. Théorème.—Soientx, y∈N. Les propriétés suivantes
i)x≤y,
ii) il exiek∈N,y=x+k,
sont équivalentes. En particulier, il exiek∈Ntel quex=y+kouy=x+k.
Preuve :ii) =⇒i) s’obtient par récurrence sur l’entierk.
i) =⇒ii) Raisonons par l’absurde en supposons qu’il exiex < ytel que∀k∈N,y,x+k. On considère l’ensembleY des entiersyvérifiant cette propriété. Par hypothèse,Y enon vide et doncY possède un plus petit élémenty0. On ay0> xet doncy0possède un prédécesseurt. Commet<Y et quet≥x (sinont < xet doncy0=s(t)≤x), il exiektel quet=x+k. On a alorsy0=s(t) =s(x+k) =x+s(k) ce qui eabsurde.
——–
Proposition.—Soientx, y, y0∈N.
a) Six+y=x+y0alorsy=y0(tout entier esimplifiable pour la loi+).
b) Siy < y0alorsx+y < x+y0 (l’ordre≤ecompatible avec la loi de composition+).
Preuve :S’obtient par récurrence surx.
——–
.. Multiplication
Dans la suite on notera 1 =s(0).
Théorème.—SurNil exie une unique loi de composition interne, notée.et appelée multiplication, telle que :
/∀x∈N,0.x=x.0 = 0.
/∀x, y∈N,x.s(y) = (x.y) +x.
Muni de cette loi de composition interne, le magma(N,+)eassociatif, commutatif et unitaire. La multiplication ediributive sur l’addition.
Preuve :L’exience de la loi.sera admise, les autres propriétés du théorème sont laissées en exercice.
——–
Proposition.—Six, y∈Nsont tels quexy= 0alorsx= 0ouy= 0.
Preuve :Siy,0, alorsypossède un prédécesseurp(y) et doncx.y=x.s(p(y)) = (x.p(y)) +x= 0. On en déduit en particulier quex= 0.
Proposition.—Soienty, y0∈Netx,0.
a) Six.y=x.y0alorsy=y0(les éléments non nuls sont simplifiables pour.).
b) Siy < y0alorsx.y < x.y0(l’ordre≤ecompatible avec la loi de composition.).
Preuve :S’obtient par récurrence surx.
——–
Exercices :/ Montrer que toute partie majorée deNefinie (procéder par récurrence sur le majo- rant). En déduire que toute suite décroissante d’entier e ationnaire.
/ Soitx, y, u, v∈N. Montrer que six≤yetu≤valorsx+u≤y+vet quexu≤yv.Que devient cette propriété si l’on remplace≤par<?
L’anneau Z des entiers relatifs
. Conruion
DansNaucun élément, à part 0, ne possède d’opposé pour l’addition. En particulier le magma (N,+) n’epas un groupe. Nous allons tenter de remédier à ce problème en "symétrisant" le magma (N,+).
Considérons sur le produit cartésienA=N×Nla relation binaireRdéfinie pour (a, b),(c, d)∈ A par
(a, b)R(c, d)⇐⇒a+d=b+c
Lemme.—La relation binaireReune relation d’équivalence et l’ensemble des éléments deA: (0,0), {(a,0)/ a∈N∗},{(0, a)/ a∈N∗}eune classe de représentant de l’ensemble quotientA/R.
Preuve :Exercice.
——–
Définition.—On appelle ensemble des entiers relatifs l’ensemble quotientA/Ret on le noteZ. Nous allons maintenant définir surZune addition et une multiplication.
Lemme.—Soient(a, b),(c, d),(a0, b0),(c0, d0)∈ Atels que(a, b)R(a0, b0)et(c, d)R(c0, d0). On a (a+c, b+d)R(a0+c0, b0+d0)et(ac+bd, ad+bc)R(a0c0+b0d0, a0d0+b0c0)
Preuve :Exercice.
——–
Le lemme précédent permet alors de définir une addition et une multiplication surZde la manière suivante : si pour tout (a, b)∈ Aon note (a, b) la classe de (a, b) dansZ, on pose
(a, b) + (c, d) = (a+c, b+d)et(a, b).(c, d) = (ac+bd, ad+bc) (Rappels sur les groupes et anneaux.)
Théorème.—(Z,+, .)eun anneau commutatif unitaire.
Preuve :Montrons que (Z,+) eun groupe abélien.
•La loi + evisiblement associative et commutative.
•(0,0) e visiblement un neutre pour +. Enfin on a (a, b) + (b, a) = (a+b, a+b) = (0,0), donc tout élément esymétrisable. Notons que nous venons de montrer que−(a, b) = (b, a).
Montrons que (Z,+, .) e un anneau, c’e-à-dire, compte tenu du fait que (Z,+) e un groupe abélien, que.ediributive sur +. Soit (a, b),(c, d),(e, f)∈Z. On a
(a, b).((c, d) + (e, f)) = (a, b).(c+e, d+f)
= (ac+ae+bd+bf , bc+be+ad+af)
= (ac+bf , bc+af) + (ae+bd, be+ad)
= (a, b).(c, d) + (a, b).(e, f)
donc.ediributive à gauche par rapport à +. Comme.evisiblement commutative on en déduit que.ediributive par rapport à + et donc que (Z,+, .) eun anneau commutatif.
