A541. Deux nombres miroirs
On posem < n. Il faut trouverkm+ 1etkn+ 1de mˆeme longueur en base 10 et miroirs l’un de l’autre.
L’´egalit´e des longueurs impose k <10.
La congruence modulo 10 dekm+ 1, c`ad le chiffre des unit´es, suit un cycle qui d´epend de k :
k Cycle
2 3, 5, 9, 7 3 4, 0, 8, 2
4 5, 7
5 6
6 7
7 8, 0, 4, 2 8 9, 5, 3, 7
9 0, 2
Les seules valeurs de k qui permettent d’obtenir km + 1 et kn+ 1 de mˆeme longueur en base 10 sont k = 2 ou k = 3, et on a n´ecessairement n = m + 1.
•
k = 2 :
La seule possibilit´e est que le chiffre de poids fort soit 3 pour le plus petit des 2 nombres, et 7 pour le plus grand. Mais 37 et 73 ne forme pas une solution et on v´erifie facilement qu’il n’y a pas de solution avec des nombres de 3 chiffres.
On cherche donc 2 nombres de la forme
2m+ 1 =A..B avecB = 2×AouB = 2×A+ 1 et 2(m+1)+ 1 =B..A avecA= (2×(B−1) + 1)modulo100 (Aest le nombre miroir deA, mˆeme chose pourB)
A B B (2×(B−1) + 1)modulo100 A
35 70 07 13 53
35 71 17 33 53
36 72 27 53 63
36 73 37 73 63
37 74 47 93 73
37 75 57 13 73
37 76 67 33 83
38 77 77 53 83
39 78 87 73 93
39 79 97 93 93
La seule combinaison acceptable est : 2m+ 1 = 39..97
et 2(m+1)+ 1 = 97..39
1
et les chiffres interm´ediaires ne peuvent ˆetre que des 9, c`ad : 2m+ 1 = 4×(10x−1) + 1
et 2(m+1)+ 1 = 8×(10x−1) + 1 Il ne peut pas y avoir de solution pour k = 2.
•
k = 3 :
La seule possibilit´e est que le chiffre de poids fort soit 2 pour le plus petit des 2 nombres, et 8 pour le plus grand.
On trouve effectivement la solution 33+ 1 = 28
et 34+ 1 = 82
C’est tr`es probablement la seule.
Il n’y en a pas d’autre jusqu’`a m = 1000. 31000+ 1est un nombre d´ecimal de 478 chiffres, et sur l’intervalle 5≤m ≤1000, il n’existe mˆeme qu’un seul cas o`u un nombre (2...8) est suivi par (8...2) :
3307+ 1 = 299...188 (nombre de 147 chiffres) et 3308+ 1 = 898...562
2
