A541. Des nombres miroirs
Supposons qu’on connaisse une solution :
A - B = C(C = carr´e parfait) dont l’´ecriture d´ecimale est de la forme : abc..def - fed..cba = ghi..jkl
On peut obtenir une autre solution pour la mˆeme valeur de C en ajoutant ou en retranchant `a A et `a B toute combinaison de 100..001, 010..010, 001..100, ..
qui ne modifie pas les retenues existantes et qui n’entraˆıne pasa=0ouf=0.
Parmi toutes ces solutions, celle o`u A a la plus grande valeur est telle que a=9, max(b,e)=9, max(c,d)=9,...
et elle fournit le nombre total de solutions pour cette valeur de C. C’est le pro- duit :
f ×(min(b, e) + 1)×(min(c, d) + 1)...
Illustration :
9983−3899 = 6084 = 782 3×8solutions
On en d´eduit qu’il n’existe pas de carr´e qui ait une ´ecriture unique comme diff´erence de 2 nombres miroirs de mˆeme nombre de chiffres que C.
On cherchera les premi`eres solutions `a n chiffres pour A descendant de
10n+1−1jusqu’`a 10n en examinant si A-B est un carr´e parfait et en ne re- tenant que la premi`ere occurrence pour chaque valeur de C.
Voici les r´esultats jusqu’`a 7 chiffres : 2 chiffres
1: 95 - 59 = 36 =62
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3 chiffres : rien
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4 chiffres
1: 9888 - 8889 = 1089 =332 2: 9983 - 3899 = 6084 =782 3: 9955 - 5599 = 4356 =662 4: 9924 - 4299 = 5625 =752
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5 chiffres : rien
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6 chiffres
1: 999888 - 888999 = 110889 =3332
1
2: 999768 - 867999 = 131769 =3632 3: 999555 - 555999 = 443556 =6662 4: 999495 - 594999 = 404496 =6362 5: 999448 - 844999 = 154449 =3932 6: 999415 - 514999 = 484416 =6962 7: 996963 - 369699 = 627264 =7922 8: 959195 - 591959 = 367236 =6062 9: 951995 - 599159 = 352836 =5942 10: 943993 - 399349 = 544644 = 7382
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7 chiffres
1: 9989963 - 3699899 = 6290064 =25082 2: 9929908 - 8099299 = 1830609 =13532
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La famille 33, 333, 3.333, ... dont les carr´es sont 1.089, 110889, 11.108.889, ...
bat toutes les autres en mati`ere de nombre d’´ecritures grˆace aux solutions de d´epart qui ne contiennent que des 8 et des 9 :
pour 2n chiffres, le nombre d’´ecritures est8×9n−1. Et il est maintenant clair qu’il y a une infinit´e de solutions.
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