(1,0) evisiblement un neutre pour la multiplication.
——–
Proposition.—L’application ϕ:N−→Zdéfinie par ϕ(a) = (a,0)eune application injeive mor- phique (i.e. pour touta, b∈N,ϕ(a+b) =ϕ(a) +ϕ(b)etϕ(ab) =ϕ(a).ϕ(b).
Preuve :Exercice.
——–
On peut donc identifier l’ensemble N à un sous-ensemble de Z. Dans la suite si a ∈ N on confondra, dans Z, a avec (a,0). En vertu de ce qui précède, si l’on pose Z+ = {(a,0) a ∈ N} et Z− ={(0, a) a∈ N}, alors Z− =−Z+, Z−∪Z+ =Zet Z−∩Z+ ={0}. On peut donc identifier N à Z+.
On en déduit que six∈Zeun entier relatif non nul, alors il exie un unique entier naturel non nulatel quex=aoux=−a. Avec les notations précédentes, on voit alors que (a, b) =a−b
Corollaire.—L’anneauZeintègre.
Preuve :Soitx, y∈Z. Il exiea, b∈Ntel quex=±aety=±b, on a doncxy=±ab. Sixety sont non nuls alorsaetble sont aussi et doncxy,0.
——–
Proposition.—L’anneauZne possède que deux unités :±1.
Preuve :Exercice.
Exercice :Ordre surZ.
a) Montrer que la relation binaire≤surZdéfinie parx≤y⇐⇒y−x∈Ndéfinit une relation d’ordre surZqui étant l’ordre naturel deN.
b) Prouver que (Z,≤) eun anneau ordonné (i.e. ≤etotal et six≤yetu≤valorsx+u≤y+vet si w≥0 alorsxw≤yw.)
c) Montrer que≤ele seul ordre surZtel que (Z,+) soit un anneau ordonné.
d) Montrer que toute partie non vide majorée (resp. minorée) deZpossède un plus grand (resp. un plus petit) élément. En déduire que pour toutx∈Z,|x|= max(x,−x) exie. Donner et démontrer les principales propriétés de|.|.
e) Prouver que toute suite décroissante minorée d’entiers e ationnaire.
. Propriété de l’anneau Z .
.. Divisibilité
Définition.—Sia, b∈Z, on dit que "adiviseb" ou que "bemultiple dea" et l’on notea|bs’il exie k∈Ztel queb=ak.
Exercice.—Décrire les diviseurs et les multiples de 0.
Proposition.—Soienta, b, c, d∈Z.
/ (Réflexivité)a|a.
/ (Transitivité) Sia|betb|calorsa|c.
/ (Presque-antisymétrie) Sia|betb|aalors|a|=|b|(la réciproque evraie).
En particulier, surNla relation.|.eune relation d’ordre.
/ Sid|aetd|balors pour tousu, v∈Z,d|(au+bv).
/ Sia|cetb|dalorsac|bd, en particulier, sia|balorsan|bnpour tout entiern≥0.
/ Sid,0alorsa|bsi et seulement siad|bd.
.. Congruence
Définition.—Soienta, b∈Zetn∈N∗. On dit que "aecongru àbmodulon" et l’on notea≡bmod(n) sin|(b−a).
Proposition.—/ Sin∈N∗alors la relation "être congru à modulon" eune relation d’équivalence sur Z.
/ Sia≡bmod(n)etc≡dmod(n)alorsa+b≡c+dmod(n)etac≡bdmod(n). (On dit que+et.sont compatibles pour la relation de congruence.)
Exercice.—Montrer les critères de divisibilité suivants :
a) Un entier edivisible par 3 (resp. 9) si et seulement si la somme de ses chiffres edivisible par 3 (resp. 9).
b) Un entier edivisible par 11 si et seulement si la somme alternée de ses chiffres de rang pair moins la somme de ses chiffres de rang impair edivisible par 11.
.. Euclidienneté
Théorème.—Soienta, b∈Zavecb,0. Il exie un unique couple(q, r)∈Z×Ntel quea=bq+ret 0≤r <|b|.
En particulier, l’anneauZeeuclidien par leathme|.|.
Preuve :Unicité. Supposons quea=bq+r=bq0+r0 avec 0≤r, r0 <|b|. On a alorsr−r0 =b(q−q0) et doncb|(r−r0. Mais l’hypothèse faite surretr0 implique que−|b|< r−r0 <|b|. Le seul multiple deb dans cet intervalle e0, doncr=r0et par suiteq=q0.
Exience. Supposons pour commencer que a et b sont positifs. Considérons l’ensemble E ={k ∈ Z/ a−bk≥0}, cet ensemble enon vide car 0∈Eet il emajoré (parapar exemple). Il possède donc un plus grand élémentq∈Z. Posonsr=a−bq, sir≥balorsa−(q+ 1)b≥0, ce qui econtraire à la maximalité deq. Donca=bq+ravec 0≤r < b.
Supposons maintenanta≤0 etb <0. D’après le cas précédent, il exieq, r tels quea= (−b)q+r et 0≤r <−b. On a alorsa=b(−q) +retr <−b=|b|.
Supposons pour finira <0 etbquelconque. D’après ce qui précède il exieq, rtels que−a=bq+ret 0≤r <|b|. On a donca=−bq−r. Sir,0 alorsa=b(±1−q) + (|b| −r) et 0≤ |b| −r <|b|.
——–
Avec les notation du théorème, écrirea=bq+rs’appelle effeuer la division euclidienne deapar b. L’entierqs’appelle le quotient de la division etrle ree.
Exercices : / En considérant l’euclidienneté deZpour le athme |.|, combien de quotients et de rees exie-t-il pour un couple d’entiers (a, b)∈Z×Z∗?
/ Montrer quea≡bmod(n) si et seulement les rees des divisions euclidiennes deaetbparnsont égaux.
Algortihme de la descente de FermatOn considère deux entiers positifsaetbavecb,0. L’algorithme suivant, appelé "descente de Fermat", permet de trouver le ree et le quotient de la division euclidi- enne deaparb.
r:=a q:= 0
Tant quer≥b
Fairer:=r−b,q:=q+ 1.
.. Nombres premiers et faorialité deZ.
Définition.—On appelle nombre premier, tout entier naturel qui possède exaement4diviseurs dans Z. On noteP l’ensemble des nombres premiers
Lemme.—Tout entiern≥2edivisible par un nombre premier.
Preuve : Si ne premier la proposition e vraie. Sinon il exie 1 < n1 < ntel quen1|n. Sin1 e premier la proposition evraie, sinon il exie 1< n2< n1tel quen2|n1. On recommence ce procédé et il exie un rangktel quenk|nk−1|...|n1|netnkpremier. En effet, sinon la suite (nk)kque l’on obtiendrait serait une suiteriement décroissante d’entiers positifs, ce qui eimpossible.
——–
Corollaire.—(Théorème d’Euclide)L’ensembleP einfini.
Preuve :Supposons queP soit fini et notons{p1,· · ·, pn}=P. Considérons l’entierk=p1· · ·pn+ 1. On ak≥2 et donckedivisible par un nombre premier, donc par unpi. Ceci n’étant visiblement pas le cas, on en déduit par l’absurde queP einfini.
Algorithmes de recherche de nombres premiers.
Crible d’Eratohène :Le crible d’Eratohène eun algorithme qui permet de trouver tous les nom- bres premiers compris entre 2 et un entiernfixé par avance.
•On écrit à la suite tous les entiers entreetn.
•On entoure le nombre 2 et on barre tous les multiples de 2.
•On prend ensuite le premier nombre de la lie non barré et on l’entoure. On barre alors tous les multiples de ce nombre dans la lie.
•On recommence le procédé jusqu’à ce que tous les nombres soient soit barrés soit entourés. Les nombres entourés sont alors les nombres premiers compris entre 2 etn.
Un autre algorithme :Cet algorithme permet de lier lesnpremiers nombres premiers pour un entier nfixé. On utilise l’algorithme de division euclidienne (descente de fermat) et on crée une routine qui à deux entiersaetbassociereste(a, b) le ree de la division euclidienne deaparb.
Créer un tableau (u1,· · ·, un) ànvaleurs.
u1:= 2.
k:= 1 h:= 1
Tant quek≤nFaire h:=h+ 2 i:= 1 v:= 2006
Tant quev,0 et queui ≤
√
het quei < kFaire v=reste(h, ui) eti:=i+ 1
Siv,0 Fairek:=k+ 1 etuk:=h
Théorème.—(Théorème fondamental de l’arithmétique)Tout entier natureln≥2 s’écrit de façon unique, à l’ordre près des faeurs, comme produit de nombres premiers :
n=p1· · ·pr avecr≥1etpi premier pour touti= 1,· · ·, r.
Preuve :Montrons l’exience par récurrence. Pourn= 2, la propriété eclaire. Pourn≥2 supposons la vraie pour les entiers de 2 àn.
Pour l’entiern+ 1 il exie un nombre premierpqui divisen+ 1. Si (n+ 1)/p= 1 alorsn+ 1 =pet la propriété evraie, sinon 2≤(n+ 1)/p < n+ 1 et par hypothèse de récurrence (n+ 1)/peproduit de nombres premier et donc (n+ 1) =p(n+ 1)/paussi.
Montrons l’unicité par récurrence. Pourn= 2 si 2 =p1· · ·pravecp1,· · ·, pr premiers. Commepi≥2 on a 2≥2r et doncr= 1 et par suitep1= 2. Il y a donc unicité. Pourn−1≥2 supposons la propriété vraie pour tout entier compris entre 2 etn−1.
Pour l’entier nsupposons quen=p1· · ·pr =q1· · ·qs avecp1,· · ·, pr, q1,· · ·, qs premiers. Diinguons deux cas :
/ Un despi e égal à l’un desqj, pour simplifier disonsp1=q1. On a doncp2· · ·pr =q2· · ·qs et en utilisant l’hypothèse de récurrence on ar=set lespisont égaux auxqjà l’ordre près.
/pi,qjpour toutietj. En particulierp1,q1, disonsp1< q1. On as >1 sinonn=q1epremier et edivisible parp1qui eun entier différent de 1 etnce qui eimpossible. On a donc
0< p1q2· · ·qs< n=q1q2· · ·qs
Considérons l’entierm=n−p1q2· · ·qs= (q1−p1)q2· · ·qs=p1(p2· · ·pr−q2· · ·qs). On a 1< m < net donc, en utilisant l’hypothèse de récurrence,mpossède une unique faorisation dans laquelle figurep1. Commep1edifférent deq2,· · ·, qson en déduit quep1apparait dans la décomposition deq1−p1(qui eunique par hypothèse de récurrence). Ainsip1diviseq1−p1, et doncp1|q1ce qui eabsurde.
——–
Si l’on note (pi)i la suite (croissante) des nombres premiers on obtient alors : pour tout entier x∈Z∗il exie un uniqueu∈ {−1,1}et une unique suite (αi)i∈NNpresque partout nulle telle que
x=uY
i
pαii
cette écriture s’appelle LA décompositon en faeurs premiers de l’entierx.
Exercice :Décrire un algorithme permettant de calculer la décomposition en faeurs premiers d’un entier.
Pour tout nombre premierp, disonsp=pi, l’entiervp(x) =αi s’appelle la valuationp-adique dex.
Ainsivpeune application deZ∗dansN. On l’étend àZtout entier en posantvp(0) = +∞.
Proposition.—/ Soitpun nombre premier. Montrer que a) Pour toutx∈Z,vp(x) = +∞ ⇐⇒x= 0.
b) Pour toutx, y∈Z,vp(xy) =vp(x) +vp(y).
c) Pour toutx, y∈Z,vp(x+y)≤Inf(vp(x), vp(y))et il y a égalité dés quevp(x),vp(y).
/ Soitx, y∈Z∗, les propriétés suivantes sont équivalentes : i)x|y,
ii)∀p∈ P,vp(x)≤vp(y).
Preuve :Exercice.
——–
.. pgcd et ppcm
Etant donné deux entiersa, b∈Z∗ on noteD({a, b}) (resp. M({a, b})) l’ensemble des diviseurs (resp.
multiples) communs deaet deb.
Définition.—On appellepgcd(resp.ppcm) deaetbtout entierδ(resp.µ) tel que δ∈D({a, b}) et pour toutd∈D({a, b}), d|δ
resp.
µ∈M({a, b}) et pour toutm∈M({a, b}), µ|m
Théorème.—Soienta, b∈Znon tous les deux nuls. Les entiersaetbpossèdent exaement deuxpgcd (resp.ppcm) et ce sont des entiers opposés l’un de l’autre.
DansZon appelle LE pgcd (resp. LE ppcm) dexet dey, celui des deux qui epositif. On le note pgcd(x, y) (resp. ppcm(x, y)) ou parfoisx∧y(resp.x∨y) ou encore (x, y).
Proposition.—/ Soientx, y∈Z∗, l’ensemble des diviseurs (resp. des multiples positifs) communs dex et deyeun ensemble borné (resp. minoré). Le plus grand élément (resp. le plus petit élément) pour l’ordre usuel de cet ensemble elepgcd(resp. lep.p.c.m) dexet dey.
/ Soientx, y∈Z∗. Posonsd = pgcd(x, y)etm= ppcm(x, y). Pour tout nombre premierp on avp(d) = min(vp(x), vp(y))etvp(m) = max(vp(x), vp(y)).
/ Pour toutx, y∈Z∗, on axy= pgcd(x, y).ppcm(x, y).
/ Pour toutx, y, z∈Z∗on a a) (associativité)
x∧(y∧z) = (x∧y)∧z x∨(y∨z) = (x∨y)∨z b) (commutativité)
x∧y=y∧x x∨y=y∨x c) (diributivité)
x∧(y∨z) = (x∧y)∨(x∧z) x∨(y∧z) = (x∨y)∧(x∨z) Preuve :Exercice.
——–
L’associativité de∧(resp.∨) permet de définir la notion de pgcd (resp. ppcm) d’une famille finie d’entiers non nuls : six1,· · ·, xn∈Z∗ on pose pgcd(x1,· · ·, xn) =x1∧ · · · ∧xn (resp. ppcm(x1,· · ·, xn) = x1∨ · · · ∨xn).
Proposition.—Soientx1,· · ·, xn∈Z∗.
/ L’ensemble des diviseurs (resp. des multiples positifs) communs des entiersxi un ensemble borné (resp.
minoré). Le plus grand élément (resp. le plus petit élément) pour l’ordre usuel de cet ensemble elepgcd (resp. lep.p.c.m) des entiersxi.
/ Posonsd= pgcd(x1,· · ·, xn)etm= ppcm(x1,· · ·, xn). Pour tout nombre premierpon avp(d) = mini(vp(xi)) etvp(m) = maxi(vp(xi)).
Preuve :Exercice.
——–
Algorithme d’Euclide :L’algorithme d’Euclide repose sur le lemme suivant :
Lemme.—Soita, b∈ Z∗ eta=bq+r la division euclidienne deaparb. Si r,0alors pgcd(a, b) = pgcd(b, r). Sir= 0alorspgcd(a, b) =b.
Preuve :Exercice.
——–
Soit (a, b) un couple d’entiers non nuls,b≥1. L’algorithme d’Euclide pour le couple (a, b) consie à introduire deux suites finies (rn)net (qn)nde la manière suivante :
•On poser0=bet on effeue la division euclidienne deaparr0 a=q1r0+r1
de quotientq1et de reer1.
•Tant quern,0, on effeue la division euclidienne dern−1parrn rn−1=qn+1rn+rn+1
de quotientqn+1et de reern+1.
Il s’agit bien d’un l’algorithme, autrement dit il exie un entier N =N(a, b)∈N, dépendant de aet deb, tel querN+1 = 0. En effet si ce n’était pas le cas la suite (rn)n serait une suite riement décroissante d’entiers positifs, ce qui eimpossible.
L’intéret principal de l’algorithme d’Euclide e que rN = pgcd(a, b) (exercice). On dit que le dernier ree non nul de l’algorithme d’Euclide eégal au pgcd.
Complexité :Le fait que 0 =rN+1< rN <· · ·< r0=bmontre queN(a, b)≤b. Il y a donc au maximum bdivisions euclidiennes a effeuer pour trouver le pgcd deaetb. En fait, on peut majorer beaucoup mieux ce nombre de divisions euclidiennes :
Proposition.—Soita, bdeux entiers naturels non nuls. On a N(a, b)<2 log2b+ 1
Preuve :Soiti∈ {0,· · ·, N−2}. Siri+1≤ri
2 alorsri+2<ri
2. Si maintenantri+1> r2i alorsri=ri+1qi+2+ri+2>
ri
2 +ri+2et doncri+2<ri
2 dans tous les cas.
Supposons queN= 2ksoit pair. On a donc
b=r0>2r2>4r4>· · ·>2kr2k≥2k et donck≤log2b, ce qui impliqueN <2 log2b+ 1.
Supposons maintenant queN= 2k+ 1 soit impair. On a donc b=r0> r1>2r3>4r5>· · ·>2kr2k+1≥2k et donck≤log2r1<log2b, ce qui implique là encore queN <2 log2b+ 1.
——–
Exercice :(On garde les notations précédentes) a)Que représente l’entierrN(a,b)pour le couple (a, b)?
b) ComparerN(b, a) etN(a, b).
c) Soita=bq+rla division euclidienne deaparb. ExpliciterN(b, r) en fonion deN(a, b) quandr,0.
d) Prouver que sia0désigne un entierriement positif tel quea≡a0mod(b) alorsN(a, b) =N(a0, b).
e) Expliquer comment, grâce aux queions précédentes on peut, sans faire le calcul, dresser le tableau à double entrées des valeurs deN(a, b) poura, b∈N∗. Dresser ce tableau poura, b∈ {1,· · ·,10}. Problème : I) On considère dans cette queion la suite (Fn)n récurrente linéaire d’ordre(dite de Fibonacci) définie parF0= 1,F1= 2 et pour toutn≥0,
Fn+2=Fn+1+Fn
) a) Donner l’expression explicite de la suite (Fn)nen fonion de l’entiernet en déduire un équivalent simple de la suite (Fn)n.
b) Montrer que pour toutn≥0 on a 1− ωe ω
!2
≤
√ 5Fn
ωn+2 ≤1− ωe ω
!3
et en déduire que pour toutn≥0 on a E(logωFn) =n.
) Montrer que pour toutn≥0, les entiersFnetFn+1sont premiers entre eux.
II) On poseN =N(a, b). Si (rn)0≤n≤Ndésigne la suite finie des rees de l’algorithme d’Euclide appliqué au couple (a, b), on note ( ¯rn)0≤n≤N la suite finie définie par ¯r0=rN,r¯1=rN−1,· · ·,r¯N=r0.
) Montrer que pour toutn= 0,· · ·, Non aFn≤r¯n.
) Montrer queN(a, b)≤logωbet comparer ce résultat avec ceux précédemment établis.
) Pour toutn≥0, évaluer explicitement en fonion denl’entierN(Fn+1, Fn).
) En déduire qu’il exie une infinité d’entiersb >0 tels qu’il exie des entiersa >0 vérifiantN(a, b)>
logωb−1.
Exercices :/ Donner un sens et une interprétation au pgcd d’une famille infinie d’entiers non nuls.
Peut-on faire la même chose pour le ppcm?
/ Décrire des algorithmes qui permettent de calculer le pgcd de deux entiers.
Définition.—Deux entiersa, b∈Z∗sont dits premiers entre eux si,(a, b) = 1.
Lemme.—Soitx, y∈Z∗. Les propriétés suivantes sont équivalentes : i)xetysont premiers entre eux,
ii)∀p∈ P,vp(x).vp(y) = 0.
Preuve :Exercice.
——–
Proposition.—a) Soienta1,· · ·, andes entiers non nuls. Si un entieraepremier avec chaqueai, alors il epremier aveca1.· · ·.an.
b) Sideun diviseur commun à deux entiers non nulsaetb, alors(a/d, b/d) = (a, b)/d. En particulier, les entiera/(a, b)etb/(a, b)sont premiers entre eux.
Preuve :Exercice.
——–
Théorème.—(dit de Gauss)Sia, b, c∈Z∗sont tels quec|abet(a, c) = 1alorsc|b.
Leonardo Pisano ditFibonacci, mathématicien italien,(Pise?) -(Pise?)
Preuve :Soitp∈ P. Commec|abon avp(c)≤vp(ab) =vp(a) +vp(b). Sivp(c) = 0 alorsvp(c)≤vp(b). Si vp(c),0, commeaetcsont premier entre eux, on avp(a) = 0 et doncvp(c)≤vp(b). Dans tous les cas on avp(c)≤vp(b), ce qui équivaut àc|b.
——–
Corollaire.—Sia, b, c∈Z∗sont tels quea|c,b|cet(a, b) = 1alorsab|c.
Preuve :Exercice.
——–
.. Sous-groupes deZet théorème de Bezout.
Théorème.—Pour toutn∈Z, l’ensemblenZeun sous-groupe additif deZ. Réciproquement, siGe un sous-groupe additif deZ, il exie un unique entier naturelntel queG=nZ. En particulier, l’anneauZ eprincipal.
Preuve :Le fait quenZsoit un groupe et que pourn, m≥0 on aitnZ=mZ⇐⇒n=meélémentaire.
SoitGun sous groupe additif deZ. SiG={0}alorsG=nZavecn= 0. Sinon il exie un élément a∈G non nul. Comme−a∈G, l’ensembleG+=G∩N∗ enon vide et possède donc un plus petit élémentn. Il eclair quenZ⊂G. Soitx∈Getx=qn+rla division euclidienne dexparn. Puisque Geun groupe, on ar=x−qn∈G. Commer≥0 etr < non a, par minimalité den,r= 0. Ainsi x=qn∈NZet doncG=nZ.
——–
Proposition.—Six, ysont des entiers non nuls, alorsx|ysi et seulement siyZ⊂xZ. En conséquence de quoi, sid(resp.m) eun entier naturel non nul, les propriétés suivantes
i)d= pgcd(x, y)(resp.m= ppcm(x, y)), ii)dZ=xZ+yZ(resp.mZ=xZ∩yZ), sont équivalentes.
Preuve :La première équivalence eévidente. Soitd= pgcd(x, y). CommexZ+yZeun sous-groupe deZdifférent de{0}il exied0>0 tel quexZ+yZ=d0Z. CommexZ⊂d0ZetyZ⊂d0Z, on ad0|xet d0|yet doncd0|d, c’e-à-diredZ⊂d0Z. Maintenant commed|xetd|yon axZ⊂dZetyZ⊂dZ. On a doncd0Z=xZ+yZ⊂dZ. Ainsid0Z=dZ, et par suited0=d.
L’égalitémZ=xZ∩yZoùm= ppcm(x, y) elaissé en exercice.
——–
Exercice :Redémontrer le théorème de Gauss en utilisant le théorème de Bezout.
Corollaire.—(Théorème de Bachet-Bezout)Soitx, y∈Z∗. Sid= pgcd(x, y), alors il exieu, v ∈Z tels queux+vy=d(Bezout). De plus, les propriétés suivantes sont équivalentes (Bachet) :
i)xetysont premiers entre eux, ii) il exieu, v∈Ztels queux+vy= 1.
Preuve :Soitd= pgcd(x, y). D’après ce qui précède on axZ+yZ=dZ.
i) =⇒ii) Sid= 1 alorsxZ+yZ=Zet comme 1∈Zil exie bien (u, v)∈Ztel quexu+yv= 1.
ii) =⇒i) S’il exieu, v∈Ztels queux+vy= 1 alors 1∈dZet doncd= 1.
——–
Sur la recherche des couples de Bezout, application à la résolution de l’équation diophantienne linéaireax+by=c.
On considère deux entiers a, b non nuls, b ≥1. Le théorème de Bezout affirme qu’il exie un couple d’entiers (u, v)∈Ztels queua+vb=doùd= pgcd(a, b). On s’intéresse à la recherche des tous
les couples d’entiers (u, v) satisfaisant cette relation, ces couples sont appélés couples de Bezout dea etb. On suppose donné un de ces couples (u0, v0).
er cas/d= 1 (c’e-à-direaetbpremiers entre eux). Soit (u, v)∈Z2. On a au+bv= 1 ⇐⇒
( au+bv= 1 au0+bv0= 1
⇐⇒ a(u−u0) =b(v0−v)
⇐⇒ ∃k∈Z, k=(u−u0)
b =(v0−v)
a (par application du théorème de Gauss)
⇐⇒ ∃k∈Z,
( u=u0+bk v=v0−ak
Il y a donc une infinité de couples de Bezout, ce sont les couples de la forme (u0+bk, v0−ak) pour kparcourantZ.
ème cas/ d , 1. On se ramène au cas précédent en remarquant queua+vb =d si et seulement siua0+vb0 = 1 aveca0 =a/d etb0 =b/d. Les couples de Bezout sont donc les couples de la forme
u0+b
dk, v0−a dk
!
aveck∈Z.
On sait donc trouver les couples de Bezout, modulo le fait que l’on sache en trouver un. Une manière pratique pour y arriver consie à utiliser l’algorithme d’Euclide. On écrit la suite de divisions euclidiennes
a = bq0+r0 b = r0q1+r1 r0 = r1q2+r2
...
rn−2 = rn−1qn+d rn−1 = rnqn+1
On exprime, grâce à la première équation,r0en fonion deaet deb : r0=a−bq0 et on injee cette expression dans la deuxième équation : b= (a−bq0)q1+r1. On recommence avecr1 puis avec tous lesri jusqu’àrn=det on obtientden fonion d’une combinaison entière deaet deb.
Par exemple, recherchons les couples de Bezout pour le couple (a, b) = (−91,56). Commençons par chercherd= pgcd(−91,56). Utilisons l’algorithme d’Euclide :
−91 =−2.56 + 21 56 = 2.21 + 14 21 = 1.14 + 7 14 = 2.7
On a donc pgcd(−91,56) =d= 7. Cherchons un couple de Bezout particulier en utilisant l’algorithme d’Euclide : 21 = 1.(−91) + 2.56, 14 =−2.(−91)−3.56, 7 = 3.(−91) + 5.56. Ainsi (u0, v0) = (3,5) eun couple de Bezout. L’étude précédente montre que les couples de Bezout de (−91,56) sont donc les (3 + 8k,5 + 13k) pourk∈Z.
On considère trois entiers non nuls a, b, c ∈Z∗ et on cherche à résoudre dansZ×Z l’équation ax+by=c. On notedle pgcd deaetb.
er cas/cn’epas un multiple ded. L’équation n’a pas de solution. En effet, les entiersax+by, quand xety parcourentZ, décrivent exaement le sous-groupeaZ+bZ=dZ. Ces entiers sont donc tous divisibles pasd, ce qui n’epas le cas dec.
eme cas/c=hd. Un couple (x, y)∈Z2satisfaitax+by=csi et seulement sia0x+b0y=haveca0=a/d etb0=b/d. Les entiersa0etb0sont premiers entre eux. D’après ce qui précède, on sais trouver (x00, y00) tel quea0x00+b0y00 = 1. On en déduit que (x0, y0) = (hx00, hy00) esolution de l’équation. On a alors, pour
un couple (x, y)∈Z2:
ax+by=c ⇐⇒ a0x+b0y=h
⇐⇒
( a0x+b0y=h a0x0+b0y0=h
⇐⇒ a0(x−x0) =b0(y0−y)
⇐⇒ ∃k∈Z, k=(x−x0)
b0 =(y0−y)
a0 (par application du théorème de Gauss)
⇐⇒ ∃k∈Z,
( x=x0+b0k y=y0−a0k
Les solutions de l’équation sont donc les couples de la forme
x0+b0k, y0−a0k
aveckparcourant Z.
Théorème.—(dit des rees chinois)Soienta1,· · ·, an≥2des entiers premiers entre eux deux à deux.
Pour toutλ1,· · ·, λn∈Z, le syème de congruences (S)
x≡λ1mod(a1) ... x≡λnmod(an)
admet des solutions. Six0esolution de(S)alors l’ensemble des solutions de(S)edonné par {x0+ka/ k∈Z}
oùa=a1.· · ·.an. En particulier, il y a une unique solution de(S)moduloa.
Preuve :Pour touti= 1,· · ·, n, on posebai= a ai
. Puisque lesaj sont premiers entre eux deux à deux, les entiersaietbaisont donc premiers entre eux, et, d’après Bezout, il exieui, vi∈Ztels queuiabi+viai= 1.
On a alorsuiabi≡1 mod(ai) etuiabi≡1 mod(aj) pourj,i. L’entier x0=
Xn
i=1
λiuiabi
ealors visiblement solution de (S). Sixdésigne une autre solution de (S), alorsx−x0≡0 mod(ai) pour touti= 1,· · ·, n, c’e-à-direai|(x−x0). Puisque lesai sont premiers entre eux deux à deux, on en déduit finalement quea|(x−x0) et donc qu’il exiek∈Ztel quex=x0+ka. Réciproquement, pour toutk∈Z, l’entierx=x0+kaevisiblement solution de (S).
——–
L’anneau Z /n Z
. Stru ure de Z /n Z
On se donne un entiern≥ 1 et l’on considère la relation (d’équivalence) de congruence mod- ulon, Rn. On note Z/nZl’ensemble quotient Z/Rn et pour tout entierk ∈ Z, on notek la classe d’équivalence dekmoduloRn.
Proposition.—Le cardinal deZ/nZvautnet l’on aZ/nZ={0,· · ·, n−1}.
Poura, b∈Zla classea+bne dépend que des classesaetb(exercice). Ainsi, la relationa+b=a+b définit une loi de composition interne surZ/nZque l’on note improprement +. De même la classeab ne dépend que des classesaetbet la relationa+b=a+bdéfinit une loi de composition interne sur Z/nZque l’on note improprement.
Proposition.—Muni des lois+et.ci-dessus définies,Z/nZeun anneau commutatif et unitaire.
Notation :Sia∈Zetn≥1, on posen.a=a+· · ·+a(nfois). On voit alors quen.a=n.a=na.
Proposition.—Soientn∈N∗, etk∈Z. Les propositions suivantes sont équivalentes :
i)kengendre le groupe additifZ/nZ(i.e. pour toutx∈Z/nZ, il exiea∈Ntel quea.k=k+· · ·k=x), ii)kepremier avecn,
iii)k∈(Z/nZ)∗,
iv)kn’epas un diviseur de zéro dansZ/nZ. Preuve :
ii)⇒iii) D’après Bezout, il exieu, v∈Ztel queuk+vn= 1, on a donc 1 =uk+vn=u.k+v.n=u.k et, par suite,k∈(Z/nZ)∗.
iii)⇒iv) Evident.
non ii)⇒non iv) Soitd = pgcd(n, k)>1 eta =n/d,b =k/d. On a 0< a < net donca,0, et alors a.k=n.b= 0 et donckeun diviseur de zéro.
i)⇒iii) Par hypothèse, pour toutx∈Z/nZ, il exie un entieratel quea.k=x. Pourx= 1, on a donc l’exience deatel queak=a.k= 1 et donck∈(Z/nZ)∗.
iii)⇒i) Par hypothèse, il exiex∈Ztel quexk= 1. Poury∈Z, on a donc xy.k=xy k=x y k=y
et donckengendre bienZ/nZ.
——–
Corollaire.—Soitn∈N∗, les propositions suivantes i)nepremier,
ii)Z/nZeun corps, iii)Z/nZeintègre, sont équivalentes.
Les éléments de (Z/nZ)∗ sont exaement les générateurs du groupe additifZ/nZ. On noteϕ(n) leur nombre. La fonionn7→ϕ(n) s’appelle lafonion indicatrice d’Euler.
Proposition.—Pourn≥1, on noteE(n) ={k∈ {1,· · ·, n−1}/(k, n) = 1}. On a alorsϕ(n) =]E(n).
Corollaire.—Soitn∈N∗.
a) On ao(Z/nZ)∗=ϕ(n)(fonion indicatrice d’Euler).
b) (Théorème d’Euler) Sia∈Zepremier avecn, alorsaϕ(n)≡1 (n).
c) (Théorème de Fermat) Sipeun nombre premier et sia∈Zn’epas divisible parpalorsap−1≡1 (p).
Preuve :a) Immédiat.
b) Sia epremier à nalorsa∈(Z/nZ)∗qui e un groupe d’ordreϕ(n). Le théorème de Lagrange assure alors queaϕ(n)= 1 c’e-à-dire queaϕ(n)≡1 (n).
c) C’ele b) pourn=ppremier.
——–
Théorème.—Soita, b∈N∗deux entiers premiers entre eux. L’application f :Z/abZ−→Z/aZ×Z/bZ
qui à la classe d’un entierx∈Zmoduloabassocie le couple des classes de l’entierxmoduloa(resp. modulo b) eun isomorphisme d’anneaux.
Preuve :C’eune conséquence immédiate du théorème des rees chinois, compte tenu du fait que, puisqueaetbsont premier entre eux, d’après Bezout on aaZ+bZ=Z.
——–
Corollaire.—Soit n∈ N∗ etn=pα11· · ·pαkk le décomposition en faeurs premiers de n. il exie un isomorphisme d’anneaux
f :Z/nZ−→Z/p1α1Z× · · · ×Z/pαkkZ
. Calcul de ϕ(n)
Théorème.—L’indicateur d’Euleur,ϕ, eune fonion arithmétique simplement multiplicative, c’e-à- dire que sin, m∈N∗sont premiers entres eux alorsϕ(nm) =ϕ(n)ϕ(m).
Preuve :Remarquons pour commencer que si (x, y)∈Z/nZ×Z/mZeun générateur de ce groupe, alorsxen eun deZ/nZetyen eun deZ/mZ. En effet, si ce n’epas le cas, disons par exemple que< x >,Z/nZalors il exiez∈Z/nZtel quez,kxpour toutk∈Z, il s’ensuit que (z,0),k(x, y) pour toutk∈Zet donc que<(x, y)>,Z/nZ×Z/mZ.
Réciproquement, soitxun générateur deZ/nZetyun générateur deZ/mZ. Soitk, k0∈Z, il s’agit de montrer qu’il exiea∈Ztel quea(x, y) = (kx, k0y). D’après Bezout, puisquenetmsont premier entre eux, il exieu, v, u0, v0∈Ztels que
k = un+vm k0 = u0n+v0m
On a doncαn+k=α0m+k0avecα=u0−uetα0=v−v0. Notonsacet entier, on a alors a(x, y) = (ax, ay) = (αnx+kx, α0my+k0y)
= (kx, k0y) = (kx, k0y) et donc (x, y) ebien un générateur deZ/nZ×Z/mZ.
En conclusion, il exie une bijeion entre l’ensemble des générateurs de Z/nZ×Z/mZ et le produit cartésien des ensembles de générateurs deZ/nZet deZ/mZ. La formule annoncée en découle alors, compte tenu du fait qu’il y a une bijeion entre les générateurs deZ/nZ×Z/mZet ceux de Z/nmZpuisque ces deux groupes sont isomorphes.
——–
Lemme.—Soitpun nombre premier etα≥1un entier, on a ϕ(pα) =pα−1(p−1)
Preuve : Il s’agit de dénombrer le nombre d’entiers de {1,· · ·, pα} premier à pα, donc àp puisque p e premier. Les entiers de {1,· · ·, pα} qui ne sont pas premiers à p sont exaement lespk avec k∈ {1,· · ·, pα−1}, il y en a doncpα−1. Par suite on aϕ(pα) =pα−pα−1=pα−1(p−1).
——–
Théorème.—Soitn≥2un entier etn=pα11.· · ·.pkαk sa décomposition en faeurs premiers, on a ϕ(n) =n 1− 1
p1
!
· · · 1− 1 pk
!
Preuve :Exercice.
——–
